Номер 38, страница 7, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Задачи на повторение. Часть 2 - номер 38, страница 7.

Условие.

38. На координатной плоскости отметьте точки $A(2; 4)$ и $B(2; 7)$. Изобразите квадрат, одной из сторон которого служит отрезок $AB$. Найдите координаты вершин квадрата. Сколько таких квадратов можно построить?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Даны две точки $A(2; 4)$ и $B(2; 7)$, отрезок AB является одной из сторон квадрата.

Сначала найдем длину стороны квадрата. Поскольку абсциссы (координаты по оси x) точек A и B одинаковы и равны 2, отрезок AB является вертикальным. Его длина равна модулю разности ординат (координат по оси y):
Длина $AB = |y_B - y_A| = |7 - 4| = 3$.
Следовательно, длина стороны квадрата равна 3 единичным отрезкам.

Стороны квадрата, примыкающие к стороне AB, должны быть ей перпендикулярны. Так как AB — это вертикальный отрезок, то смежные с ним стороны должны быть горизонтальными отрезками длиной 3. Это означает, что квадрат можно построить либо справа от отрезка AB, либо слева от него.

Найдите координаты вершин квадрата.

Рассмотрим два возможных случая построения квадрата.

Случай 1: Квадрат расположен справа от отрезка AB.
Пусть две другие вершины квадрата — это C и D. Вершины C и D должны быть смещены вправо от вершин B и A на 3 единицы по горизонтали.
Координаты вершины C, смежной с B: $x_C = x_B + 3 = 2 + 3 = 5$; $y_C = y_B = 7$. Таким образом, точка $C(5; 7)$.
Координаты вершины D, смежной с A: $x_D = x_A + 3 = 2 + 3 = 5$; $y_D = y_A = 4$. Таким образом, точка $D(5; 4)$.
В этом случае вершины квадрата имеют координаты: $A(2; 4)$, $B(2; 7)$, $C(5; 7)$ и $D(5; 4)$.

Случай 2: Квадрат расположен слева от отрезка AB.
Пусть две другие вершины квадрата — это C' и D'. Вершины C' и D' должны быть смещены влево от вершин B и A на 3 единицы по горизонтали.
Координаты вершины C', смежной с B: $x_{C'} = x_B - 3 = 2 - 3 = -1$; $y_{C'} = y_B = 7$. Таким образом, точка $C'(-1; 7)$.
Координаты вершины D', смежной с A: $x_{D'} = x_A - 3 = 2 - 3 = -1$; $y_{D'} = y_A = 4$. Таким образом, точка $D'(-1; 4)$.
В этом случае вершины квадрата имеют координаты: $A(2; 4)$, $B(2; 7)$, $C'(-1; 7)$ и $D'(-1; 4)$.

Ответ: Существуют два возможных набора координат для вершин квадрата.
1. $A(2; 4)$, $B(2; 7)$, $C(5; 7)$, $D(5; 4)$.
2. $A(2; 4)$, $B(2; 7)$, $C(-1; 7)$, $D(-1; 4)$.

Сколько таких квадратов можно построить?

Как было показано выше, существуют два возможных расположения квадрата относительно стороны AB: один справа от отрезка и один слева. Следовательно, можно построить два различных квадрата.
Ответ: 2.