Номер 41, страница 7, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Задачи на повторение. Часть 2 - номер 41, страница 7.

Условие.

41 a) Изобразите на координатной плоскости точку $A(-3; 3)$ и прямую $x = -2$. Найдите точку, симметричную данной относительно построенной прямой.

б) Изобразите на координатной плоскости точку $C(4; -2)$ и прямую $y = 1$. Найдите точку, симметричную данной относительно построенной прямой.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы найти точку, симметричную точке $A(-3; 3)$ относительно прямой $x = -2$, нужно учесть, что эта прямая является осью симметрии. Отрезок, соединяющий исходную точку и симметричную ей, должен быть перпендикулярен оси симметрии и делиться ею пополам.

Прямая $x = -2$ является вертикальной. Следовательно, отрезок, соединяющий точку $A$ и симметричную ей точку $A'$, будет горизонтальным. Это означает, что их ординаты (координаты $y$) совпадают: $y_{A'} = y_A = 3$.

Абсцисса прямой симметрии ($x = -2$) является средним арифметическим абсцисс точек $A$ и $A'$. Обозначим координаты симметричной точки как $A'(x'; y')$.

Формула для нахождения новой абсциссы:

$\frac{x_A + x'}{2} = -2$

Подставим значение $x_A = -3$:

$\frac{-3 + x'}{2} = -2$

$-3 + x' = -4$

$x' = -4 + 3 = -1$

Таким образом, координаты симметричной точки $A'$ равны $(-1; 3)$.

Геометрически: расстояние от точки $A$ до прямой $x=-2$ по оси $x$ равно $|-3 - (-2)| = 1$. Симметричная точка будет находиться на таком же расстоянии с другой стороны от прямой: $-2 + 1 = -1$. Ордината не меняется.

Ответ: $(-1; 3).

б) Чтобы найти точку, симметричную точке $C(4; -2)$ относительно прямой $y = 1$, воспользуемся аналогичными рассуждениями.

Прямая $y = 1$ является горизонтальной. Следовательно, отрезок, соединяющий точку $C$ и симметричную ей точку $C'$, будет вертикальным. Это означает, что их абсциссы (координаты $x$) совпадают: $x_{C'} = x_C = 4$.

Ордината прямой симметрии ($y = 1$) является средним арифметическим ординат точек $C$ и $C'$. Обозначим координаты симметричной точки как $C'(x'; y')$.

Формула для нахождения новой ординаты:

$\frac{y_C + y'}{2} = 1$

Подставим значение $y_C = -2$:

$\frac{-2 + y'}{2} = 1$

$-2 + y' = 2$

$y' = 2 + 2 = 4$

Таким образом, координаты симметричной точки $C'$ равны $(4; 4)$.

Геометрически: расстояние от точки $C$ до прямой $y=1$ по оси $y$ равно $|-2 - 1| = 3$. Симметричная точка будет находиться на таком же расстоянии с другой стороны от прямой: $1 + 3 = 4$. Абсцисса не меняется.

Ответ: $(4; 4).