Страница 220, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

16 Используя график квадратичной функции, определите, при каких значениях $x$ выполняется условие $y = 0$, $y > 0$, $y < 0$:

а) $y = -2x^2 + 12x - 10;$

б) $y = 0.5(x + 5)^2 - 8;$

в) $y = 3x^2 + 12x + 9;$

г) $y = -(x - 2)^2 + 9.$

Для решения задачи необходимо для каждой квадратичной функции определить направление ветвей параболы и найти ее нули (точки пересечения с осью абсцисс). Зная эти два параметра, можно определить промежутки, на которых функция положительна ($y > 0$) или отрицательна ($y < 0$).

а) y = -2x² + 12x - 10

1. Направление ветвей. Коэффициент при $x^2$ равен $a = -2$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Нули функции ($y=0$). Решим уравнение: $-2x^2 + 12x - 10 = 0$ Разделим все члены уравнения на $-2$: $x^2 - 6x + 5 = 0$ По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 5$.

3. Анализ знаков. Парабола с ветвями вниз пересекает ось Ox в точках $x=1$ и $x=5$.

• $y = 0$ в точках пересечения, т.е. при $x=1$ и $x=5$.
• $y > 0$ (график выше оси Ox) между корнями, т.е. при $x \in (1; 5)$.
• $y < 0$ (график ниже оси Ox) за пределами корней, т.е. при $x \in (-\infty; 1) \cup (5; +\infty)$.

Ответ: $y = 0$ при $x=1, x=5$; $y > 0$ при $x \in (1; 5)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; 1) \cup (5; +\infty)$.

б) y = 0,5(x + 5)² - 8

1. Направление ветвей. Коэффициент $a = 0,5$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Нули функции ($y=0$). Решим уравнение: $0,5(x + 5)^2 - 8 = 0$ $0,5(x + 5)^2 = 8$ $(x + 5)^2 = 16$ $x + 5 = \pm4$ Отсюда получаем два корня: $x_1 = 4 - 5 = -1$ $x_2 = -4 - 5 = -9$

3. Анализ знаков. Парабола с ветвями вверх пересекает ось Ox в точках $x=-9$ и $x=-1$.

• $y = 0$ при $x=-9$ и $x=-1$.
• $y > 0$ за пределами корней, т.е. при $x \in (-\infty; -9) \cup (-1; +\infty)$.
• $y < 0$ между корнями, т.е. при $x \in (-9; -1)$.

Ответ: $y = 0$ при $x=-9, x=-1$; $y > 0$ при $x \in (-\infty; -9) \cup (-1; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-9; -1)$.

в) y = 3x² + 12x + 9

1. Направление ветвей. Коэффициент $a = 3$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Нули функции ($y=0$). Решим уравнение: $3x^2 + 12x + 9 = 0$ Разделим все члены уравнения на $3$: $x^2 + 4x + 3 = 0$ По теореме Виета находим корни: $x_1 = -1$, $x_2 = -3$.

3. Анализ знаков. Парабола с ветвями вверх пересекает ось Ox в точках $x=-3$ и $x=-1$.

• $y = 0$ при $x=-3$ и $x=-1$.
• $y > 0$ за пределами корней, т.е. при $x \in (-\infty; -3) \cup (-1; +\infty)$.
• $y < 0$ между корнями, т.е. при $x \in (-3; -1)$.

Ответ: $y = 0$ при $x=-3, x=-1$; $y > 0$ при $x \in (-\infty; -3) \cup (-1; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-3; -1)$.

г) y = -(x - 2)² + 9

1. Направление ветвей. Коэффициент $a = -1$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Нули функции ($y=0$). Решим уравнение: $-(x - 2)^2 + 9 = 0$ $(x - 2)^2 = 9$ $x - 2 = \pm3$ Отсюда получаем два корня: $x_1 = 3 + 2 = 5$ $x_2 = -3 + 2 = -1$

3. Анализ знаков. Парабола с ветвями вниз пересекает ось Ox в точках $x=-1$ и $x=5$.

• $y = 0$ при $x=-1$ и $x=5$.
• $y > 0$ между корнями, т.е. при $x \in (-1; 5)$.
• $y < 0$ за пределами корней, т.е. при $x \in (-\infty; -1) \cup (5; +\infty)$.

Ответ: $y = 0$ при $x=-1, x=5$; $y > 0$ при $x \in (-1; 5)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; -1) \cup (5; +\infty)$.

