Номер 49, страница 9, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Задачи на повторение. Часть 2 - номер 49, страница 9.

Условие.

49 Постройте график функции $y = -x^2$.

Найдите:

а) значения функции при значении аргумента, равном $-3$; $-2$; $1$;

б) значения аргумента, если значение функции равно $0$; $-1$; $-4$;

в) наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке $[-1; 3]$;

г) координаты точек пересечения параболы $y = -x^2$ и прямой $y = 2x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для построения графика функции $y = -x^2$ необходимо составить таблицу соответствия значений аргумента $x$ и функции $y$. Графиком данной функции является парабола, вершина которой находится в начале координат $(0, 0)$, а ветви направлены вниз.

Составим таблицу значений:

$x$	-3	-2	-1	0	1	2	3
$y$	-9	-4	-1	0	-1	-4	-9

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавной линией, мы получим график параболы $y = -x^2$.

а) значения функции при значении аргумента, равном –3; –2; 1;
Чтобы найти значения функции, подставим данные значения аргумента $x$ в формулу $y = -x^2$.
Если $x = -3$, то $y = -(-3)^2 = -9$.
Если $x = -2$, то $y = -(-2)^2 = -4$.
Если $x = 1$, то $y = -(1)^2 = -1$.
Ответ: при $x=-3$ значение функции равно $-9$; при $x=-2$ значение функции равно $-4$; при $x=1$ значение функции равно $-1$.

б) значения аргумента, если значение функции равно 0; –1; –4;
Чтобы найти значения аргумента, подставим данные значения функции $y$ в формулу $y = -x^2$ и решим получившиеся уравнения.
Если $y = 0$, то $0 = -x^2$, откуда $x^2 = 0$, следовательно $x = 0$.
Если $y = -1$, то $-1 = -x^2$, откуда $x^2 = 1$, следовательно $x = 1$ или $x = -1$.
Если $y = -4$, то $-4 = -x^2$, откуда $x^2 = 4$, следовательно $x = 2$ или $x = -2$.
Ответ: значение функции равно $0$ при $x=0$; значение функции равно $-1$ при $x = \pm1$; значение функции равно $-4$ при $x = \pm2$.

в) наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [–1; 3];
График функции $y = -x^2$ – это парабола с ветвями вниз, вершина которой находится в точке $(0,0)$. Эта точка является точкой глобального максимума функции. Так как $x=0$ принадлежит отрезку $[-1; 3]$, то наибольшее значение функции на этом отрезке достигается в точке $x=0$.
$y_{наиб} = y(0) = -0^2 = 0$.
Наименьшее значение функции на отрезке будет достигаться на одном из его концов. Найдем значения функции на концах отрезка:
$y(-1) = -(-1)^2 = -1$.
$y(3) = -(3)^2 = -9$.
Сравнивая значения $-1$ и $-9$, заключаем, что $y_{наим} = -9$.
Ответ: наименьшее значение функции на отрезке $[-1; 3]$ равно $-9$, а наибольшее равно $0$.

г) координаты точек пересечения параболы $y = -x^2$ и прямой $y = 2x$.
Для нахождения точек пересечения графиков двух функций необходимо решить систему уравнений: $\begin{cases} y = -x^2 \\ y = 2x \end{cases}$.
Приравняем правые части уравнений: $-x^2 = 2x$.
Перенесем все слагаемые в одну часть и решим уравнение: $x^2 + 2x = 0$
$x(x + 2) = 0$
Отсюда находим два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -2$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив найденные $x$ в уравнение прямой $y = 2x$.
При $x_1 = 0$, $y_1 = 2 \cdot 0 = 0$. Получаем точку $(0, 0)$.
При $x_2 = -2$, $y_2 = 2 \cdot (-2) = -4$. Получаем точку $(-2, -4)$.
Ответ: координаты точек пересечения параболы и прямой: $(0, 0)$ и $(-2, -4)$.