Страница 4, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1 а) $47 \cdot 15 + 53 \cdot 15;$

б) $29 \cdot 72 - 29 \cdot 22;$

в) $9.3 \cdot 34 + 16 \cdot 9.3;$

г) $8.3 \cdot 18 - 18 \cdot 5.8.$

а) Для решения этого примера воспользуемся распределительным свойством умножения относительно сложения: $a \cdot c + b \cdot c = (a + b) \cdot c$. В выражении $47 \cdot 15 + 53 \cdot 15$ общим множителем является число 15. Вынесем его за скобки, чтобы упростить вычисления: $(47 + 53) \cdot 15$. Сначала выполним действие в скобках: $47 + 53 = 100$. Затем умножим полученную сумму на общий множитель: $100 \cdot 15 = 1500$. Ответ: 1500.

б) В данном случае применяется распределительное свойство умножения относительно вычитания: $a \cdot c - b \cdot c = (a - b) \cdot c$. В выражении $29 \cdot 72 - 29 \cdot 22$ общий множитель — это 29. Вынесем его за скобки: $29 \cdot (72 - 22)$. Выполним вычитание в скобках: $72 - 22 = 50$. Теперь умножим общий множитель на полученную разность: $29 \cdot 50 = 1450$. Ответ: 1450.

в) Этот пример решается с помощью распределительного свойства умножения относительно сложения. Учитывая, что умножение коммутативно ($a \cdot b = b \cdot a$), выражение $9,3 \cdot 34 + 16 \cdot 9,3$ можно представить с общим множителем 9,3. Выносим его за скобки: $9,3 \cdot (34 + 16)$. Складываем числа в скобках: $34 + 16 = 50$. Умножаем результат на общий множитель: $9,3 \cdot 50 = 465$. Ответ: 465.

г) Здесь также используем распределительное свойство умножения, но уже относительно вычитания. Выражение $8,3 \cdot 18 - 18 \cdot 5,8$ имеет общий множитель 18. Применяя свойство, выносим его за скобки: $(8,3 - 5,8) \cdot 18$. Сначала найдем разность в скобках: $8,3 - 5,8 = 2,5$. Затем умножим полученное число на общий множитель: $2,5 \cdot 18 = 45$. Ответ: 45.

2 а) $ \frac{1}{2} + 2\frac{2}{3} + 1\frac{1}{2} + 1\frac{1}{3}; $

б) $ 3\frac{2}{5} \cdot 2\frac{3}{7} \cdot 5 \cdot 7; $

в) $ \left(\frac{3}{14} - \frac{2}{7} + \frac{1}{2}\right) \cdot 14; $

г) $ \left(12\frac{2}{9} + 24\frac{2}{3} - 16\frac{2}{15}\right) : 2. $

а) $\frac{1}{2} + 2\frac{2}{3} + 1\frac{1}{2} + 1\frac{1}{3}$

Для удобства вычислений сгруппируем слагаемые с одинаковыми знаменателями в дробной части, используя переместительное свойство сложения:

$(\frac{1}{2} + 1\frac{1}{2}) + (2\frac{2}{3} + 1\frac{1}{3})$

Вычислим сумму в каждой скобке. Для этого сложим отдельно целые и дробные части:

1) $\frac{1}{2} + 1\frac{1}{2} = 1 + (\frac{1}{2} + \frac{1}{2}) = 1 + \frac{2}{2} = 1 + 1 = 2$.

2) $2\frac{2}{3} + 1\frac{1}{3} = (2+1) + (\frac{2}{3} + \frac{1}{3}) = 3 + \frac{3}{3} = 3 + 1 = 4$.

Теперь сложим полученные результаты:

$2 + 4 = 6$.

