Страница 7, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

34 а) $\frac{4p^2 - 2p + 1}{8p^3 + 1}$;

б) $\frac{27a^3 + 8}{2 + 3a}$;

в) $\frac{9 + 12z + 16z^2}{27 - 64z^3}$;

г) $\frac{5 + 2m}{125 + 8m^3}$.

а) Чтобы упростить дробь $\frac{4p^2 - 2p + 1}{8p^3 + 1}$, разложим знаменатель на множители. Знаменатель представляет собой сумму кубов.
Воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.
Представим знаменатель в виде $8p^3 + 1 = (2p)^3 + 1^3$.
Применяя формулу, где $a = 2p$ и $b = 1$, получаем:
$8p^3 + 1 = (2p + 1)((2p)^2 - 2p \cdot 1 + 1^2) = (2p + 1)(4p^2 - 2p + 1)$.
Подставим это выражение в исходную дробь:
$\frac{4p^2 - 2p + 1}{(2p + 1)(4p^2 - 2p + 1)}$
Сократим общий множитель $(4p^2 - 2p + 1)$ в числителе и знаменателе:
$\frac{\sout{4p^2 - 2p + 1}}{(2p + 1)(\sout{4p^2 - 2p + 1})} = \frac{1}{2p + 1}$.
Ответ: $\frac{1}{2p + 1}$

б) Чтобы упростить дробь $\frac{27a^3 + 8}{2 + 3a}$, разложим числитель на множители. Числитель представляет собой сумму кубов.
Воспользуемся формулой суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$.
Представим числитель в виде $27a^3 + 8 = (3a)^3 + 2^3$.
Применяя формулу, где $x = 3a$ и $y = 2$, получаем:
$27a^3 + 8 = (3a + 2)((3a)^2 - 3a \cdot 2 + 2^2) = (3a + 2)(9a^2 - 6a + 4)$.
Подставим это выражение в исходную дробь:
$\frac{(3a + 2)(9a^2 - 6a + 4)}{2 + 3a}$
Так как $3a + 2 = 2 + 3a$, сократим общий множитель:
$\frac{(\sout{3a + 2})(9a^2 - 6a + 4)}{\sout{2 + 3a}} = 9a^2 - 6a + 4$.
Ответ: $9a^2 - 6a + 4$

в) Чтобы упростить дробь $\frac{9 + 12z + 16z^2}{27 - 64z^3}$, разложим знаменатель на множители. Знаменатель представляет собой разность кубов.
Воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$.
Представим знаменатель в виде $27 - 64z^3 = 3^3 - (4z)^3$.
Применяя формулу, где $a = 3$ и $b = 4z$, получаем:
$27 - 64z^3 = (3 - 4z)(3^2 + 3 \cdot 4z + (4z)^2) = (3 - 4z)(9 + 12z + 16z^2)$.
Подставим это выражение в исходную дробь:
$\frac{9 + 12z + 16z^2}{(3 - 4z)(9 + 12z + 16z^2)}$
Сократим общий множитель $(9 + 12z + 16z^2)$ в числителе и знаменателе:
$\frac{\sout{9 + 12z + 16z^2}}{(3 - 4z)(\sout{9 + 12z + 16z^2})} = \frac{1}{3 - 4z}$.
Ответ: $\frac{1}{3 - 4z}$

г) Чтобы упростить дробь $\frac{5 + 2m}{125 + 8m^3}$, разложим знаменатель на множители. Знаменатель представляет собой сумму кубов.
Воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.
Представим знаменатель в виде $125 + 8m^3 = 5^3 + (2m)^3$.
Применяя формулу, где $a = 5$ и $b = 2m$, получаем:
$125 + 8m^3 = (5 + 2m)(5^2 - 5 \cdot 2m + (2m)^2) = (5 + 2m)(25 - 10m + 4m^2)$.
Подставим это выражение в исходную дробь:
$\frac{5 + 2m}{(5 + 2m)(25 - 10m + 4m^2)}$
Сократим общий множитель $(5 + 2m)$ в числителе и знаменателе:
$\frac{\sout{5 + 2m}}{(\sout{5 + 2m})(25 - 10m + 4m^2)} = \frac{1}{25 - 10m + 4m^2}$.
Ответ: $\frac{1}{25 - 10m + 4m^2}$

