Номер 53, страница 9, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Задачи на повторение. Часть 2 - номер 53, страница 9.

Условие.

53 Постройте график функции $y = \begin{cases} -x^2, & \text{если } -3 \le x \le 1, \\ x - 2, & \text{если } 1 < x \le 4. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для построения графика заданной кусочной функции необходимо построить график каждой из ее частей на соответствующем промежутке.

Сначала рассмотрим функцию $y = -x^2$ на промежутке $[-3; 1]$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в начале координат, точке $(0, 0)$. Вычислим значения функции в нескольких точках, включая концы промежутка:

• При $x = -3$, $y = -(-3)^2 = -9$. Координаты точки: $(-3, -9)$.
• При $x = -2$, $y = -(-2)^2 = -4$. Координаты точки: $(-2, -4)$.
• При $x = 0$, $y = -0^2 = 0$. Координаты точки: $(0, 0)$.
• При $x = 1$, $y = -1^2 = -1$. Координаты точки: $(1, -1)$.

Поскольку неравенство $-3 \le x \le 1$ нестрогое, точки на концах промежутка, $(-3, -9)$ и $(1, -1)$, являются частью графика и отмечаются закрашенными кружками. Соединяем эти точки плавной кривой (дугой параболы).

Далее рассмотрим функцию $y = x - 2$ на промежутке $(1; 4]$. Графиком этой функции является прямая линия. Для построения этого участка графика найдем координаты его конечных точек:

• На левой границе, при $x=1$, получаем $y = 1 - 2 = -1$. Так как неравенство $1 < x$ строгое, точка $(1, -1)$ не принадлежит этому участку графика и отмечается выколотым (пустым) кружком.
• На правой границе, при $x=4$, получаем $y = 4 - 2 = 2$. Так как неравенство $x \le 4$ нестрогое, точка $(4, 2)$ принадлежит графику и отмечается закрашенным кружком.

Соединяем эти две точки отрезком прямой.

Объединяя обе части на одной координатной плоскости, мы видим, что первая часть (парабола) заканчивается в закрашенной точке $(1, -1)$, а вторая часть (прямая) начинается в выколотой точке $(1, -1)$. Это означает, что в точке $x=1$ функция непрерывна, и ее значение $y(1) = -1$ определяется по первой формуле. Итоговый график не имеет разрывов.

Ответ: График функции состоит из двух частей. Первая часть — это дуга параболы $y=-x^2$, определенная на отрезке $[-3, 1]$, которая соединяет точки $(-3, -9)$ и $(1, -1)$. Вторая часть — это отрезок прямой $y=x-2$, определенный на полуинтервале $(1, 4]$, который соединяет точки $(1, -1)$ и $(4, 2)$. Обе части соединяются в точке $(1, -1)$, образуя непрерывную кривую.