Номер 24, страница 6, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Задачи на повторение. Часть 2 - номер 24, страница 6.

Условие.

24 Докажите тождество

$(a - 2)(a^2 + 2a + 4) - (a + c)(a^2 - ac + c^2) + (c + 2)(c^2 - 2c + 4) = 0.$

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для доказательства данного тождества преобразуем его левую часть. Для этого воспользуемся формулами сокращенного умножения: разностью кубов $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$ и суммой кубов $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.

Проанализируем и упростим каждое произведение в левой части равенства по отдельности:

1. Первое произведение $(a - 2)(a^2 + 2a + 4)$ представляет собой формулу разности кубов. Здесь $x=a$ и $y=2$.

$(a - 2)(a^2 + a \cdot 2 + 2^2) = a^3 - 2^3 = a^3 - 8$.

2. Второе произведение $(a + c)(a^2 - ac + c^2)$ является формулой суммы кубов. Здесь $x=a$ и $y=c$.

$(a + c)(a^2 - ac + c^2) = a^3 + c^3$.

3. Третье произведение $(c + 2)(c^2 - 2c + 4)$ также является формулой суммы кубов. Здесь $x=c$ и $y=2$.

$(c + 2)(c^2 - c \cdot 2 + 2^2) = c^3 + 2^3 = c^3 + 8$.

Теперь подставим полученные упрощенные выражения в левую часть исходного тождества:

$(a - 2)(a^2 + 2a + 4) - (a + c)(a^2 - ac + c^2) + (c + 2)(c^2 - 2c + 4) = (a^3 - 8) - (a^3 + c^3) + (c^3 + 8)$.

Раскроем скобки и выполним сложение и вычитание:

$a^3 - 8 - a^3 - c^3 + c^3 + 8$.

Приведем подобные слагаемые:

$(a^3 - a^3) + (-c^3 + c^3) + (-8 + 8) = 0 + 0 + 0 = 0$.

В результате преобразований левая часть равенства оказалась равной 0, что соответствует правой части равенства. Таким образом, $0 = 0$.

Ответ: Тождество доказано.