Страница 224, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

35 Решите графически неравенство:

a) $ \frac{2}{x+2} + 1 \leq 0; $

б) $ -\frac{5}{x+1} < 1; $

в) $ \frac{4}{x-1} + 2 > 0; $

г) $ -\frac{3}{x-3} \geq 1. $

а) Для решения неравенства $ \frac{2}{x+2} + 1 \le 0 $ графически, построим график функции $ y = \frac{2}{x+2} + 1 $. Это гипербола, полученная из графика $ y = \frac{2}{x} $ сдвигом на 2 единицы влево по оси Ox и на 1 единицу вверх по оси Oy.
Асимптоты графика:
Вертикальная асимптота: $ x + 2 = 0 \implies x = -2 $.
Горизонтальная асимптота: $ y = 1 $.
Найдем точку пересечения графика с осью Ox (то есть, где $ y = 0 $):
$ \frac{2}{x+2} + 1 = 0 $
$ \frac{2}{x+2} = -1 $
$ 2 = -(x+2) \implies 2 = -x - 2 \implies x = -4 $.
Точка пересечения с осью Ox: $(-4, 0)$.
Графически, нам нужно найти значения $x$, при которых график функции $y(x)$ находится на оси Ox или ниже нее ($y \le 0$).
Ветвь гиперболы при $x < -2$ пересекает ось Ox в точке $x = -4$ и уходит в минус бесконечность при приближении к асимптоте $x = -2$. Следовательно, на промежутке от точки пересечения до асимптоты, то есть при $x \in [-4, -2)$, значения функции неположительны. Ветвь при $x > -2$ полностью лежит выше горизонтальной асимптоты $y=1$, поэтому там $y>0$.
Ответ: $ x \in [-4, -2) $.

б) Для решения неравенства $ -\frac{5}{x+1} < 1 $ графически, построим в одной системе координат графики функций $ y = -\frac{5}{x+1} $ и $ y = 1 $.
График $ y = -\frac{5}{x+1} $ — это гипербола, полученная из $ y = -\frac{5}{x} $ сдвигом на 1 единицу влево.
Вертикальная асимптота: $ x = -1 $.
Горизонтальная асимптота: $ y = 0 $.
График $ y = 1 $ — это прямая, параллельная оси Ox.
Найдем точку их пересечения:
$ -\frac{5}{x+1} = 1 $
$ -5 = x+1 \implies x = -6 $.
Точка пересечения: $(-6, 1)$.
Нам нужно найти значения $x$, при которых график гиперболы $y = -\frac{5}{x+1}$ лежит ниже прямой $y=1$.
Рассмотрим ветви гиперболы:
- При $x > -1$, ветвь гиперболы находится ниже оси Ox ($y < 0$), поэтому она вся лежит ниже прямой $y=1$. Таким образом, весь интервал $x \in (-1, +\infty)$ является решением.
- При $x < -1$, ветвь гиперболы находится выше оси Ox. Она пересекает прямую $y=1$ в точке $x = -6$. Слева от точки пересечения ($x < -6$) график гиперболы находится между асимптотой $y=0$ и прямой $y=1$, то есть $0 < y < 1$. Значит, на этом интервале неравенство выполняется. Справа от точки пересечения ($-6 < x < -1$) график гиперболы уходит вверх, то есть $y>1$, и неравенство не выполняется.
Объединяя найденные интервалы, получаем решение.
Ответ: $ x \in (-\infty, -6) \cup (-1, +\infty) $.

