Номер 57, страница 10, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Задачи на повторение. Часть 2 - номер 57, страница 10.

Условие.

57 Решите графически систему уравнений:

a) $\begin{cases} y = 3x - 2, \\ y = -x + 6; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = 2x - 1, \\ y = x - 4; \end{cases}$

в) $\begin{cases} y = x - 3, \\ y = -2x + 3; \end{cases}$

г) $\begin{cases} y = 3x + 1, \\ y = -x + 5. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Для того чтобы решить систему уравнений графически, необходимо построить графики каждого уравнения в одной и той же системе координат. Решением системы будет точка (или точки) пересечения этих графиков. Оба уравнения в системе являются линейными функциями вида $y = kx + b$, графиком которых является прямая.

1. Построим график функции $y = 3x - 2$. Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых ее точек:

• при $x = 0$, $y = 3 \cdot 0 - 2 = -2$. Получаем точку (0; -2).
• при $x = 2$, $y = 3 \cdot 2 - 2 = 6 - 2 = 4$. Получаем точку (2; 4).

2. Построим график функции $y = -x + 6$. Также найдем координаты двух точек:

• при $x = 0$, $y = -0 + 6 = 6$. Получаем точку (0; 6).
• при $x = 6$, $y = -6 + 6 = 0$. Получаем точку (6; 0).

Теперь построим прямые на координатной плоскости, используя найденные точки. Прямые пересекаются в точке, координаты которой и являются решением системы. Визуально определив координаты точки пересечения, получаем (2; 4).

Для проверки подставим найденные значения в оба уравнения системы:
$4 = 3 \cdot 2 - 2 \implies 4 = 6 - 2 \implies 4 = 4$ (истина).
$4 = -2 + 6 \implies 4 = 4$ (истина).
Решение найдено верно.

Ответ: (2; 4).

б)

Построим графики для уравнений $y = 2x - 1$ и $y = x - 4$.

1. Для прямой $y = 2x - 1$ найдем две точки:

• при $x = 0$, $y = 2 \cdot 0 - 1 = -1$. Точка (0; -1).
• при $x = 2$, $y = 2 \cdot 2 - 1 = 3$. Точка (2; 3).

2. Для прямой $y = x - 4$ найдем две точки:

• при $x = 0$, $y = 0 - 4 = -4$. Точка (0; -4).
• при $x = 4$, $y = 4 - 4 = 0$. Точка (4; 0).

Построив прямые по этим точкам, найдем их точку пересечения на графике. Координаты точки пересечения – (-3; -7).

Проверка:
$-7 = 2 \cdot (-3) - 1 \implies -7 = -6 - 1 \implies -7 = -7$ (истина).
$-7 = -3 - 4 \implies -7 = -7$ (истина).
Решение найдено верно.

Ответ: (-3; -7).

в)

Построим графики для уравнений $y = x - 3$ и $y = -2x + 3$.

1. Для прямой $y = x - 3$ найдем две точки:

• при $x = 0$, $y = 0 - 3 = -3$. Точка (0; -3).
• при $x = 3$, $y = 3 - 3 = 0$. Точка (3; 0).

2. Для прямой $y = -2x + 3$ найдем две точки:

• при $x = 0$, $y = -2 \cdot 0 + 3 = 3$. Точка (0; 3).
• при $x = 2$, $y = -2 \cdot 2 + 3 = -4 + 3 = -1$. Точка (2; -1).

Построив прямые на координатной плоскости, находим их точку пересечения. Координаты этой точки – (2; -1).

Проверка:
$-1 = 2 - 3 \implies -1 = -1$ (истина).
$-1 = -2 \cdot 2 + 3 \implies -1 = -4 + 3 \implies -1 = -1$ (истина).
Решение найдено верно.

Ответ: (2; -1).

г)

Построим графики для уравнений $y = 3x + 1$ и $y = -x + 5$.

1. Для прямой $y = 3x + 1$ найдем две точки:

• при $x = 0$, $y = 3 \cdot 0 + 1 = 1$. Точка (0; 1).
• при $x = 1$, $y = 3 \cdot 1 + 1 = 4$. Точка (1; 4).

2. Для прямой $y = -x + 5$ найдем две точки:

• при $x = 0$, $y = -0 + 5 = 5$. Точка (0; 5).
• при $x = 5$, $y = -5 + 5 = 0$. Точка (5; 0).

Построим прямые по найденным точкам. Точка их пересечения на графике имеет координаты (1; 4).

Проверка:
$4 = 3 \cdot 1 + 1 \implies 4 = 3 + 1 \implies 4 = 4$ (истина).
$4 = -1 + 5 \implies 4 = 4$ (истина).
Решение найдено верно.

Ответ: (1; 4).