17 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции на данном промежутке:

а) $y = 2x^2 + 4x - 6$ на отрезке $[-3; -1];$

б) $y = -\frac{1}{3}(x + 4)^2$ на отрезке $[-7; -4];$

в) $y = 3x^2 - 6$ на луче $[-1; +\infty);$

г) $y = -2x^2 + 8x$ на интервале $(0; 4).$

а) Дана функция $y = 2x^2 + 4x - 6$ на отрезке $[-3; -1]$.

Это квадратичная функция, график которой — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ ($a=2$) положителен, ветви параболы направлены вверх. Наименьшее и наибольшее значения на замкнутом отрезке функция достигает либо в вершине, либо на концах отрезка.

Найдем абсциссу вершины параболы по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:

$x_0 = -\frac{4}{2 \cdot 2} = -1$.

Абсцисса вершины $x_0 = -1$ совпадает с правым концом отрезка $[-3; -1]$. Это означает, что на всем отрезке функция является монотонно убывающей.

Следовательно, наименьшее значение достигается в правой крайней точке отрезка ($x = -1$), а наибольшее — в левой ($x = -3$).

Вычислим эти значения:

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-1) = 2(-1)^2 + 4(-1) - 6 = 2 - 4 - 6 = -8$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(-3) = 2(-3)^2 + 4(-3) - 6 = 2 \cdot 9 - 12 - 6 = 18 - 18 = 0$.

Ответ: наименьшее значение -8, наибольшее значение 0.

б) Дана функция $y = -\frac{1}{3}(x + 4)^2$ на отрезке $[-7; -4]$.

Это квадратичная функция, график — парабола с ветвями вниз ($a = -\frac{1}{3} < 0$). Наибольшее значение функция достигает в вершине.

Функция задана в виде $y=a(x-x_0)^2+y_0$, откуда видно, что вершина параболы находится в точке с абсциссой $x_0 = -4$.

Абсцисса вершины $x_0 = -4$ совпадает с правым концом отрезка $[-7; -4]$. Это означает, что на данном отрезке функция является монотонно возрастающей.

Следовательно, наибольшее значение достигается в точке $x = -4$, а наименьшее — в точке $x = -7$.

Вычислим эти значения:

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(-4) = -\frac{1}{3}(-4 + 4)^2 = 0$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-7) = -\frac{1}{3}(-7 + 4)^2 = -\frac{1}{3}(-3)^2 = -\frac{1}{3} \cdot 9 = -3$.

Ответ: наименьшее значение -3, наибольшее значение 0.

в) Дана функция $y = 3x^2 - 6$ на луче $[-1; +\infty)$.

Это парабола с ветвями, направленными вверх ($a = 3 > 0$). Вершина параболы находится в точке $x_0 = 0$.

Точка $x_0 = 0$ принадлежит лучу $[-1; +\infty)$. Поскольку ветви параболы направлены вверх, в этой точке функция достигает своего глобального минимума, который и будет наименьшим значением на данном луче.

$y_{наим} = y(0) = 3(0)^2 - 6 = -6$.

Так как на луче $[-1; +\infty)$ переменная $x$ может принимать сколь угодно большие значения, а ветви параболы направлены вверх, функция неограниченно возрастает. Следовательно, наибольшего значения у функции на данном луче не существует.

Ответ: наименьшее значение -6, наибольшего значения не существует.

г) Дана функция $y = -2x^2 + 8x$ на интервале $(0; 4)$.

Это парабола с ветвями, направленными вниз ($a = -2 < 0$). Наибольшее значение функция достигает в своей вершине.

Найдем абсциссу вершины:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot (-2)} = 2$.

Точка $x_0 = 2$ принадлежит интервалу $(0; 4)$. Так как ветви параболы направлены вниз, в этой точке функция достигает своего наибольшего значения.

$y_{наиб} = y(2) = -2(2)^2 + 8(2) = -2 \cdot 4 + 16 = -8 + 16 = 8$.

Интервал $(0; 4)$ является открытым, то есть концы интервала $x=0$ и $x=4$ не включаются в область рассмотрения. Найдем значения функции в этих точках, чтобы понять поведение функции на границах:

$y(0) = -2(0)^2 + 8(0) = 0$.

$y(4) = -2(4)^2 + 8(4) = -32 + 32 = 0$.

Функция стремится к 0 на концах интервала, но никогда не достигает этого значения, принимая значения, сколь угодно близкие к 0. Следовательно, наименьшего значения у функции на данном интервале не существует.

Ответ: наибольшее значение 8, наименьшего значения не существует.