в) Для решения неравенства $ \frac{4}{x-1} + 2 > 0 $ графически, построим график функции $ y = \frac{4}{x-1} + 2 $. Это гипербола, полученная из графика $ y = \frac{4}{x} $ сдвигом на 1 единицу вправо по оси Ox и на 2 единицы вверх по оси Oy.
Вертикальная асимптота: $ x = 1 $.
Горизонтальная асимптота: $ y = 2 $.
Найдем точку пересечения графика с осью Ox ($y = 0$):
$ \frac{4}{x-1} + 2 = 0 $
$ \frac{4}{x-1} = -2 $
$ 4 = -2(x-1) \implies 4 = -2x + 2 \implies 2x = -2 \implies x = -1 $.
Точка пересечения с осью Ox: $(-1, 0)$.
Нам нужно найти значения $x$, при которых график функции $y(x)$ находится выше оси Ox ($y > 0$).
Рассмотрим ветви гиперболы:
- При $x > 1$, ветвь гиперболы полностью лежит выше горизонтальной асимптоты $y=2$, поэтому $y > 2$, и, следовательно, $y>0$. Весь интервал $x \in (1, +\infty)$ является решением.
- При $x < 1$, ветвь гиперболы пересекает ось Ox в точке $x=-1$. Левее этой точки ($x < -1$), график находится между осью Ox и асимптотой $y=2$, то есть $0 < y < 2$. Таким образом, на интервале $x \in (-\infty, -1)$ неравенство выполняется. Между точкой пересечения и асимптотой ($-1 < x < 1$) график находится ниже оси Ox ($y < 0$), и неравенство не выполняется.
Объединяя найденные интервалы, получаем решение.
Ответ: $ x \in (-\infty, -1) \cup (1, +\infty) $.

г) Для решения неравенства $ -\frac{3}{x-3} \ge 1 $ графически, построим в одной системе координат графики функций $ y = -\frac{3}{x-3} $ и $ y = 1 $.
График $ y = -\frac{3}{x-3} $ — это гипербола, полученная из $ y = -\frac{3}{x} $ сдвигом на 3 единицы вправо.
Вертикальная асимптота: $ x = 3 $.
Горизонтальная асимптота: $ y = 0 $.
График $ y = 1 $ — это прямая, параллельная оси Ox.
Найдем точку их пересечения:
$ -\frac{3}{x-3} = 1 $
$ -3 = x-3 \implies x = 0 $.
Точка пересечения: $(0, 1)$.
Нам нужно найти значения $x$, при которых график гиперболы $y = -\frac{3}{x-3}$ лежит на прямой $y=1$ или выше нее.
Рассмотрим ветви гиперболы:
- При $x > 3$, ветвь гиперболы находится ниже оси Ox ($y < 0$), поэтому она всегда ниже прямой $y=1$. Этот интервал не является решением.
- При $x < 3$, ветвь гиперболы находится выше оси Ox. Она пересекает прямую $y=1$ в точке $x=0$. Справа от точки пересечения ($0 < x < 3$) график гиперболы уходит вверх к вертикальной асимптоте, то есть $y>1$. В самой точке пересечения $x=0$, $y=1$. Таким образом, на промежутке $x \in [0, 3)$ неравенство $y \ge 1$ выполняется. Слева от точки пересечения ($x<0$) график гиперболы находится ниже прямой $y=1$.
Решением является промежуток от точки пересечения (включительно) до вертикальной асимптоты (не включительно).
Ответ: $ x \in [0, 3) $.

36 Постройте и задайте уравнениями оси симметрии данной гиперболы:

а) $y = \frac{4}{x}$;

б) $y = \frac{4}{x - 2}$;

в) $y = \frac{4}{x} + 3;

г) $y = \frac{4}{x + 2} - 1$.

Общий вид уравнения гиперболы, полученной сдвигом графика функции $y = \frac{k}{x}$, — это $y = \frac{k}{x-a} + b$. Центр симметрии такой гиперболы находится в точке пересечения ее асимптот $x=a$ и $y=b$, то есть в точке $(a, b)$.

У любой такой гиперболы есть две оси симметрии. Это перпендикулярные прямые, которые проходят через центр симметрии $(a, b)$ и имеют угловые коэффициенты $1$ и $-1$.

Уравнение прямой, проходящей через точку $(x_0, y_0)$ с угловым коэффициентом $m$, имеет вид $y - y_0 = m(x - x_0)$. Используя эту формулу, мы можем найти уравнения осей симметрии для каждой данной гиперболы.

а) $y = \frac{4}{x}$

Это каноническое уравнение гиперболы. Его можно представить в виде $y = \frac{4}{x-0} + 0$. Отсюда видно, что параметры сдвига равны $a=0$ и $b=0$.

Центр симметрии находится в начале координат, в точке $(0, 0)$.

Найдем уравнения осей симметрии, проходящих через точку $(0, 0)$:

1. Для углового коэффициента $m=1$: $y - 0 = 1 \cdot (x - 0) \implies y = x$.
2. Для углового коэффициента $m=-1$: $y - 0 = -1 \cdot (x - 0) \implies y = -x$.