35 а) $ \frac{9x^2 - 6x + 1}{9x^2 - 1}; $

б) $ \frac{16a^2 - 25b^2}{16a^2 + 40ab + 25b^2}; $

в) $ \frac{4m^2 - 9n^2}{9n^2 - 12mn + 4m^2}; $

г) $ \frac{36t^2 + 12st + s^2}{s^2 - 36t^2}. $

а) Для упрощения дроби $\frac{9x^2 - 6x + 1}{9x^2 - 1}$ воспользуемся формулами сокращенного умножения, разложив числитель и знаменатель на множители.
Числитель $9x^2 - 6x + 1$ является полным квадратом разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Здесь $a=3x$ и $b=1$.
$9x^2 - 6x + 1 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 1 + 1^2 = (3x-1)^2$.
Знаменатель $9x^2 - 1$ является разностью квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$. Здесь $a=3x$ и $b=1$.
$9x^2 - 1 = (3x)^2 - 1^2 = (3x-1)(3x+1)$.
Подставим полученные выражения в дробь:
$\frac{(3x-1)^2}{(3x-1)(3x+1)}$
Сократим общий множитель $(3x-1)$ в числителе и знаменателе:
$\frac{3x-1}{3x+1}$
Ответ: $\frac{3x-1}{3x+1}$

б) Упростим дробь $\frac{16a^2 - 25b^2}{16a^2 + 40ab + 25b^2}$, разложив числитель и знаменатель на множители.
Числитель $16a^2 - 25b^2$ является разностью квадратов $x^2-y^2 = (x-y)(x+y)$. Здесь $x=4a$ и $y=5b$.
$16a^2 - 25b^2 = (4a)^2 - (5b)^2 = (4a-5b)(4a+5b)$.
Знаменатель $16a^2 + 40ab + 25b^2$ является полным квадратом суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. Здесь $x=4a$ и $y=5b$.
$16a^2 + 40ab + 25b^2 = (4a)^2 + 2 \cdot 4a \cdot 5b + (5b)^2 = (4a+5b)^2$.
Подставим полученные выражения в дробь:
$\frac{(4a-5b)(4a+5b)}{(4a+5b)^2}$
Сократим общий множитель $(4a+5b)$:
$\frac{4a-5b}{4a+5b}$
Ответ: $\frac{4a-5b}{4a+5b}$

в) Упростим дробь $\frac{4m^2 - 9n^2}{9n^2 - 12mn + 4m^2}$.
Разложим числитель $4m^2 - 9n^2$ по формуле разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$. Здесь $a=2m$ и $b=3n$.
$4m^2 - 9n^2 = (2m)^2 - (3n)^2 = (2m-3n)(2m+3n)$.
Разложим знаменатель $9n^2 - 12mn + 4m^2$. Для удобства переставим слагаемые: $4m^2 - 12mn + 9n^2$. Это формула квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Здесь $a=2m$ и $b=3n$.
$4m^2 - 12mn + 9n^2 = (2m)^2 - 2 \cdot 2m \cdot 3n + (3n)^2 = (2m-3n)^2$.
Подставим разложения в исходную дробь:
$\frac{(2m-3n)(2m+3n)}{(2m-3n)^2}$
Сократим дробь на общий множитель $(2m-3n)$:
$\frac{2m+3n}{2m-3n}$
Ответ: $\frac{2m+3n}{2m-3n}$

