Страница 223, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

30 а) Докажите, что функция $y = x^2 - 6x - 7$ убывает на отрезке $[-1; 2]$ и возрастает на отрезке $[4; 6]$.

б) Докажите, что функция $y = -x^2 + 2x + 5$ убывает на отрезке $[1; 4]$ и возрастает на отрезке $[-3; 0]$.

а) Для доказательства того, что функция $y = x^2 - 6x - 7$ убывает на отрезке $[-1; 2]$ и возрастает на отрезке $[4; 6]$, исследуем ее с помощью производной.

1. Найдем производную функции:
$y' = (x^2 - 6x - 7)' = 2x - 6$.

2. Исследуем знак производной на отрезке $[-1; 2]$.
Для любого $x$ из этого отрезка выполняется неравенство $-1 \le x \le 2$.
Поскольку производная $y' = 2x - 6$ является линейной возрастающей функцией, ее наибольшее значение на этом отрезке будет при $x=2$:
$y'(2) = 2(2) - 6 = 4 - 6 = -2$.
Так как наибольшее значение производной на отрезке $[-1; 2]$ отрицательно, то $y' < 0$ для всех $x \in [-1; 2]$.
Если производная функции отрицательна на промежутке, то функция на этом промежутке убывает. Таким образом, функция $y = x^2 - 6x - 7$ убывает на отрезке $[-1; 2]$.

3. Исследуем знак производной на отрезке $[4; 6]$.
Для любого $x$ из этого отрезка выполняется неравенство $4 \le x \le 6$.
Поскольку производная $y' = 2x - 6$ является возрастающей функцией, ее наименьшее значение на этом отрезке будет при $x=4$:
$y'(4) = 2(4) - 6 = 8 - 6 = 2$.
Так как наименьшее значение производной на отрезке $[4; 6]$ положительно, то $y' > 0$ для всех $x \in [4; 6]$.
Если производная функции положительна на промежутке, то функция на этом промежутке возрастает. Таким образом, функция $y = x^2 - 6x - 7$ возрастает на отрезке $[4; 6]$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б) Для доказательства того, что функция $y = -x^2 + 2x + 5$ убывает на отрезке $[1; 4]$ и возрастает на отрезке $[-3; 0]$, также используем производную.

1. Найдем производную функции:
$y' = (-x^2 + 2x + 5)' = -2x + 2$.

2. Исследуем знак производной на отрезке $[1; 4]$.
Для любого $x$ из этого отрезка выполняется неравенство $1 \le x \le 4$.
Производная $y' = -2x + 2$ является линейной убывающей функцией. Найдем ее значения на концах отрезка:
$y'(1) = -2(1) + 2 = 0$.
$y'(4) = -2(4) + 2 = -6$.
На всем отрезке $[1; 4]$ значения производной находятся в промежутке $[-6; 0]$. Следовательно, $y' \le 0$ для всех $x \in [1; 4]$ (причем равенство нулю достигается только в одной точке $x=1$).
Это означает, что функция $y = -x^2 + 2x + 5$ убывает на отрезке $[1; 4]$.

3. Исследуем знак производной на отрезке $[-3; 0]$.
Для любого $x$ из этого отрезка выполняется неравенство $-3 \le x \le 0$.
Производная $y' = -2x + 2$ является линейной убывающей функцией. Найдем ее значения на концах отрезка:
$y'(-3) = -2(-3) + 2 = 6 + 2 = 8$.
$y'(0) = -2(0) + 2 = 2$.
На всем отрезке $[-3; 0]$ значения производной находятся в промежутке $[2; 8]$. Следовательно, $y' > 0$ для всех $x \in [-3; 0]$.
Если производная функции положительна на промежутке, то функция на этом промежутке возрастает. Таким образом, функция $y = -x^2 + 2x + 5$ возрастает на отрезке $[-3; 0]$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

31 Используя свойство монотонности, определите наибольшее и наименьшее значения данной функции на указанном промежутке:

а) $y = -\frac{6}{x} + 1$ на отрезке $\left[\frac{1}{\sqrt{3}}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right];$

