Номер 18, страница 5, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Задачи на повторение. Часть 2 - номер 18, страница 5.

Условие.

18 Укажите выражения, которые являются тождеством:

а) $(a - 3)(a + 7) = (3 - a)(7 + a)$

б) $(a - 3)(a - 7) = (3 - a)(7 - a)$

в) $(a - 3)(a + 7) = (3 - a)(-7 - a)$

г) $(a - 3)(a - 7) = -(a + 3)(-7 + a).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Тождество — это равенство, верное при любых допустимых значениях входящих в него переменных. Чтобы проверить, является ли равенство тождеством, нужно преобразовать одну или обе его части и убедиться, что они идентичны.

а) $(a - 3)(a + 7) = (3 - a)(7 + a)$

Преобразуем правую часть равенства. В выражении $(3 - a)$ вынесем $-1$ за скобки:

$(3 - a) = -(a - 3)$

Тогда правая часть примет вид:

$(3 - a)(7 + a) = -(a - 3)(a + 7)$

В результате получаем равенство:

$(a - 3)(a + 7) = -(a - 3)(a + 7)$

Это равенство выполняется только в том случае, если $(a - 3)(a + 7) = 0$, то есть при $a = 3$ или $a = -7$. Оно не является верным для всех значений переменной $a$. Следовательно, данное выражение не является тождеством.

Ответ: не является тождеством.

б) $(a - 3)(a - 7) = (3 - a)(7 - a)$

Преобразуем правую часть равенства. Вынесем $-1$ за скобки в каждом из множителей:

$(3 - a) = -(a - 3)$

$(7 - a) = -(a - 7)$

Подставим преобразованные выражения в правую часть:

$(3 - a)(7 - a) = (-(a - 3)) \cdot (-(a - 7)) = (-1) \cdot (a - 3) \cdot (-1) \cdot (a - 7) = (a - 3)(a - 7)$

Левая и правая части равенства полностью совпадают: $(a - 3)(a - 7) = (a - 3)(a - 7)$. Это равенство верно при любых значениях $a$. Следовательно, данное выражение является тождеством.

Ответ: является тождеством.

в) $(a - 3)(a + 7) = (3 - a)(-7 - a)$

Преобразуем правую часть равенства. Вынесем $-1$ за скобки в каждом из множителей:

$(3 - a) = -(a - 3)$

$(-7 - a) = -(7 + a) = -(a + 7)$

Подставим преобразованные выражения в правую часть:

$(3 - a)(-7 - a) = (-(a - 3)) \cdot (-(a + 7)) = (-1) \cdot (a - 3) \cdot (-1) \cdot (a + 7) = (a - 3)(a + 7)$

Левая и правая части равенства полностью совпадают: $(a - 3)(a + 7) = (a - 3)(a + 7)$. Это равенство верно при любых значениях $a$. Следовательно, данное выражение является тождеством.

Ответ: является тождеством.

г) $(a - 3)(a - 7) = -(a + 3)(-7 + a)$

Раскроем скобки в обеих частях равенства для их сравнения.

Левая часть:

$(a - 3)(a - 7) = a^2 - 7a - 3a + 21 = a^2 - 10a + 21$

Правая часть:

$-(a + 3)(-7 + a) = -(a + 3)(a - 7) = -(a^2 - 7a + 3a - 21) = -(a^2 - 4a - 21) = -a^2 + 4a + 21$

Сравниваем полученные выражения:

$a^2 - 10a + 21$ и $-a^2 + 4a + 21$

Эти выражения не равны друг другу для всех значений $a$. Например, при $a=1$: левая часть равна $1 - 10 + 21 = 12$, а правая $-1 + 4 + 21 = 24$. Следовательно, данное выражение не является тождеством.

Ответ: не является тождеством.