г) Упростим дробь $\frac{36t^2 + 12st + s^2}{s^2 - 36t^2}$.
Числитель $36t^2 + 12st + s^2$ является полным квадратом суммы. Переставим слагаемые для наглядности: $s^2 + 12st + 36t^2$. Используем формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a=s$ и $b=6t$.
$s^2 + 12st + 36t^2 = s^2 + 2 \cdot s \cdot 6t + (6t)^2 = (s+6t)^2$.
Знаменатель $s^2 - 36t^2$ является разностью квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a=s$ и $b=6t$.
$s^2 - 36t^2 = s^2 - (6t)^2 = (s-6t)(s+6t)$.
Подставим разложенные многочлены в дробь:
$\frac{(s+6t)^2}{(s-6t)(s+6t)}$
Сократим общий множитель $(s+6t)$:
$\frac{s+6t}{s-6t}$
Ответ: $\frac{s+6t}{s-6t}$

36 Изобразите на координатной прямой числовой промежуток, назовите его и запишите его аналитическую модель, используя знаки неравенств. Найдите наименьшее целое число, принадлежащее заданному промежутку:

а) $(2; +\infty);$

б) $(-\infty; 6];$

в) $[1; 5];$

г) $[4; 10).$

а) Промежуток $(2; +\infty)$ — это открытый числовой луч. На координатной прямой он изображается штриховкой всех точек, расположенных правее выколотой (пустой) точки с координатой 2. Аналитическая модель этого промежутка записывается в виде строгого неравенства $x > 2$. Чтобы найти наименьшее целое число, принадлежащее этому промежутку, нужно найти наименьшее целое $x$, которое больше 2. Этим числом является 3.
Ответ: 3.

б) Промежуток $(-\infty; 6]$ — это числовой луч. На координатной прямой он изображается штриховкой всех точек, расположенных левее закрашенной (сплошной) точки с координатой 6, включая саму точку. Аналитическая модель этого промежутка записывается в виде нестрогого неравенства $x \le 6$. Множество целых чисел, принадлежащих этому промежутку ($..., -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$), не ограничено снизу, то есть уходит в минус бесконечность. Следовательно, наименьшего целого числа в данном промежутке не существует.
Ответ: не существует.

в) Промежуток $[1; 5]$ — это числовой отрезок. На координатной прямой он изображается штриховкой всех точек, расположенных между закрашенными (сплошными) точками с координатами 1 и 5, включая сами эти точки. Аналитическая модель этого промежутка записывается в виде двойного нестрогого неравенства $1 \le x \le 5$. Целые числа, которые принадлежат этому отрезку: 1, 2, 3, 4, 5. Наименьшее из них — 1.
Ответ: 1.

г) Промежуток $[4; 10)$ — это полуинтервал. На координатной прямой он изображается штриховкой всех точек, расположенных между закрашенной (сплошной) точкой с координатой 4 и выколотой (пустой) точкой с координатой 10, включая точку 4. Аналитическая модель этого промежутка записывается в виде двойного неравенства $4 \le x < 10$. Целые числа, которые принадлежат этому полуинтервалу: 4, 5, 6, 7, 8, 9. Наименьшее из них — 4.
Ответ: 4.

37 Изобразите на координатной прямой числовой промежуток, назовите его и запишите его аналитическую модель, используя знаки неравенств. Укажите все целые числа, принадлежащие заданному промежутку:

а) $ (-2; 5) $;

б) $ [4; 8) $;

в) $ [-1; 4) $;

г) $ (4,5; 6) $.

а)

• Промежуток $(-2; 5)$ называется открытым числовым промежутком или интервалом.

• Изображение на координатной прямой:

• Аналитическая модель (в виде неравенства): $-2 < x < 5$.

• Целые числа, принадлежащие данному промежутку: -1, 0, 1, 2, 3, 4.

Ответ: Промежуток $(-2; 5)$ — это интервал (открытый числовой промежуток). Аналитическая модель: $-2 < x < 5$. Целые числа, принадлежащие промежутку: -1, 0, 1, 2, 3, 4.

б)

• Промежуток $[4; 8]$ называется замкнутым числовым промежутком или числовым отрезком.

• Изображение на координатной прямой:

• Аналитическая модель: $4 \le x \le 8$.

• Целые числа, принадлежащие данному промежутку: 4, 5, 6, 7, 8.