б) $y = -1,5x^2 + 6x$ на отрезке $\left[\sqrt{5}; \sqrt{6}\right];$

в) $y = \frac{4}{x + 1}$ на отрезке $\left[0; \sqrt{3}\right];$

г) $y = (x + 3)^2 - 5$ на отрезке $\left[-3; -\sqrt{6}\right].$

а) Функция $y = -\frac{6}{x} + 1$ является обратной пропорциональностью, смещенной на 1 единицу вверх. Функция $y_1 = -\frac{6}{x}$ монотонно возрастает на каждом из промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$, так как коэффициент $k=-6 < 0$ и функция $y = k/x$ при $k<0$ возрастающая. Добавление константы не меняет характер монотонности. Указанный отрезок $[\frac{1}{\sqrt{3}}; \frac{\sqrt{3}}{2}]$ принадлежит промежутку $(0; +\infty)$, на котором функция монотонно возрастает. Следовательно, наименьшее значение функция принимает на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.
Наименьшее значение: $y_{наим} = y(\frac{1}{\sqrt{3}}) = -\frac{6}{\frac{1}{\sqrt{3}}} + 1 = -6\sqrt{3} + 1$.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}} + 1 = -\frac{12}{\sqrt{3}} + 1 = -\frac{12\sqrt{3}}{3} + 1 = -4\sqrt{3} + 1$.
Ответ: $y_{наим} = 1 - 6\sqrt{3}$, $y_{наиб} = 1 - 4\sqrt{3}$.

б) Функция $y = -1,5x^2 + 6x$ — квадратичная, её график — парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ равен $-1,5 < 0$). Найдём абсциссу вершины параболы: $x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot (-1,5)} = -\frac{6}{-3} = 2$. Функция возрастает на промежутке $(-\infty; 2]$ и убывает на промежутке $[2; +\infty)$. Рассмотрим отрезок $[\sqrt{5}; \sqrt{6}]$. Так как $5 > 4$, то $\sqrt{5} > \sqrt{4} = 2$. Следовательно, весь отрезок $[\sqrt{5}; \sqrt{6}]$ находится на промежутке убывания функции. Таким образом, на отрезке $[\sqrt{5}; \sqrt{6}]$ функция монотонно убывает. Наибольшее значение функция принимает на левом конце отрезка, а наименьшее — на правом.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(\sqrt{5}) = -1,5(\sqrt{5})^2 + 6\sqrt{5} = -1,5 \cdot 5 + 6\sqrt{5} = -7,5 + 6\sqrt{5}$.
Наименьшее значение: $y_{наим} = y(\sqrt{6}) = -1,5(\sqrt{6})^2 + 6\sqrt{6} = -1,5 \cdot 6 + 6\sqrt{6} = -9 + 6\sqrt{6}$.
Ответ: $y_{наим} = 6\sqrt{6} - 9$, $y_{наиб} = 6\sqrt{5} - 7,5$.

в) Функция $y = \frac{4}{x+1}$ является смещенной гиперболой. Функция $y_1 = \frac{4}{x}$ монотонно убывает на каждом из промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$. Функция $y = \frac{4}{x+1}$ получается из $y_1$ сдвигом на 1 влево, поэтому она монотонно убывает на промежутках $(-\infty; -1)$ и $(-1; +\infty)$. Отрезок $[0; \sqrt{3}]$ целиком принадлежит промежутку $(-1; +\infty)$, на котором функция монотонно убывает. Следовательно, наибольшее значение функция принимает на левом конце отрезка, а наименьшее — на правом.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(0) = \frac{4}{0+1} = 4$.
Наименьшее значение: $y_{наим} = y(\sqrt{3}) = \frac{4}{\sqrt{3}+1} = \frac{4(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{4(\sqrt{3}-1)}{3-1} = \frac{4(\sqrt{3}-1)}{2} = 2(\sqrt{3}-1) = 2\sqrt{3}-2$.
Ответ: $y_{наим} = 2\sqrt{3}-2$, $y_{наиб} = 4$.

