Номер 35, страница 7, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Задачи на повторение. Часть 2 - номер 35, страница 7.

Условие.

35 а) $ \frac{9x^2 - 6x + 1}{9x^2 - 1}; $

б) $ \frac{16a^2 - 25b^2}{16a^2 + 40ab + 25b^2}; $

в) $ \frac{4m^2 - 9n^2}{9n^2 - 12mn + 4m^2}; $

г) $ \frac{36t^2 + 12st + s^2}{s^2 - 36t^2}. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Для упрощения дроби $\frac{9x^2 - 6x + 1}{9x^2 - 1}$ воспользуемся формулами сокращенного умножения, разложив числитель и знаменатель на множители.
Числитель $9x^2 - 6x + 1$ является полным квадратом разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Здесь $a=3x$ и $b=1$.
$9x^2 - 6x + 1 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 1 + 1^2 = (3x-1)^2$.
Знаменатель $9x^2 - 1$ является разностью квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$. Здесь $a=3x$ и $b=1$.
$9x^2 - 1 = (3x)^2 - 1^2 = (3x-1)(3x+1)$.
Подставим полученные выражения в дробь:
$\frac{(3x-1)^2}{(3x-1)(3x+1)}$
Сократим общий множитель $(3x-1)$ в числителе и знаменателе:
$\frac{3x-1}{3x+1}$
Ответ: $\frac{3x-1}{3x+1}$

б) Упростим дробь $\frac{16a^2 - 25b^2}{16a^2 + 40ab + 25b^2}$, разложив числитель и знаменатель на множители.
Числитель $16a^2 - 25b^2$ является разностью квадратов $x^2-y^2 = (x-y)(x+y)$. Здесь $x=4a$ и $y=5b$.
$16a^2 - 25b^2 = (4a)^2 - (5b)^2 = (4a-5b)(4a+5b)$.
Знаменатель $16a^2 + 40ab + 25b^2$ является полным квадратом суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. Здесь $x=4a$ и $y=5b$.
$16a^2 + 40ab + 25b^2 = (4a)^2 + 2 \cdot 4a \cdot 5b + (5b)^2 = (4a+5b)^2$.
Подставим полученные выражения в дробь:
$\frac{(4a-5b)(4a+5b)}{(4a+5b)^2}$
Сократим общий множитель $(4a+5b)$:
$\frac{4a-5b}{4a+5b}$
Ответ: $\frac{4a-5b}{4a+5b}$

в) Упростим дробь $\frac{4m^2 - 9n^2}{9n^2 - 12mn + 4m^2}$.
Разложим числитель $4m^2 - 9n^2$ по формуле разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$. Здесь $a=2m$ и $b=3n$.
$4m^2 - 9n^2 = (2m)^2 - (3n)^2 = (2m-3n)(2m+3n)$.
Разложим знаменатель $9n^2 - 12mn + 4m^2$. Для удобства переставим слагаемые: $4m^2 - 12mn + 9n^2$. Это формула квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Здесь $a=2m$ и $b=3n$.
$4m^2 - 12mn + 9n^2 = (2m)^2 - 2 \cdot 2m \cdot 3n + (3n)^2 = (2m-3n)^2$.
Подставим разложения в исходную дробь:
$\frac{(2m-3n)(2m+3n)}{(2m-3n)^2}$
Сократим дробь на общий множитель $(2m-3n)$:
$\frac{2m+3n}{2m-3n}$
Ответ: $\frac{2m+3n}{2m-3n}$

г) Упростим дробь $\frac{36t^2 + 12st + s^2}{s^2 - 36t^2}$.
Числитель $36t^2 + 12st + s^2$ является полным квадратом суммы. Переставим слагаемые для наглядности: $s^2 + 12st + 36t^2$. Используем формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a=s$ и $b=6t$.
$s^2 + 12st + 36t^2 = s^2 + 2 \cdot s \cdot 6t + (6t)^2 = (s+6t)^2$.
Знаменатель $s^2 - 36t^2$ является разностью квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a=s$ и $b=6t$.
$s^2 - 36t^2 = s^2 - (6t)^2 = (s-6t)(s+6t)$.
Подставим разложенные многочлены в дробь:
$\frac{(s+6t)^2}{(s-6t)(s+6t)}$
Сократим общий множитель $(s+6t)$:
$\frac{s+6t}{s-6t}$
Ответ: $\frac{s+6t}{s-6t}$