Для построения графика нужно изобразить гиперболу $y = \frac{4}{x}$ и провести через начало координат прямые $y=x$ и $y=-x$.

Ответ: $y=x$ и $y=-x$.

б) $y = \frac{4}{x-2}$

Данное уравнение можно представить в виде $y = \frac{4}{x-2} + 0$. Параметры сдвига: $a=2$, $b=0$.

Центр симметрии находится в точке $(2, 0)$.

Найдем уравнения осей симметрии, проходящих через точку $(2, 0)$:

1. Для углового коэффициента $m=1$: $y - 0 = 1 \cdot (x - 2) \implies y = x - 2$.
2. Для углового коэффициента $m=-1$: $y - 0 = -1 \cdot (x - 2) \implies y = -x + 2$.

Для построения необходимо сдвинуть гиперболу $y=\frac{4}{x}$ на 2 единицы вправо, ее асимптотами будут прямые $x=2$ и $y=0$. Оси симметрии $y=x-2$ и $y=-x+2$ пройдут через новый центр симметрии $(2, 0)$.

Ответ: $y=x-2$ и $y=-x+2$.

в) $y = \frac{4}{x} + 3$

Данное уравнение можно представить в виде $y = \frac{4}{x-0} + 3$. Параметры сдвига: $a=0$, $b=3$.

Центр симметрии находится в точке $(0, 3)$.

Найдем уравнения осей симметрии, проходящих через точку $(0, 3)$:

1. Для углового коэффициента $m=1$: $y - 3 = 1 \cdot (x - 0) \implies y = x + 3$.
2. Для углового коэффициента $m=-1$: $y - 3 = -1 \cdot (x - 0) \implies y = -x + 3$.

Для построения необходимо сдвинуть гиперболу $y=\frac{4}{x}$ на 3 единицы вверх, ее асимптотами будут прямые $x=0$ и $y=3$. Оси симметрии $y=x+3$ и $y=-x+3$ пройдут через новый центр симметрии $(0, 3)$.

Ответ: $y=x+3$ и $y=-x+3$.

г) $y = \frac{4}{x+2} - 1$

Данное уравнение можно представить в виде $y = \frac{4}{x-(-2)} + (-1)$. Параметры сдвига: $a=-2$, $b=-1$.

Центр симметрии находится в точке $(-2, -1)$.

Найдем уравнения осей симметрии, проходящих через точку $(-2, -1)$:

1. Для углового коэффициента $m=1$: $y - (-1) = 1 \cdot (x - (-2)) \implies y + 1 = x + 2 \implies y = x + 1$.
2. Для углового коэффициента $m=-1$: $y - (-1) = -1 \cdot (x - (-2)) \implies y + 1 = - (x + 2) \implies y + 1 = -x - 2 \implies y = -x - 3$.

Для построения необходимо сдвинуть гиперболу $y=\frac{4}{x}$ на 2 единицы влево и на 1 единицу вниз. Ее асимптотами будут прямые $x=-2$ и $y=-1$. Оси симметрии $y=x+1$ и $y=-x-3$ пройдут через новый центр симметрии $(-2, -1)$.

Ответ: $y=x+1$ и $y=-x-3$.

37 a) $y = \sqrt{x + 4}$;

б) $y = \sqrt{x + 6}$;

в) $y = -\sqrt{x + 1}$;

г) $y = \sqrt{x - 2} - 2.

а) $y = \sqrt{x + 4}$

Область определения (D(y)):
Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.
$x + 4 \ge 0$
$x \ge -4$
Таким образом, область определения функции: $D(y) = [-4; +\infty)$.

Область значений (E(y)):
Арифметический квадратный корень $\sqrt{x + 4}$ принимает только неотрицательные значения, то есть $\sqrt{x + 4} \ge 0$.
Следовательно, $y \ge 0$. Наименьшее значение $y=0$ достигается при $x=-4$.
Таким образом, область значений функции: $E(y) = [0; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = [-4; +\infty)$; область значений $E(y) = [0; +\infty)$.

