Номер 56, страница 10, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Задачи на повторение. Часть 2 - номер 56, страница 10.

Условие.

56 а) $9x^2 - 1 - (3x - 2)^2 = 0;$

б) $(2x - 3)^2 - 2x(4 + 2x) = 11;$

в) $x + (5x + 2)^2 = 25(1 + x^2);$

г) $(4x - 3)(3 + 4x) - 2x(8x - 1) = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Раскроем скобки в уравнении $9x^2 - 1 - (3x - 2)^2 = 0$. Для этого используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ для выражения $(3x - 2)^2$:
$(3x - 2)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 2 + 2^2 = 9x^2 - 12x + 4$.
Теперь подставим полученное выражение обратно в исходное уравнение:
$9x^2 - 1 - (9x^2 - 12x + 4) = 0$.
Раскроем скобки, помня, что знак минус перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри на противоположные:
$9x^2 - 1 - 9x^2 + 12x - 4 = 0$.
Приведем подобные слагаемые, сгруппировав их:
$(9x^2 - 9x^2) + 12x + (-1 - 4) = 0$
$0 + 12x - 5 = 0$
$12x - 5 = 0$.
Перенесем свободный член (-5) в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$12x = 5$.
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 12:
$x = \frac{5}{12}$.
Ответ: $x = \frac{5}{12}$.

б) Рассмотрим уравнение $(2x - 3)^2 - 2x(4 + 2x) = 11$.
Сначала раскроем квадрат разности $(2x-3)^2$ по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(2x - 3)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 = 4x^2 - 12x + 9$.
Затем раскроем скобки во втором слагаемом, умножив $-2x$ на каждый член в скобках (дистрибутивный закон):
$-2x(4 + 2x) = (-2x) \cdot 4 + (-2x) \cdot 2x = -8x - 4x^2$.
Подставим полученные выражения в исходное уравнение:
$(4x^2 - 12x + 9) + (-8x - 4x^2) = 11$
$4x^2 - 12x + 9 - 8x - 4x^2 = 11$.
Приведем подобные слагаемые:
$(4x^2 - 4x^2) + (-12x - 8x) + 9 = 11$
$0 - 20x + 9 = 11$
$-20x + 9 = 11$.
Перенесем 9 в правую часть с противоположным знаком:
$-20x = 11 - 9$
$-20x = 2$.
Найдем $x$, разделив обе части на -20:
$x = \frac{2}{-20} = -\frac{1}{10} = -0.1$.
Ответ: $x = -0.1$.

в) Решим уравнение $x + (5x + 2)^2 = 25(1 + x^2)$.
Раскроем скобки в левой части по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$(5x + 2)^2 = (5x)^2 + 2 \cdot 5x \cdot 2 + 2^2 = 25x^2 + 20x + 4$.
Раскроем скобки в правой части уравнения, используя дистрибутивный закон:
$25(1 + x^2) = 25 \cdot 1 + 25 \cdot x^2 = 25 + 25x^2$.
Подставим раскрытые выражения в уравнение:
$x + (25x^2 + 20x + 4) = 25 + 25x^2$
$x + 25x^2 + 20x + 4 = 25 + 25x^2$.
Сначала приведем подобные слагаемые в левой части:
$25x^2 + (x + 20x) + 4 = 25 + 25x^2$
$25x^2 + 21x + 4 = 25 + 25x^2$.
Перенесем все члены с $x$ в левую часть, а свободные члены - в правую. Член $25x^2$ присутствует в обеих частях, поэтому его можно сократить (или вычесть $25x^2$ из обеих частей):
$21x + 4 = 25$.
Перенесем 4 в правую часть:
$21x = 25 - 4$
$21x = 21$.
Найдем $x$, разделив обе части на 21:
$x = \frac{21}{21} = 1$.
Ответ: $x = 1$.

г) Решим уравнение $(4x - 3)(3 + 4x) - 2x(8x - 1) = 0$.
Первый член $(4x - 3)(3 + 4x)$ можно переписать как $(4x - 3)(4x + 3)$. Это произведение разности и суммы двух выражений, которое раскрывается по формуле разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a=4x$ и $b=3$:
$(4x - 3)(4x + 3) = (4x)^2 - 3^2 = 16x^2 - 9$.
Раскроем скобки во втором члене, умножив $-2x$ на $8x$ и на $-1$:
$-2x(8x - 1) = (-2x) \cdot 8x - (-2x) \cdot 1 = -16x^2 + 2x$.
Подставим полученные выражения в уравнение:
$(16x^2 - 9) + (-16x^2 + 2x) = 0$
$16x^2 - 9 - 16x^2 + 2x = 0$.
Приведем подобные слагаемые:
$(16x^2 - 16x^2) + 2x - 9 = 0$
$0 + 2x - 9 = 0$
$2x - 9 = 0$.
Перенесем -9 в правую часть с противоположным знаком:
$2x = 9$.
Найдем $x$, разделив обе части на 2:
$x = \frac{9}{2} = 4.5$.
Ответ: $x = 4.5$.