г) Функция $y = (x+3)^2 - 5$ — квадратичная, её график — парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ равен $1 > 0$). Абсцисса вершины параболы $x_в = -3$. Функция убывает на промежутке $(-\infty; -3]$ и возрастает на промежутке $[-3; +\infty)$. Рассмотрим отрезок $[-3; -\sqrt{6}]$. Так как $\sqrt{6} \approx 2,45$, то $-\sqrt{6} \approx -2,45$. Поскольку $-3 < -2,45$, то отрезок $[-3; -\sqrt{6}]$ целиком принадлежит промежутку возрастания функции. Таким образом, на отрезке $[-3; -\sqrt{6}]$ функция монотонно возрастает. Наименьшее значение функция принимает на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.
Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-3) = (-3+3)^2 - 5 = 0^2 - 5 = -5$.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(-\sqrt{6}) = (-\sqrt{6}+3)^2 - 5 = (3-\sqrt{6})^2 - 5 = (9 - 6\sqrt{6} + 6) - 5 = 15 - 6\sqrt{6} - 5 = 10 - 6\sqrt{6}$.
Ответ: $y_{наим} = -5$, $y_{наиб} = 10 - 6\sqrt{6}$.

32 Решите графически уравнение:

а) $\frac{3}{x-3} = x - 5;$

б) $-\frac{4}{x} = \frac{6}{x+2} - 2;$

в) $2x - 6 = -\frac{6}{x+1};$

г) $\frac{3}{x} + 2 = -\frac{5}{x-2}.$

а) Для графического решения уравнения $\frac{3}{x-3} = x - 5$ необходимо построить графики двух функций: $y_1 = \frac{3}{x-3}$ и $y_2 = x - 5$ и найти абсциссы точек их пересечения.
1. График функции $y_1 = \frac{3}{x-3}$ — это гипербола. Она получена из графика функции $y = \frac{3}{x}$ сдвигом на 3 единицы вправо вдоль оси Ox. Вертикальная асимптота: $x=3$. Горизонтальная асимптота: $y=0$. Для построения найдем несколько точек:
- при $x=2$, $y_1 = \frac{3}{2-3} = -3$;
- при $x=0$, $y_1 = \frac{3}{0-3} = -1$;
- при $x=4$, $y_1 = \frac{3}{4-3} = 3$;
- при $x=6$, $y_1 = \frac{3}{6-3} = 1$.
2. График функции $y_2 = x - 5$ — это прямая. Для построения достаточно двух точек:
- при $x=0$, $y_2 = -5$;
- при $x=5$, $y_2 = 0$.
Построив графики в одной системе координат, мы видим, что они пересекаются в двух точках: $(2, -3)$ и $(6, 1)$.
Абсциссы этих точек являются решениями исходного уравнения.
Ответ: $x_1=2$, $x_2=6$.

б) Чтобы решить уравнение $-\frac{4}{x} = \frac{6}{x+2} - 2$ графически, преобразуем его для удобства построения: $2 - \frac{4}{x} = \frac{6}{x+2}$. Построим графики функций $y_1 = 2 - \frac{4}{x}$ и $y_2 = \frac{6}{x+2}$.
1. График функции $y_1 = 2 - \frac{4}{x}$ — это гипербола. Она получена из графика $y = -\frac{4}{x}$ сдвигом на 2 единицы вверх вдоль оси Oy. Вертикальная асимптота: $x=0$. Горизонтальная асимптота: $y=2$. Точки для построения:
- при $x=-1$, $y_1 = 2 - \frac{4}{-1} = 6$;
- при $x=1$, $y_1 = 2 - 4 = -2$;
- при $x=2$, $y_1 = 2 - 2 = 0$;
- при $x=4$, $y_1 = 2 - 1 = 1$.
2. График функции $y_2 = \frac{6}{x+2}$ — это гипербола. Она получена из графика $y = \frac{6}{x}$ сдвигом на 2 единицы влево вдоль оси Ox. Вертикальная асимптота: $x=-2$. Горизонтальная асимптота: $y=0$. Точки для построения:
- при $x=-1$, $y_2 = \frac{6}{-1+2} = 6$;
- при $x=0$, $y_2 = \frac{6}{0+2} = 3$;
- при $x=1$, $y_2 = \frac{6}{1+2} = 2$;
- при $x=4$, $y_2 = \frac{6}{4+2} = 1$.
Графики пересекаются в точках с координатами $(-1, 6)$ и $(4, 1)$.
Абсциссы этих точек являются решениями.
Ответ: $x_1=-1$, $x_2=4$.