б) $y = \sqrt{x} + 6$

Область определения (D(y)):
Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.
$x \ge 0$
Таким образом, область определения функции: $D(y) = [0; +\infty)$.

Область значений (E(y)):
По определению, $\sqrt{x} \ge 0$. Прибавив к обеим частям неравенства 6, получаем:
$\sqrt{x} + 6 \ge 6$
Следовательно, $y \ge 6$. Наименьшее значение $y=6$ достигается при $x=0$.
Таким образом, область значений функции: $E(y) = [6; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = [0; +\infty)$; область значений $E(y) = [6; +\infty)$.

в) $y = -\sqrt{x} + 1$

Область определения (D(y)):
Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.
$x \ge 0$
Таким образом, область определения функции: $D(y) = [0; +\infty)$.

Область значений (E(y)):
Известно, что $\sqrt{x} \ge 0$. Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:
$-\sqrt{x} \le 0$
Теперь прибавим 1 к обеим частям:
$-\sqrt{x} + 1 \le 1$
Следовательно, $y \le 1$. Наибольшее значение $y=1$ достигается при $x=0$.
Таким образом, область значений функции: $E(y) = (-\infty; 1]$.

Ответ: Область определения $D(y) = [0; +\infty)$; область значений $E(y) = (-\infty; 1]$.

г) $y = \sqrt{x - 2} - 2$

Область определения (D(y)):
Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.
$x - 2 \ge 0$
$x \ge 2$
Таким образом, область определения функции: $D(y) = [2; +\infty)$.

Область значений (E(y)):
По определению, $\sqrt{x - 2} \ge 0$. Вычтем из обеих частей неравенства 2:
$\sqrt{x - 2} - 2 \ge -2$
Следовательно, $y \ge -2$. Наименьшее значение $y=-2$ достигается при $x=2$.
Таким образом, область значений функции: $E(y) = [-2; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = [2; +\infty)$; область значений $E(y) = [-2; +\infty)$.

38 a) $y = \sqrt{-x}$;

б) $y = \sqrt{3-x}$;

в) $y = \sqrt{-x+2}$;

г) $y = -\sqrt{2-x}$.

а) $y = \sqrt{-x}$

Для анализа функции $y = \sqrt{-x}$ найдем ее область определения, область значений и рассмотрим построение графика.

1. Область определения функции (ОДЗ). Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.
$-x \geq 0$
Умножим обе части неравенства на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный:
$x \leq 0$
Следовательно, область определения функции: $D(y) = (-\infty, 0]$.

2. Область значений функции. По определению, арифметический квадратный корень принимает только неотрицательные значения.
$y \geq 0$
Следовательно, область значений функции: $E(y) = [0, +\infty)$.

3. Построение графика. График функции $y = \sqrt{-x}$ получается из графика базовой функции $y = \sqrt{x}$ путем симметричного отражения относительно оси Oy. Если график $y = \sqrt{x}$ является ветвью параболы, выходящей из начала координат и идущей вправо и вверх, то график $y = \sqrt{-x}$ — это ветвь параболы, выходящая из начала координат (0,0) и идущая влево и вверх.
Некоторые точки для построения: (0, 0); (-1, 1); (-4, 2).

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty, 0]$. Область значений $E(y) = [0, +\infty)$. График является отражением графика функции $y = \sqrt{x}$ относительно оси Oy.

б) $y = \sqrt{3-x}$

Для анализа функции $y = \sqrt{3-x}$ найдем ее область определения, область значений и рассмотрим построение графика.

1. Область определения функции (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным.
$3-x \geq 0$
$3 \geq x$ или $x \leq 3$
Следовательно, область определения функции: $D(y) = (-\infty, 3]$.

2. Область значений функции. Арифметический квадратный корень всегда неотрицателен.
$y \geq 0$
Следовательно, область значений функции: $E(y) = [0, +\infty)$.

3. Построение графика. График функции $y = \sqrt{3-x}$ можно получить путем преобразования графика $y = \sqrt{-x}$. Запишем функцию в виде $y = \sqrt{-(x-3)}$. Это означает, что график функции $y = \sqrt{-x}$ необходимо сдвинуть на 3 единицы вправо вдоль оси Ox. Начальная точка графика переместится из (0, 0) в точку (3, 0).
Некоторые точки для построения: (3, 0); (2, 1); (-1, 2).