Ответ: 6

б) $3\frac{2}{5} \cdot 2\frac{3}{7} \cdot 5 \cdot 7$

Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$3\frac{2}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{17}{5}$

$2\frac{3}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{17}{7}$

Подставим полученные дроби в исходное выражение:

$\frac{17}{5} \cdot \frac{17}{7} \cdot 5 \cdot 7$

Воспользуемся переместительным свойством умножения и сгруппируем множители для удобства сокращения:

$(\frac{17}{5} \cdot 5) \cdot (\frac{17}{7} \cdot 7)$

Выполним умножение в скобках, сократив знаменатели:

$\frac{17}{\sout{5}} \cdot \sout{5} = 17$

$\frac{17}{\sout{7}} \cdot \sout{7} = 17$

Осталось перемножить результаты:

$17 \cdot 17 = 289$.

Ответ: 289

в) $(\frac{3}{14} - \frac{2}{7} + \frac{1}{2}) \cdot 14$

Используем распределительное свойство умножения. Умножим каждый член в скобках на 14:

$\frac{3}{14} \cdot 14 - \frac{2}{7} \cdot 14 + \frac{1}{2} \cdot 14$

Вычислим каждое произведение:

1) $\frac{3}{14} \cdot 14 = 3$.

2) $\frac{2}{7} \cdot 14 = 2 \cdot \frac{14}{7} = 2 \cdot 2 = 4$.

3) $\frac{1}{2} \cdot 14 = \frac{14}{2} = 7$.

Теперь выполним сложение и вычитание полученных чисел:

$3 - 4 + 7 = -1 + 7 = 6$.

Ответ: 6

г) $(12\frac{2}{9} + 24\frac{2}{3} - 16\frac{2}{15}) : 2$

Воспользуемся распределительным свойством деления. Разделим каждое слагаемое в скобках на 2:

$12\frac{2}{9} : 2 + 24\frac{2}{3} : 2 - 16\frac{2}{15} : 2$

Чтобы разделить смешанное число на натуральное, можно разделить отдельно целую и дробную часть:

1) $12\frac{2}{9} : 2 = (12 + \frac{2}{9}) : 2 = 12:2 + \frac{2}{9}:2 = 6 + \frac{2}{9 \cdot 2} = 6 + \frac{1}{9} = 6\frac{1}{9}$.

2) $24\frac{2}{3} : 2 = (24 + \frac{2}{3}) : 2 = 24:2 + \frac{2}{3}:2 = 12 + \frac{2}{3 \cdot 2} = 12 + \frac{1}{3} = 12\frac{1}{3}$.

3) $16\frac{2}{15} : 2 = (16 + \frac{2}{15}) : 2 = 16:2 + \frac{2}{15}:2 = 8 + \frac{2}{15 \cdot 2} = 8 + \frac{1}{15} = 8\frac{1}{15}$.

Теперь подставим полученные значения в выражение:

$6\frac{1}{9} + 12\frac{1}{3} - 8\frac{1}{15}$

Сложим и вычтем целые части:

$6 + 12 - 8 = 10$.

Теперь сложим и вычтем дробные части, приведя их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 9, 3 и 15 это 45:

$\frac{1}{9} + \frac{1}{3} - \frac{1}{15} = \frac{1 \cdot 5}{9 \cdot 5} + \frac{1 \cdot 15}{3 \cdot 15} - \frac{1 \cdot 3}{15 \cdot 3} = \frac{5}{45} + \frac{15}{45} - \frac{3}{45} = \frac{5+15-3}{45} = \frac{17}{45}$.

Объединим целую и дробную части:

$10 + \frac{17}{45} = 10\frac{17}{45}$.

Ответ: $10\frac{17}{45}$

3 Найдите:

а) $3 \%$ от 45;

б) $125 \%$ от 12;

в) $2 \%$ от 15;

г) $206 \%$ от 250.