Ответ: Промежуток $[4; 8]$ — это отрезок (замкнутый числовой промежуток). Аналитическая модель: $4 \le x \le 8$. Целые числа, принадлежащие промежутку: 4, 5, 6, 7, 8.

в)

• Промежуток $[-1; 4)$ называется полуинтервалом или полуотрезком (замкнутым слева и открытым справа).

• Изображение на координатной прямой:

• Аналитическая модель: $-1 \le x < 4$.

• Целые числа, принадлежащие данному промежутку: -1, 0, 1, 2, 3.

Ответ: Промежуток $[-1; 4)$ — это полуинтервал. Аналитическая модель: $-1 \le x < 4$. Целые числа, принадлежащие промежутку: -1, 0, 1, 2, 3.

г)

• Промежуток $(4,5; 6)$ называется открытым числовым промежутком или интервалом.

• Изображение на координатной прямой:

• Аналитическая модель: $4,5 < x < 6$.

• Целые числа, принадлежащие данному промежутку: 5.

Ответ: Промежуток $(4,5; 6)$ — это интервал (открытый числовой промежуток). Аналитическая модель: $4,5 < x < 6$. Целое число, принадлежащее промежутку: 5.

38. На координатной плоскости отметьте точки $A(2; 4)$ и $B(2; 7)$. Изобразите квадрат, одной из сторон которого служит отрезок $AB$. Найдите координаты вершин квадрата. Сколько таких квадратов можно построить?

Даны две точки $A(2; 4)$ и $B(2; 7)$, отрезок AB является одной из сторон квадрата.

Сначала найдем длину стороны квадрата. Поскольку абсциссы (координаты по оси x) точек A и B одинаковы и равны 2, отрезок AB является вертикальным. Его длина равна модулю разности ординат (координат по оси y):
Длина $AB = |y_B - y_A| = |7 - 4| = 3$.
Следовательно, длина стороны квадрата равна 3 единичным отрезкам.

Стороны квадрата, примыкающие к стороне AB, должны быть ей перпендикулярны. Так как AB — это вертикальный отрезок, то смежные с ним стороны должны быть горизонтальными отрезками длиной 3. Это означает, что квадрат можно построить либо справа от отрезка AB, либо слева от него.

Найдите координаты вершин квадрата.

Рассмотрим два возможных случая построения квадрата.

Случай 1: Квадрат расположен справа от отрезка AB.
Пусть две другие вершины квадрата — это C и D. Вершины C и D должны быть смещены вправо от вершин B и A на 3 единицы по горизонтали.
Координаты вершины C, смежной с B: $x_C = x_B + 3 = 2 + 3 = 5$; $y_C = y_B = 7$. Таким образом, точка $C(5; 7)$.
Координаты вершины D, смежной с A: $x_D = x_A + 3 = 2 + 3 = 5$; $y_D = y_A = 4$. Таким образом, точка $D(5; 4)$.
В этом случае вершины квадрата имеют координаты: $A(2; 4)$, $B(2; 7)$, $C(5; 7)$ и $D(5; 4)$.

Случай 2: Квадрат расположен слева от отрезка AB.
Пусть две другие вершины квадрата — это C' и D'. Вершины C' и D' должны быть смещены влево от вершин B и A на 3 единицы по горизонтали.
Координаты вершины C', смежной с B: $x_{C'} = x_B - 3 = 2 - 3 = -1$; $y_{C'} = y_B = 7$. Таким образом, точка $C'(-1; 7)$.
Координаты вершины D', смежной с A: $x_{D'} = x_A - 3 = 2 - 3 = -1$; $y_{D'} = y_A = 4$. Таким образом, точка $D'(-1; 4)$.
В этом случае вершины квадрата имеют координаты: $A(2; 4)$, $B(2; 7)$, $C'(-1; 7)$ и $D'(-1; 4)$.

Ответ: Существуют два возможных набора координат для вершин квадрата.
1. $A(2; 4)$, $B(2; 7)$, $C(5; 7)$, $D(5; 4)$.
2. $A(2; 4)$, $B(2; 7)$, $C(-1; 7)$, $D(-1; 4)$.