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty, 3]$. Область значений $E(y) = [0, +\infty)$. График получается сдвигом графика функции $y=\sqrt{-x}$ на 3 единицы вправо.

в) $y = \sqrt{-x} + 2$

Для анализа функции $y = \sqrt{-x} + 2$ найдем ее область определения, область значений и рассмотрим построение графика.

1. Область определения функции (ОДЗ). Как и в пункте а), выражение под корнем должно быть неотрицательным.
$-x \geq 0 \implies x \leq 0$
Следовательно, область определения функции: $D(y) = (-\infty, 0]$.

2. Область значений функции. Значение выражения $\sqrt{-x}$ неотрицательно: $\sqrt{-x} \ge 0$.
Прибавляя 2 к обеим частям неравенства, получаем:
$\sqrt{-x} + 2 \geq 2$
Следовательно, $y \ge 2$. Область значений функции: $E(y) = [2, +\infty)$.

3. Построение графика. График функции $y = \sqrt{-x} + 2$ получается из графика $y = \sqrt{-x}$ путем сдвига на 2 единицы вверх вдоль оси Oy. Начальная точка графика переместится из (0, 0) в точку (0, 2).
Некоторые точки для построения: (0, 2); (-1, 3); (-4, 4).

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty, 0]$. Область значений $E(y) = [2, +\infty)$. График получается сдвигом графика функции $y=\sqrt{-x}$ на 2 единицы вверх.

г) $y = -\sqrt{2-x}$

Для анализа функции $y = -\sqrt{2-x}$ найдем ее область определения, область значений и рассмотрим построение графика.

1. Область определения функции (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным.
$2-x \geq 0 \implies 2 \geq x$ или $x \leq 2$
Следовательно, область определения функции: $D(y) = (-\infty, 2]$.

2. Область значений функции. Выражение $\sqrt{2-x}$ принимает неотрицательные значения: $\sqrt{2-x} \ge 0$.
Так как перед корнем стоит знак минус, умножим неравенство на -1, изменив знак:
$-\sqrt{2-x} \leq 0$
Следовательно, $y \le 0$. Область значений функции: $E(y) = (-\infty, 0]$.

3. Построение графика. График функции $y = -\sqrt{2-x}$ можно получить из графика $y = \sqrt{x}$ серией преобразований. Представим функцию как $y = -\sqrt{-(x-2)}$.
Последовательность преобразований:
1) $y = \sqrt{x}$ (базовый график).
2) $y = \sqrt{-x}$ (отражение относительно оси Oy).
3) $y = -\sqrt{-x}$ (отражение относительно оси Ox).
4) $y = -\sqrt{-(x-2)}$ (сдвиг вправо на 2 единицы).
Таким образом, начальная точка графика смещается в (2, 0), а ветвь параболы направлена влево и вниз.
Некоторые точки для построения: (2, 0); (1, -1); (-2, -2).

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty, 2]$. Область значений $E(y) = (-\infty, 0]$. График получается из графика $y=\sqrt{x}$ отражением относительно обеих координатных осей и последующим сдвигом на 2 единицы вправо.

39 Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:

а) $y = \sqrt{x}$ на луче $[4; +\infty)$;

б) $y = -\sqrt{x} + 2$ на отрезке $[0; 3];

в) $y = -\sqrt{x} + 4$ на полуинтервале $(0; 4];

г) $y = \sqrt{x - 3} + 1$ на отрезке $[6; 9].

а) Для функции $y = \sqrt{x}$ на луче $[4; +\infty)$.

Функция $y = \sqrt{x}$ является монотонно возрастающей на всей своей области определения ($x \ge 0$). Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ из области определения таких, что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $y(x_1) < y(x_2)$.

На луче $[4; +\infty)$ функция также возрастает. Следовательно, свое наименьшее значение она принимает в левой границе этого промежутка, то есть в точке $x = 4$.

Вычислим это значение:
$y_{наим} = y(4) = \sqrt{4} = 2$.

Поскольку аргумент $x$ может принимать сколь угодно большие значения (стремится к $+\infty$), значение функции $y$ также неограниченно возрастает. Таким образом, наибольшего значения на данном луче функция не достигает.