а) Чтобы найти процент от числа, нужно перевести проценты в десятичную дробь и умножить на это число. Переведем 3% в десятичную дробь, разделив на 100: $3\% = \frac{3}{100} = 0,03$. Теперь умножим число 45 на полученную дробь: $45 \cdot 0,03 = 1,35$.
Ответ: 1,35

б) Переведем 125% в десятичную дробь: $125\% = \frac{125}{100} = 1,25$. Умножим число 12 на 1,25: $12 \cdot 1,25 = 15$.
Ответ: 15

в) Переведем 2% в десятичную дробь: $2\% = \frac{2}{100} = 0,02$. Умножим число 15 на 0,02: $15 \cdot 0,02 = 0,3$.
Ответ: 0,3

г) Переведем 206% в десятичную дробь: $206\% = \frac{206}{100} = 2,06$. Умножим число 250 на 2,06: $250 \cdot 2,06 = 515$.
Ответ: 515

4. Найдите число $b$, если известно, что:

а) $30 \%$ от $30 \%$ числа $b$ равны $7,2$;

б) $25 \%$ от $24 \%$ числа $b$ равны $2,94$;

в) $38 \%$ от $80 \%$ числа $b$ равны $136,8$;

г) $35 \%$ от $70 \%$ числа $b$ равны $0,98$.

а) Чтобы найти число b, составим уравнение, исходя из условия, что 30% от 30% этого числа равны 7,2.
Сначала представим проценты в виде десятичных дробей: $30\% = 0,3$.
Уравнение будет выглядеть так:
$0,3 \cdot (0,3 \cdot b) = 7,2$
Выполним умножение в левой части:
$0,09 \cdot b = 7,2$
Теперь найдем b, разделив обе части на 0,09:
$b = \frac{7,2}{0,09} = \frac{720}{9} = 80$
Ответ: 80

б) По условию, 25% от 24% числа b равны 2,94.
Представим проценты в виде десятичных дробей: $25\% = 0,25$ и $24\% = 0,24$.
Составим и решим уравнение:
$0,25 \cdot (0,24 \cdot b) = 2,94$
$0,06 \cdot b = 2,94$
$b = \frac{2,94}{0,06} = \frac{294}{6} = 49$
Ответ: 49

в) По условию, 38% от 80% числа b равны 136,8.
Представим проценты в виде десятичных дробей: $38\% = 0,38$ и $80\% = 0,8$.
Составим и решим уравнение:
$0,38 \cdot (0,8 \cdot b) = 136,8$
$0,304 \cdot b = 136,8$
$b = \frac{136,8}{0,304} = \frac{136800}{304} = 450$
Ответ: 450

г) По условию, 35% от 70% числа b равны 0,98.
Представим проценты в виде десятичных дробей: $35\% = 0,35$ и $70\% = 0,7$.
Составим и решим уравнение:
$0,35 \cdot (0,7 \cdot b) = 0,98$
$0,245 \cdot b = 0,98$
$b = \frac{0,98}{0,245} = \frac{980}{245} = 4$
Ответ: 4

5 Что больше:

а) $25 \%$ числа 52 или $2,5 \%$ числа 212;

б) $41 \%$ числа 83 или $15 \%$ числа 20;

в) $12 \%$ числа 16 или $1,2 \%$ числа 160;

г) $3 \%$ числа 72 или $0,5 \%$ числа 13?

а) Чтобы найти процент от числа, нужно перевести проценты в десятичную дробь и умножить на это число.
Найдем 25 % от числа 52. Переведем 25 % в десятичную дробь: $25 \ \% = 0,25$.
Вычислим: $0,25 \times 52 = 13$.
Найдем 2,5 % от числа 212. Переведем 2,5 % в десятичную дробь: $2,5 \ \% = 0,025$.
Вычислим: $0,025 \times 212 = 5,3$.
Сравним полученные значения: $13 > 5,3$.
Следовательно, 25 % от числа 52 больше, чем 2,5 % от числа 212.
Ответ: 25 % числа 52 больше.

б) Найдем 41 % от числа 83.
$41 \ \% = 0,41$.
$0,41 \times 83 = 34,03$.
Найдем 15 % от числа 20.
$15 \ \% = 0,15$.
$0,15 \times 20 = 3$.
Сравним полученные значения: $34,03 > 3$.
Следовательно, 41 % от числа 83 больше, чем 15 % от числа 20.
Ответ: 41 % числа 83 больше.