в) Для графического решения уравнения $2x - 6 = -\frac{6}{x+1}$ построим графики функций $y_1 = 2x - 6$ и $y_2 = -\frac{6}{x+1}$.
1. График функции $y_1 = 2x - 6$ — это прямая. Точки для построения:
- при $x=0$, $y_1 = -6$;
- при $x=3$, $y_1 = 0$.
2. График функции $y_2 = -\frac{6}{x+1}$ — это гипербола, полученная сдвигом графика $y = -\frac{6}{x}$ на 1 единицу влево. Вертикальная асимптота: $x=-1$. Горизонтальная асимптота: $y=0$. Точки для построения:
- при $x=0$, $y_2 = -\frac{6}{0+1} = -6$;
- при $x=1$, $y_2 = -\frac{6}{1+1} = -3$;
- при $x=2$, $y_2 = -\frac{6}{2+1} = -2$;
- при $x=-2$, $y_2 = -\frac{6}{-2+1} = 6$.
Построив графики, находим точки пересечения: $(0, -6)$ и $(2, -2)$.
Абсциссы этих точек и есть решения уравнения.
Ответ: $x_1=0$, $x_2=2$.

г) Для решения уравнения $\frac{3}{x} + 2 = -\frac{5}{x-2}$ графическим методом построим графики двух функций: $y_1 = \frac{3}{x} + 2$ и $y_2 = -\frac{5}{x-2}$.
1. График функции $y_1 = \frac{3}{x} + 2$ — гипербола. Получена из графика $y = \frac{3}{x}$ сдвигом на 2 единицы вверх. Вертикальная асимптота: $x=0$. Горизонтальная асимптота: $y=2$. Точки для построения:
- при $x=-3$, $y_1 = \frac{3}{-3} + 2 = 1$;
- при $x=-1$, $y_1 = \frac{3}{-1} + 2 = -1$;
- при $x=1$, $y_1 = \frac{3}{1} + 2 = 5$;
- при $x=3$, $y_1 = \frac{3}{3} + 2 = 3$.
2. График функции $y_2 = -\frac{5}{x-2}$ — гипербола. Получена из графика $y = -\frac{5}{x}$ сдвигом на 2 единицы вправо. Вертикальная асимптота: $x=2$. Горизонтальная асимптота: $y=0$. Точки для построения:
- при $x=-3$, $y_2 = -\frac{5}{-3-2} = 1$;
- при $x=1$, $y_2 = -\frac{5}{1-2} = 5$;
- при $x=3$, $y_2 = -\frac{5}{3-2} = -5$;
- при $x=7$, $y_2 = -\frac{5}{7-2} = -1$.
Графики пересекаются в точках $(-3, 1)$ и $(1, 5)$.
Абсциссы этих точек являются решениями уравнения.
Ответ: $x_1=-3$, $x_2=1$.

33 Решите графически систему уравнений:

a) $\begin{cases} y = -0.5x^2 + 2x + 1, \\ y = \frac{5}{x + 1}; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = -\frac{6}{x} + 1, \\ y = x^2 - 2x - 4. \end{cases}$

а)

Для графического решения системы уравнений необходимо построить графики функций $y = -0,5x^2 + 2x + 1$ и $y = \frac{5}{x+1}$ в одной системе координат. Координаты точек пересечения этих графиков будут являться решением системы.

1. Построение графика функции $y = -0,5x^2 + 2x + 1$

Это квадратичная функция, график которой — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен $-0,5$ (отрицателен), ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$:
$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-0,5)} = -\frac{2}{-1} = 2$.
$y_в = -0,5 \cdot (2)^2 + 2 \cdot 2 + 1 = -0,5 \cdot 4 + 4 + 1 = -2 + 4 + 1 = 3$.
Вершина параболы находится в точке $(2; 3)$.

Для более точного построения найдем еще несколько точек, принадлежащих графику.
При $x = 0, y = 1$.
При $x = 4, y = -0,5 \cdot 16 + 2 \cdot 4 + 1 = -8 + 8 + 1 = 1$.
При $x = -2, y = -0,5 \cdot 4 + 2 \cdot (-2) + 1 = -2 - 4 + 1 = -5$.

2. Построение графика функции $y = \frac{5}{x+1}$

Это дробно-рациональная функция, график которой — гипербола. График получен из графика $y = \frac{5}{x}$ сдвигом на 1 единицу влево по оси $Ox$.
Асимптоты графика: вертикальная $x = -1$ и горизонтальная $y=0$.