Ответ: наименьшее значение $y_{наим} = 2$; наибольшего значения не существует.

б) Для функции $y = -\sqrt{x} + 2$ на отрезке $[0; 3]$.

Функция $y = \sqrt{x}$ является возрастающей, значит функция $y = -\sqrt{x}$ (полученная отражением относительно оси Ox) является монотонно убывающей. Прибавление константы 2 смещает график функции вверх, но не влияет на ее монотонность. Следовательно, функция $y = -\sqrt{x} + 2$ является монотонно убывающей.

На отрезке $[a; b]$ убывающая функция достигает своего наибольшего значения в точке $x=a$, а наименьшего — в точке $x=b$. Для отрезка $[0; 3]$:

Наибольшее значение достигается при $x = 0$:
$y_{наиб} = y(0) = -\sqrt{0} + 2 = 0 + 2 = 2$.

Наименьшее значение достигается при $x = 3$:
$y_{наим} = y(3) = -\sqrt{3} + 2$.

Ответ: наибольшее значение $y_{наиб} = 2$; наименьшее значение $y_{наим} = 2 - \sqrt{3}$.

в) Для функции $y = -\sqrt{x} + 4$ на полуинтервале $(0; 4]$.

Как и в предыдущем пункте, функция $y = -\sqrt{x} + 4$ является монотонно убывающей. Рассматривается полуинтервал $(0; 4]$.

Поскольку функция убывает, свое наименьшее значение она принимает в самой правой из рассматриваемых точек. Это точка $x = 4$, она включена в полуинтервал.

Вычислим это значение:
$y_{наим} = y(4) = -\sqrt{4} + 4 = -2 + 4 = 2$.

Наибольшее значение убывающая функция должна принимать в самой левой точке. Левая граница интервала — точка $x = 0$, но она не включена в полуинтервал $(0; 4]$ (круглая скобка). При $x \to 0^+$, значение $y$ стремится к $y(0) = -\sqrt{0} + 4 = 4$. Однако это значение не достигается, так как $x$ не может быть равен 0. Можно найти значения функции сколь угодно близкие к 4, но само значение 4 недостижимо. Следовательно, наибольшего значения у функции на данном полуинтервале нет.

Ответ: наименьшее значение $y_{наим} = 2$; наибольшего значения не существует.

г) Для функции $y = \sqrt{x - 3} + 1$ на отрезке $[6; 9]$.

Функция $y = \sqrt{x-3} + 1$ получена из функции $y = \sqrt{x}$ сдвигом на 3 единицы вправо и на 1 единицу вверх. Эти преобразования сохраняют монотонность, поэтому функция является монотонно возрастающей на всей своей области определения ($x \ge 3$).

На отрезке $[a; b]$ возрастающая функция достигает своего наименьшего значения в точке $x=a$, а наибольшего — в точке $x=b$. Для отрезка $[6; 9]$:

Наименьшее значение достигается при $x = 6$:
$y_{наим} = y(6) = \sqrt{6 - 3} + 1 = \sqrt{3} + 1$.

Наибольшее значение достигается при $x = 9$:
$y_{наиб} = y(9) = \sqrt{9 - 3} + 1 = \sqrt{6} + 1$.

Ответ: наибольшее значение $y_{наиб} = \sqrt{6} + 1$; наименьшее значение $y_{наим} = \sqrt{3} + 1$.

40 Постройте график функции $y = \sqrt{x + 4} - 1$. По графику определите:

а) точки пересечения с осями координат;

б) значения аргумента, при которых $y < 0$, $y > 0$;

в) промежуток, которому принадлежит переменная $x$, если $y_{\text{наим}} = 1$, $y_{\text{наиб}} = 3$;

г) значения функции, если $0 \le x \le 5$.

Для построения графика функции $y = \sqrt{x+4} - 1$ выполним следующие шаги.Данный график можно получить из графика базовой функции $y = \sqrt{x}$ путем двух преобразований:

1. Сдвиг графика $y = \sqrt{x}$ на 4 единицы влево по оси абсцисс (Ox), чтобы получить график $y = \sqrt{x+4}$.
2. Сдвиг графика $y = \sqrt{x+4}$ на 1 единицу вниз по оси ординат (Oy), чтобы получить искомый график $y = \sqrt{x+4} - 1$.