Сколько таких квадратов можно построить?

Как было показано выше, существуют два возможных расположения квадрата относительно стороны AB: один справа от отрезка и один слева. Следовательно, можно построить два различных квадрата.
Ответ: 2.

39 На координатной плоскости отметьте точки $A(2; 4)$ и $C(7; -1)$.

Изобразите квадрат, диагональю которого служит отрезок $AC$.

Найдите координаты вершин квадрата.

Пусть искомый квадрат будет $ABCD$. Нам даны координаты противоположных вершин $A(2; 4)$ и $C(7; -1)$. Для нахождения координат двух других вершин, $B$ и $D$, воспользуемся свойствами диагоналей квадрата: они равны, перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам.

Изображение квадрата на координатной плоскости требует знания координат всех его четырех вершин. Поэтому основной задачей является их нахождение.

Найдите координаты вершин квадрата.

Решение можно разбить на два шага.

Шаг 1: Нахождение центра квадрата.
Центр квадрата, точка $M$, является серединой его диагонали $AC$. Найдем координаты точки $M$, используя формулы для нахождения координат середины отрезка: $x_M = \frac{x_A + x_C}{2}$ и $y_M = \frac{y_A + y_C}{2}$.

Подставим известные координаты вершин $A$ и $C$: $x_M = \frac{2 + 7}{2} = \frac{9}{2} = 4.5$ $y_M = \frac{4 + (-1)}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$ Таким образом, центр квадрата находится в точке $M(4.5; 1.5)$.

Шаг 2: Нахождение координат вершин B и D.
Вторая диагональ $BD$ также проходит через точку $M$ и перпендикулярна диагонали $AC$. Это означает, что вектор от центра до вершины $B$, $\vec{MB}$, перпендикулярен вектору от центра до вершины $A$, $\vec{MA}$, и равен ему по длине.

Сначала найдем координаты вектора $\vec{MA}$: $\vec{MA} = (x_A - x_M; y_A - y_M) = (2 - 4.5; 4 - 1.5) = (-2.5; 2.5)$.

Чтобы получить вектор, перпендикулярный вектору $(a; b)$ и равный ему по длине, можно поменять его координаты местами и изменить знак одной из них. Для вектора $\vec{MA} = (-2.5; 2.5)$ перпендикулярными векторами равной длины будут $\vec{v_1} = (2.5; 2.5)$ и $\vec{v_2} = (-2.5; -2.5)$. Эти векторы соответствуют векторам $\vec{MB}$ и $\vec{MD}$.

Теперь найдем координаты вершин $B$ и $D$, прибавляя к координатам центра $M$ координаты найденных векторов.

Для вершины $B$ (используя вектор $(2.5; 2.5)$): $x_B = x_M + 2.5 = 4.5 + 2.5 = 7$ $y_B = y_M + 2.5 = 1.5 + 2.5 = 4$ Получаем вершину $B(7; 4)$.

Для вершины $D$ (используя вектор $(-2.5; -2.5)$): $x_D = x_M - 2.5 = 4.5 - 2.5 = 2$ $y_D = y_M - 2.5 = 1.5 - 2.5 = -1$ Получаем вершину $D(2; -1)$.

Теперь, когда все вершины известны, можно отметить точки $A(2; 4)$, $B(7; 4)$, $C(7; -1)$ и $D(2; -1)$ на координатной плоскости и соединить их, чтобы изобразить искомый квадрат.

Ответ: Координаты вершин квадрата: $A(2; 4)$, $B(7; 4)$, $C(7; -1)$, $D(2; -1)$.

40 a) Отметьте на координатной плоскости точку $P(-1; 2)$. Найдите точку, симметричную данной относительно оси ординат.

б) Отметьте на координатной плоскости точку $K(3; -1)$. Найдите точку, симметричную данной относительно оси абсцисс.

a) Чтобы найти координаты точки, симметричной точке $P(-1; 2)$ относительно оси ординат (оси $Oy$), необходимо изменить знак её абсциссы ($x$) на противоположный, а ординату ($y$) оставить без изменений.