Найдем несколько точек, принадлежащих графику.
При $x = 0, y = \frac{5}{0+1} = 5$.
При $x = 4, y = \frac{5}{4+1} = 1$.
При $x = -2, y = \frac{5}{-2+1} = -5$.

3. Поиск решения

Построив оба графика в одной системе координат, находим их точки пересечения. Из вычисленных точек видно, что графики пересекаются в точках с координатами $(-2; -5)$ и $(4; 1)$.

Ответ: $(-2; -5), (4; 1)$.

б)

Для графического решения системы уравнений построим графики функций $y = -\frac{6}{x} + 1$ и $y = x^2 - 2x - 4$ в одной системе координат и найдем координаты точек их пересечения.

1. Построение графика функции $y = -\frac{6}{x} + 1$

Это дробно-рациональная функция, график которой — гипербола. График получен из графика $y = -\frac{6}{x}$ сдвигом на 1 единицу вверх по оси $Oy$. Ветви расположены во II и IV координатных четвертях относительно асимптот.
Асимптоты графика: вертикальная $x = 0$ и горизонтальная $y=1$.

Найдем несколько точек, принадлежащих графику.
При $x = -2, y = -\frac{6}{-2} + 1 = 3 + 1 = 4$.
При $x = 1, y = -\frac{6}{1} + 1 = -6 + 1 = -5$.
При $x = 3, y = -\frac{6}{3} + 1 = -2 + 1 = -1$.

2. Построение графика функции $y = x^2 - 2x - 4$

Это квадратичная функция, график которой — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен $1$ (положителен), ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$:
$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$.
$y_в = (1)^2 - 2 \cdot 1 - 4 = 1 - 2 - 4 = -5$.
Вершина параболы находится в точке $(1; -5)$.

Найдем несколько точек, принадлежащих графику.
При $x = -2, y = (-2)^2 - 2(-2) - 4 = 4 + 4 - 4 = 4$.
При $x = 3, y = 3^2 - 2 \cdot 3 - 4 = 9 - 6 - 4 = -1$.
При $x = -1, y = (-1)^2 - 2(-1) - 4 = 1 + 2 - 4 = -1$.

3. Поиск решения

Построив оба графика в одной системе координат, находим их точки пересечения. Из вычисленных точек видно, что графики пересекаются в точках с координатами $(-2; 4)$, $(1; -5)$ и $(3; -1)$.

Ответ: $(-2; 4), (1; -5), (3; -1)$.

34 Используя график данной функции, определите, при каких значениях $x$ выполняется условие $y = m, y > m, y < m$, если:

а) $y = \frac{4}{x-1} - 4, m = 0$;

б) $y = -\frac{6}{x-2}, m = 3$;

в) $y = \frac{3}{x} + 3, m = 0$;

г) $y = -\frac{8}{x+2} + 2, m = -2$.

а) Для функции $y = \frac{4}{x-1} - 4$ и $m = 0$ найдем значения $x$, при которых выполняются условия $y = m$, $y > m$ и $y < m$.

Чтобы найти значения $x$, при которых $y=m$, нужно найти абсциссы точек пересечения графика функции с прямой $y=m$. Чтобы найти, при каких $x$ выполняется $y>m$ (или $y<m$), нужно найти интервалы, на которых график функции лежит выше (или ниже) прямой $y=m$. В данном случае $m=0$, поэтому мы сравниваем положение графика относительно оси абсцисс ($y=0$).

1. Решим уравнение $y = 0$:

$\frac{4}{x-1} - 4 = 0$

$\frac{4}{x-1} = 4$

При условии, что $x-1 \neq 0$ (т.е. $x \neq 1$), имеем:

$4 = 4(x-1)$

$1 = x-1$

$x = 2$

Итак, график функции пересекает ось $x$ в точке $x=2$.

2. Решим неравенство $y > 0$:

$\frac{4}{x-1} - 4 > 0$

$\frac{4 - 4(x-1)}{x-1} > 0$

$\frac{4 - 4x + 4}{x-1} > 0$

$\frac{8 - 4x}{x-1} > 0$

$\frac{4(2 - x)}{x-1} > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Критические точки (нули числителя и знаменателя): $x=2$ и $x=1$. Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы $(-\infty, 1)$, $(1, 2)$ и $(2, \infty)$. Проверяя знак выражения в каждом интервале, получаем, что неравенство выполняется при $x \in (1, 2)$.