1. Область определения функции. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x + 4 \ge 0 \implies x \ge -4$. Таким образом, область определения функции $D(y) = [-4; +\infty)$.

2. Ключевые точки для построения. Найдем координаты нескольких точек, принадлежащих графику:

• Начальная точка (вершина): при $x = -4$, $y = \sqrt{-4+4} - 1 = \sqrt{0} - 1 = -1$. Точка $(-4, -1)$.
• Точка пересечения с осью Ox ($y=0$): $0 = \sqrt{x+4} - 1 \implies \sqrt{x+4} = 1 \implies x+4 = 1 \implies x = -3$. Точка $(-3, 0)$.
• Точка пересечения с осью Oy ($x=0$): $y = \sqrt{0+4} - 1 = \sqrt{4} - 1 = 2 - 1 = 1$. Точка $(0, 1)$.
• Дополнительная точка: при $x = 5$, $y = \sqrt{5+4} - 1 = \sqrt{9} - 1 = 3 - 1 = 2$. Точка $(5, 2)$.
• Еще одна точка: при $x = 12$, $y = \sqrt{12+4} - 1 = \sqrt{16} - 1 = 4 - 1 = 3$. Точка $(12, 3)$.

Нанесем эти точки на координатную плоскость и соединим их плавной линией.

Используя построенный график и аналитические вычисления, ответим на вопросы.

а) точки пересечения с осями координат;

Пересечение с осью ординат (Oy) происходит при $x=0$.
$y(0) = \sqrt{0+4} - 1 = \sqrt{4} - 1 = 2 - 1 = 1$.
Точка пересечения с осью Oy: $(0, 1)$.

Пересечение с осью абсцисс (Ox) происходит при $y=0$.
$0 = \sqrt{x+4} - 1 \implies \sqrt{x+4} = 1$.
Возводим обе части в квадрат: $x+4 = 1 \implies x = -3$.
Точка пересечения с осью Ox: $(-3, 0)$.

Ответ: с осью Oy: $(0, 1)$; с осью Ox: $(-3, 0)$.

б) значения аргумента, при которых $y < 0, y > 0$;

Из графика видно, что $y < 0$ (график ниже оси Ox) на интервале от начальной точки $x=-4$ до точки пересечения с осью Ox, $x=-3$. В точке $x=-4$ функция определена ($y=-1$), а в $x=-3$ функция равна нулю, поэтому эта точка не включается в интервал.
$y < 0$ при $x \in [-4, -3)$.

Значения $y > 0$ (график выше оси Ox) для всех $x$, которые больше абсциссы точки пересечения с осью Ox.
$y > 0$ при $x \in (-3, +\infty)$.

Ответ: $y < 0$ при $x \in [-4; -3)$; $y > 0$ при $x \in (-3; +\infty)$.

в) промежуток, которому принадлежит переменная $x$, если $y_{наим} = 1, y_{наиб} = 3$;

Требуется найти значения $x$, для которых $1 \le y \le 3$.
Найдем $x$ для $y=1$:
$1 = \sqrt{x+4} - 1 \implies 2 = \sqrt{x+4} \implies 4 = x+4 \implies x = 0$.
Найдем $x$ для $y=3$:
$3 = \sqrt{x+4} - 1 \implies 4 = \sqrt{x+4} \implies 16 = x+4 \implies x = 12$.
Поскольку функция монотонно возрастает, искомый промежуток для $x$ находится между найденными значениями.

Ответ: $x \in [0; 12]$.

г) значения функции, если $0 \le x \le 5$.

Нужно найти область значений функции на отрезке $x \in [0, 5]$. Так как функция возрастающая, наименьшее значение будет при $x=0$, а наибольшее — при $x=5$.
$y(0) = \sqrt{0+4} - 1 = 1$.
$y(5) = \sqrt{5+4} - 1 = \sqrt{9} - 1 = 2$.
Таким образом, когда $x$ изменяется от 0 до 5, $y$ изменяется от 1 до 2.

Ответ: $y \in [1; 2]$.

41 Постройте график функции $y = -\sqrt{x - 1} + 2$. По графику найдите:

а) область определения и множество значений функции;

б) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [5; 10];

в) корни уравнения $y(x) = 1$;

г) решение неравенства $y(x) < 0$.