в) Найдем 12 % от числа 16.
$12 \ \% = 0,12$.
$0,12 \times 16 = 1,92$.
Найдем 1,2 % от числа 160.
$1,2 \ \% = 0,012$.
$0,012 \times 160 = 1,92$.
Сравним полученные значения: $1,92 = 1,92$.
Следовательно, данные величины равны. Можно также заметить, что $12\% \times 16 = \frac{12}{100} \times 16 = \frac{1.2 \times 10}{100} \times 16 = \frac{1.2}{100} \times 160 = 1.2\% \times 160$.
Ответ: эти числа равны.

г) Найдем 3 % от числа 72.
$3 \ \% = 0,03$.
$0,03 \times 72 = 2,16$.
Найдем 0,5 % от числа 13.
$0,5 \ \% = 0,005$.
$0,005 \times 13 = 0,065$.
Сравним полученные значения: $2,16 > 0,065$.
Следовательно, 3 % от числа 72 больше, чем 0,5 % от числа 13.
Ответ: 3 % числа 72 больше.

6 Докажите, что значение числового выражения равно нулю:

a) $ \frac{\left(3,25 - 3\frac{1}{20}\right) : 0,2 - \frac{3}{4} \cdot 1\frac{1}{3}}{2,5 \cdot 0,01 - 0,1}; $

б) $ \frac{\left(1,24 - \frac{1}{25}\right) \cdot 2,5 - \frac{1}{6} : \frac{1}{18}}{1,4 : 0,1 - 2}. $

а)

Чтобы доказать, что значение выражения равно нулю, необходимо вычислить его по частям. Мы вычислим значение числителя и знаменателя по отдельности. Если числитель окажется равен нулю, а знаменатель не будет равен нулю, то значение всей дроби будет равно нулю.

Исходное выражение: $ \frac{(3,25 - 3\frac{1}{20}) : 0,2 - \frac{3}{4} \cdot 1\frac{1}{3}}{2,5 \cdot 0,01 - 0,1} $

1. Вычисление числителя: $ (3,25 - 3\frac{1}{20}) : 0,2 - \frac{3}{4} \cdot 1\frac{1}{3} $

Выполним вычисления по действиям:

1) Вычитание в скобках. Преобразуем смешанную дробь $3\frac{1}{20}$ в десятичную: $3\frac{1}{20} = 3 + \frac{1}{20} = 3 + \frac{5}{100} = 3,05$.

$3,25 - 3,05 = 0,2$

2) Деление. Результат, полученный в скобках, разделим на $0,2$:

$0,2 : 0,2 = 1$

3) Умножение. Преобразуем смешанное число $1\frac{1}{3}$ в неправильную дробь: $1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$.

$\frac{3}{4} \cdot 1\frac{1}{3} = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} = 1$

4) Вычитание. Из результата деления вычтем результат умножения:

$1 - 1 = 0$

Таким образом, значение числителя равно 0.

2. Вычисление знаменателя: $ 2,5 \cdot 0,01 - 0,1 $

1) Умножение: $2,5 \cdot 0,01 = 0,025$

2) Вычитание: $0,025 - 0,1 = -0,075$

Значение знаменателя равно $-0,075$.

3. Итоговое значение выражения:

$ \frac{0}{-0,075} = 0 $

Поскольку числитель равен нулю, а знаменатель ($-0,075$) не равен нулю, значение всего числового выражения равно нулю.

Ответ: Значение выражения равно 0, что и требовалось доказать.

б)

Аналогично предыдущему пункту, докажем, что значение выражения равно нулю, вычислив отдельно числитель и знаменатель.