Для точки $P(-1; 2)$ её абсцисса $x = -1$, а ордината $y = 2$.

Новая абсцисса будет равна $-x = -(-1) = 1$.

Новая ордината останется прежней: $y = 2$.

Таким образом, точка, симметричная точке $P$ относительно оси ординат, имеет координаты $(1; 2)$.

Ответ: $(1; 2)$.

б) Чтобы найти координаты точки, симметричной точке $K(3; -1)$ относительно оси абсцисс (оси $Ox$), необходимо изменить знак её ординаты ($y$) на противоположный, а абсциссу ($x$) оставить без изменений.

Для точки $K(3; -1)$ её абсцисса $x = 3$, а ордината $y = -1$.

Новая абсцисса останется прежней: $x = 3$.

Новая ордината будет равна $-y = -(-1) = 1$.

Таким образом, точка, симметричная точке $K$ относительно оси абсцисс, имеет координаты $(3; 1)$.

Ответ: $(3; 1)$.

41 a) Изобразите на координатной плоскости точку $A(-3; 3)$ и прямую $x = -2$. Найдите точку, симметричную данной относительно построенной прямой.

б) Изобразите на координатной плоскости точку $C(4; -2)$ и прямую $y = 1$. Найдите точку, симметричную данной относительно построенной прямой.

а) Чтобы найти точку, симметричную точке $A(-3; 3)$ относительно прямой $x = -2$, нужно учесть, что эта прямая является осью симметрии. Отрезок, соединяющий исходную точку и симметричную ей, должен быть перпендикулярен оси симметрии и делиться ею пополам.

Прямая $x = -2$ является вертикальной. Следовательно, отрезок, соединяющий точку $A$ и симметричную ей точку $A'$, будет горизонтальным. Это означает, что их ординаты (координаты $y$) совпадают: $y_{A'} = y_A = 3$.

Абсцисса прямой симметрии ($x = -2$) является средним арифметическим абсцисс точек $A$ и $A'$. Обозначим координаты симметричной точки как $A'(x'; y')$.

Формула для нахождения новой абсциссы:

$\frac{x_A + x'}{2} = -2$

Подставим значение $x_A = -3$:

$\frac{-3 + x'}{2} = -2$

$-3 + x' = -4$

$x' = -4 + 3 = -1$

Таким образом, координаты симметричной точки $A'$ равны $(-1; 3)$.

Геометрически: расстояние от точки $A$ до прямой $x=-2$ по оси $x$ равно $|-3 - (-2)| = 1$. Симметричная точка будет находиться на таком же расстоянии с другой стороны от прямой: $-2 + 1 = -1$. Ордината не меняется.

Ответ: $(-1; 3).

б) Чтобы найти точку, симметричную точке $C(4; -2)$ относительно прямой $y = 1$, воспользуемся аналогичными рассуждениями.

Прямая $y = 1$ является горизонтальной. Следовательно, отрезок, соединяющий точку $C$ и симметричную ей точку $C'$, будет вертикальным. Это означает, что их абсциссы (координаты $x$) совпадают: $x_{C'} = x_C = 4$.

Ордината прямой симметрии ($y = 1$) является средним арифметическим ординат точек $C$ и $C'$. Обозначим координаты симметричной точки как $C'(x'; y')$.

Формула для нахождения новой ординаты:

$\frac{y_C + y'}{2} = 1$

Подставим значение $y_C = -2$:

$\frac{-2 + y'}{2} = 1$

$-2 + y' = 2$

$y' = 2 + 2 = 4$

Таким образом, координаты симметричной точки $C'$ равны $(4; 4)$.

Геометрически: расстояние от точки $C$ до прямой $y=1$ по оси $y$ равно $|-2 - 1| = 3$. Симметричная точка будет находиться на таком же расстоянии с другой стороны от прямой: $1 + 3 = 4$. Абсцисса не меняется.

Ответ: $(4; 4).