Для построения графика функции $y = -\sqrt{x - 1} + 2$, определим его вид и ключевые точки. Этот график является результатом преобразований базовой функции $y = \sqrt{x}$:

1. Сдвиг графика $y=\sqrt{x}$ на 1 единицу вправо по оси Ox, получаем $y = \sqrt{x-1}$.
2. Отражение графика $y = \sqrt{x-1}$ относительно оси Ox, получаем $y = -\sqrt{x-1}$.
3. Сдвиг графика $y = -\sqrt{x-1}$ на 2 единицы вверх по оси Oy, получаем $y = -\sqrt{x - 1} + 2$.

Таким образом, график представляет собой ветвь параболы с вершиной (начальной точкой) в точке $(1; 2)$, направленную вниз и вправо.

Найдем несколько точек для более точного построения:

• При $x=1$, $y = -\sqrt{1-1} + 2 = 2$. Точка $(1; 2)$.
• При $x=2$, $y = -\sqrt{2-1} + 2 = -1 + 2 = 1$. Точка $(2; 1)$.
• При $x=5$, $y = -\sqrt{5-1} + 2 = -2 + 2 = 0$. Точка $(5; 0)$.
• При $x=10$, $y = -\sqrt{10-1} + 2 = -3 + 2 = -1$. Точка $(10; -1)$.

Используя эти точки и зная форму графика, можно его построить и по нему ответить на вопросы.

а) область определения и множество значений функции;

Область определения функции — это все допустимые значения аргумента $x$. Для функции с квадратным корнем подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x - 1 \geq 0$, что дает $x \geq 1$. На графике это видно как область, где график существует, начиная с $x=1$ и простираясь вправо.

Множество значений функции — это все значения, которые может принимать $y$. Вершина графика находится в точке $(1; 2)$, и ветви направлены вниз. Следовательно, максимальное значение функции равно 2, а сама функция может принимать любые значения, не превышающие 2.

Ответ: Область определения: $D(y) = [1; +\infty)$. Множество значений: $E(y) = (-\infty; 2]$.

б) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [5; 10];

Функция $y = -\sqrt{x - 1} + 2$ является монотонно убывающей на всей своей области определения. Это означает, что для любого отрезка большему значению $x$ соответствует меньшее значение $y$. Следовательно, на отрезке $[5; 10]$ наибольшее значение будет в точке $x=5$, а наименьшее — в точке $x=10$.

Вычисляем эти значения:

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(5) = -\sqrt{5 - 1} + 2 = -\sqrt{4} + 2 = -2 + 2 = 0$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(10) = -\sqrt{10 - 1} + 2 = -\sqrt{9} + 2 = -3 + 2 = -1$.

Ответ: Наибольшее значение функции на отрезке $[5; 10]$ равно $0$, а наименьшее равно $-1$.

в) корни уравнения y(x) = 1;

Найти корень уравнения $y(x) = 1$ — значит найти такое значение $x$, при котором $y=1$. На графике это соответствует точке пересечения графика функции с горизонтальной прямой $y=1$. Из точек, вычисленных для построения, мы видим, что это происходит при $x=2$.

Проверим решением уравнения:

$-\sqrt{x - 1} + 2 = 1$

$2 - 1 = \sqrt{x - 1}$

$\sqrt{x - 1} = 1$

Возведем обе части в квадрат: $x - 1 = 1^2$, откуда $x = 2$.

Ответ: $x=2$.

г) решение неравенства y(x) < 0.

Решить неравенство $y(x) < 0$ — значит найти все значения $x$, при которых график функции лежит ниже оси абсцисс (оси Ox). Для этого сначала найдем точку пересечения графика с осью Ox, решив уравнение $y(x) = 0$.

$-\sqrt{x - 1} + 2 = 0$

$\sqrt{x - 1} = 2$

Возведем обе части в квадрат: $x - 1 = 4$, откуда $x = 5$.

График пересекает ось Ox в точке $(5; 0)$. Поскольку функция монотонно убывает, для всех $x$, больших 5, значения $y$ будут меньше 0. Это также видно из графика, который после точки $(5; 0)$ уходит в отрицательную область оси Oy.

Ответ: $x \in (5; +\infty)$.