Исходное выражение: $ \frac{(1,24 - \frac{1}{25}) \cdot 2,5 - \frac{1}{6} : \frac{1}{18}}{1,4 : 0,1 - 2} $

1. Вычисление числителя: $ (1,24 - \frac{1}{25}) \cdot 2,5 - \frac{1}{6} : \frac{1}{18} $

Выполним вычисления по действиям:

1) Вычитание в скобках. Преобразуем обыкновенную дробь $\frac{1}{25}$ в десятичную: $\frac{1}{25} = \frac{4}{100} = 0,04$.

$1,24 - 0,04 = 1,2$

2) Умножение. Результат, полученный в скобках, умножим на $2,5$:

$1,2 \cdot 2,5 = 3$

3) Деление. Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:

$\frac{1}{6} : \frac{1}{18} = \frac{1}{6} \cdot \frac{18}{1} = \frac{18}{6} = 3$

4) Вычитание. Из результата умножения вычтем результат деления:

$3 - 3 = 0$

Таким образом, значение числителя равно 0.

2. Вычисление знаменателя: $ 1,4 : 0,1 - 2 $

1) Деление: $1,4 : 0,1 = 14$

2) Вычитание: $14 - 2 = 12$

Значение знаменателя равно 12.

3. Итоговое значение выражения:

$ \frac{0}{12} = 0 $

Поскольку числитель равен нулю, а знаменатель (12) не равен нулю, значение всего числового выражения равно нулю.

Ответ: Значение выражения равно 0, что и требовалось доказать.

7 Докажите, что не имеет смысла выражение:

a) $ \frac{6,2 \cdot 5 - 4}{(\frac{1}{6} - 1\frac{2}{3}) : \frac{2}{3} + 2\frac{1}{4}} $

б) $ \frac{1,4 \cdot 3 + 1}{(0,4 \cdot 0,01) : 0,25 + 0,384 - 0,4} $

а)

Дробное выражение не имеет смысла, если его знаменатель равен нулю. Чтобы доказать, что данное выражение не имеет смысла, мы должны вычислить его знаменатель и показать, что он равен нулю.

Знаменатель выражения: $ \left( \frac{1}{6} - 1\frac{2}{3} \right) : \frac{2}{3} + 2\frac{1}{4} $.

Вычислим его значение по действиям:

1. Выполним вычитание в скобках. Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $ 1\frac{2}{3} = \frac{5}{3} $.
$ \frac{1}{6} - \frac{5}{3} = \frac{1}{6} - \frac{5 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{1}{6} - \frac{10}{6} = \frac{1-10}{6} = -\frac{9}{6} = -\frac{3}{2} $.

2. Выполним деление: $ \left(-\frac{3}{2}\right) : \frac{2}{3} $. При делении на дробь мы умножаем на обратную ей дробь:
$ -\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} = -\frac{9}{4} $.

3. Выполним сложение. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $ 2\frac{1}{4} = \frac{9}{4} $.
$ -\frac{9}{4} + \frac{9}{4} = 0 $.

Знаменатель дроби равен 0. Числитель при этом равен $ 6,2 \cdot 5 - 4 = 31 - 4 = 27 $. Так как деление на ноль не определено, всё выражение не имеет смысла.

Ответ: выражение не имеет смысла, так как его знаменатель равен нулю.

б)

Аналогично пункту а), проверим, равен ли знаменатель данного выражения нулю.

Знаменатель выражения: $ (0,4 \cdot 0,01) : 0,25 + 0,384 - 0,4 $.

Вычислим его значение по действиям:

1. Умножение в скобках:
$ 0,4 \cdot 0,01 = 0,004 $.

2. Деление:
$ 0,004 : 0,25 = 0,016 $.

3. Сложение:
$ 0,016 + 0,384 = 0,4 $.

4. Вычитание:
$ 0,4 - 0,4 = 0 $.

Знаменатель дроби равен 0. Числитель при этом равен $ 1,4 \cdot 3 + 1 = 4,2 + 1 = 5,2 $. Поскольку деление на ноль невозможно, данное выражение не имеет смысла.

Ответ: выражение не имеет смысла, так как его знаменатель равен нулю.