Номер 42, страница 8, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Задачи на повторение. Часть 2 - номер 42, страница 8.

Условие.

42 a) Даны точки $C(2; 4)$ и $D(1; 5)$. Постройте прямую, симметричную прямой $CD$ относительно оси абсцисс.

б) Даны точки $E(-1; 4)$ и $F(2; -2)$. Постройте прямую, симметричную прямой $EF$ относительно оси ординат.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Чтобы построить прямую, симметричную прямой $CD$ относительно оси абсцисс (оси $Ox$), необходимо найти координаты точек $C'$ и $D'$, которые симметричны точкам $C$ и $D$ относительно этой оси. Прямая, проходящая через точки $C'$ и $D'$, и будет искомой.

При симметрии относительно оси абсцисс абсцисса ($x$) точки сохраняется, а ордината ($y$) меняет свой знак на противоположный. Таким образом, точка $(x; y)$ отображается в точку $(x; -y)$.

Исходные точки: $C(2; 4)$ и $D(1; 5)$.

1. Находим координаты точки $C'$, симметричной точке $C(2; 4)$:
Абсцисса остается прежней: $x_{C'} = 2$.
Ордината меняет знак: $y_{C'} = -4$.
Следовательно, координаты точки $C'$ равны $(2; -4)$.

2. Находим координаты точки $D'$, симметричной точке $D(1; 5)$:
Абсцисса остается прежней: $x_{D'} = 1$.
Ордината меняет знак: $y_{D'} = -5$.
Следовательно, координаты точки $D'$ равны $(1; -5)$.

3. Для построения искомой прямой нужно на координатной плоскости отметить точки $C'(2; -4)$ и $D'(1; -5)$ и провести через них прямую.

Для полноты решения найдем уравнение этой прямой $y = kx + b$. Подставим координаты точек $C'$ и $D'$ в уравнение: $$ \begin{cases} -4 = k \cdot 2 + b \\ -5 = k \cdot 1 + b \end{cases} $$ Вычитая второе уравнение из первого, получаем: $(-4) - (-5) = (2k + b) - (k + b)$, что дает $1 = k$.
Подставив $k=1$ во второе уравнение, находим $b$: $-5 = 1 + b$, откуда $b = -6$.
Уравнение симметричной прямой: $y = x - 6$.

Ответ: Чтобы построить искомую прямую, нужно найти точки $C'(2; -4)$ и $D'(1; -5)$, симметричные данным точкам относительно оси абсцисс, и провести через них прямую.

б)

Чтобы построить прямую, симметричную прямой $EF$ относительно оси ординат (оси $Oy$), необходимо найти координаты точек $E'$ и $F'$, которые симметричны точкам $E$ и $F$ относительно этой оси. Искомая прямая будет проходить через точки $E'$ и $F'$.

При симметрии относительно оси ординат ордината ($y$) точки сохраняется, а абсцисса ($x$) меняет свой знак на противоположный. Таким образом, точка $(x; y)$ отображается в точку $(-x; y)$.

Исходные точки: $E(-1; 4)$ и $F(2; -2)$.

1. Находим координаты точки $E'$, симметричной точке $E(-1; 4)$:
Абсцисса меняет знак: $x_{E'} = -(-1) = 1$.
Ордината остается прежней: $y_{E'} = 4$.
Следовательно, координаты точки $E'$ равны $(1; 4)$.

2. Находим координаты точки $F'$, симметричной точке $F(2; -2)$:
Абсцисса меняет знак: $x_{F'} = -2$.
Ордината остается прежней: $y_{F'} = -2$.
Следовательно, координаты точки $F'$ равны $(-2; -2)$.

3. Для построения искомой прямой нужно на координатной плоскости отметить точки $E'(1; 4)$ и $F'(-2; -2)$ и провести через них прямую.

Для полноты решения найдем уравнение этой прямой $y = kx + b$. Подставим координаты точек $E'$ и $F'$ в уравнение: $$ \begin{cases} 4 = k \cdot 1 + b \\ -2 = k \cdot (-2) + b \end{cases} $$ Вычитая второе уравнение из первого, получаем: $4 - (-2) = (k + b) - (-2k + b)$, что дает $6 = 3k$, откуда $k = 2$.
Подставив $k=2$ в первое уравнение, находим $b$: $4 = 2 + b$, откуда $b = 2$.
Уравнение симметричной прямой: $y = 2x + 2$.

Ответ: Чтобы построить искомую прямую, нужно найти точки $E'(1; 4)$ и $F'(-2; -2)$, симметричные данным точкам относительно оси ординат, и провести через них прямую.