Номер 31, страница 6, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Задачи на повторение. Часть 2 - номер 31, страница 6.

Условие.

Сократите дробь:

31 а) $ \frac{a^2 + a}{a^3 + a^2}; $

б) $ \frac{3p + 6q}{p^2 + 2pq}; $

в) $ \frac{8m - 8n}{9n - 9m}; $

г) $ \frac{3x^3 + 3xy^2}{6yx^2 + 6y^3}. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Чтобы сократить дробь $\frac{a^2 + a}{a^3 + a^2}$, нужно разложить числитель и знаменатель на множители.

В числителе вынесем общий множитель $a$ за скобки: $a^2 + a = a(a + 1)$.

В знаменателе вынесем общий множитель $a^2$ за скобки: $a^3 + a^2 = a^2(a + 1)$.

Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь: $\frac{a(a + 1)}{a^2(a + 1)}$.

Сократим общие множители $a$ и $(a + 1)$ в числителе и знаменателе. Это возможно при условии, что $a \neq 0$ и $a + 1 \neq 0$. $\frac{\cancel{a}(\cancel{a + 1})}{a^{\cancel{2}}(\cancel{a + 1})} = \frac{1}{a}$.

Ответ: $\frac{1}{a}$

б)

Чтобы сократить дробь $\frac{3p + 6q}{p^2 + 2pq}$, разложим числитель и знаменатель на множители.

В числителе вынесем общий множитель 3 за скобки: $3p + 6q = 3(p + 2q)$.

В знаменателе вынесем общий множитель $p$ за скобки: $p^2 + 2pq = p(p + 2q)$.

Подставим полученные выражения в дробь: $\frac{3(p + 2q)}{p(p + 2q)}$.

Сократим общий множитель $(p + 2q)$. Это возможно при условии, что $p \neq 0$ и $p + 2q \neq 0$. $\frac{3(\cancel{p + 2q})}{p(\cancel{p + 2q})} = \frac{3}{p}$.

Ответ: $\frac{3}{p}$

в)

Для сокращения дроби $\frac{8m - 8n}{9n - 9m}$ вынесем общие множители в числителе и знаменателе.

В числителе вынесем за скобки 8: $8m - 8n = 8(m - n)$.

В знаменателе вынесем за скобки 9: $9n - 9m = 9(n - m)$.

Дробь примет вид: $\frac{8(m - n)}{9(n - m)}$.

Заметим, что выражения в скобках отличаются только знаком: $n - m = -(m - n)$. Заменим выражение в знаменателе: $\frac{8(m - n)}{9 \cdot (-(m - n))} = \frac{8(m - n)}{-9(m - n)}$.

Теперь сократим общий множитель $(m - n)$. Это возможно при условии, что $m \neq n$. $\frac{8(\cancel{m - n})}{-9(\cancel{m - n})} = \frac{8}{-9} = -\frac{8}{9}$.

Ответ: $-\frac{8}{9}$

г)

Рассмотрим дробь $\frac{3x^3 + 3xy^2}{6yx^2 + 6y^3}$. Разложим на множители числитель и знаменатель.

В числителе вынесем общий множитель $3x$ за скобки: $3x^3 + 3xy^2 = 3x(x^2 + y^2)$.

В знаменателе вынесем общий множитель $6y$ за скобки: $6yx^2 + 6y^3 = 6y(x^2 + y^2)$.

Подставим разложения в дробь: $\frac{3x(x^2 + y^2)}{6y(x^2 + y^2)}$.

Сократим общий множитель $(x^2 + y^2)$ (при условии, что $x$ и $y$ не равны нулю одновременно), а также числовой коэффициент 3: $\frac{\cancel{3}x(\cancel{x^2 + y^2})}{\cancel{6}_2 y(\cancel{x^2 + y^2})} = \frac{x}{2y}$.

Ответ: $\frac{x}{2y}$