3. Решим неравенство $y < 0$:

$\frac{4(2 - x)}{x-1} < 0$

Используя результаты предыдущего пункта, получаем, что неравенство выполняется, когда выражение отрицательно. Это происходит на интервалах $x \in (-\infty, 1) \cup (2, \infty)$.

Ответ: $y=0$ при $x=2$; $y>0$ при $x \in (1, 2)$; $y<0$ при $x \in (-\infty, 1) \cup (2, \infty)$.

б) Для функции $y = -\frac{6}{x-2}$ и $m = 3$ найдем значения $x$, при которых выполняются условия $y = m$, $y > m$ и $y < m$.

Здесь мы ищем точки пересечения и положение графика относительно прямой $y=3$.

1. Решим уравнение $y = 3$:

$-\frac{6}{x-2} = 3$

При условии $x-2 \neq 0$ (т.е. $x \neq 2$):

$-6 = 3(x-2)$

$-2 = x-2$

$x = 0$

График функции пересекает прямую $y=3$ в точке $x=0$.

2. Решим неравенство $y > 3$:

$-\frac{6}{x-2} > 3$

$-\frac{6}{x-2} - 3 > 0$

$\frac{-6 - 3(x-2)}{x-2} > 0$

$\frac{-6 - 3x + 6}{x-2} > 0$

$\frac{-3x}{x-2} > 0$

Умножим на $-1$ и сменим знак неравенства: $\frac{3x}{x-2} < 0$.

Критические точки: $x=0$ и $x=2$. Методом интервалов находим, что неравенство выполняется при $x \in (0, 2)$.

3. Решим неравенство $y < 3$:

$\frac{3x}{x-2} > 0$

Из метода интервалов следует, что это неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 0) \cup (2, \infty)$.

Ответ: $y=3$ при $x=0$; $y>3$ при $x \in (0, 2)$; $y<3$ при $x \in (-\infty, 0) \cup (2, \infty)$.

в) Для функции $y = \frac{3}{x} + 3$ и $m = 0$ найдем значения $x$, при которых выполняются условия $y = m$, $y > m$ и $y < m$.

Сравниваем положение графика функции относительно оси абсцисс ($y=0$).

1. Решим уравнение $y = 0$:

$\frac{3}{x} + 3 = 0$

$\frac{3}{x} = -3$

При условии $x \neq 0$:

$3 = -3x$

$x = -1$

График функции пересекает ось $x$ в точке $x=-1$.

2. Решим неравенство $y > 0$:

$\frac{3}{x} + 3 > 0$

$\frac{3 + 3x}{x} > 0$

$\frac{3(1 + x)}{x} > 0$

Критические точки: $x=-1$ и $x=0$. Методом интервалов находим, что неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -1) \cup (0, \infty)$.

3. Решим неравенство $y < 0$:

$\frac{3(1 + x)}{x} < 0$

Из метода интервалов следует, что это неравенство выполняется при $x \in (-1, 0)$.

Ответ: $y=0$ при $x=-1$; $y>0$ при $x \in (-\infty, -1) \cup (0, \infty)$; $y<0$ при $x \in (-1, 0)$.

г) Для функции $y = -\frac{8}{x+2} + 2$ и $m = -2$ найдем значения $x$, при которых выполняются условия $y = m$, $y > m$ и $y < m$.

Ищем точки пересечения и положение графика относительно прямой $y=-2$.

1. Решим уравнение $y = -2$:

$-\frac{8}{x+2} + 2 = -2$

$-\frac{8}{x+2} = -4$

$\frac{8}{x+2} = 4$

При условии $x+2 \neq 0$ (т.е. $x \neq -2$):

$8 = 4(x+2)$

$2 = x+2$

$x = 0$

График функции пересекает прямую $y=-2$ в точке $x=0$.

2. Решим неравенство $y > -2$:

$-\frac{8}{x+2} + 2 > -2$

$-\frac{8}{x+2} + 4 > 0$

$\frac{-8 + 4(x+2)}{x+2} > 0$

$\frac{-8 + 4x + 8}{x+2} > 0$

$\frac{4x}{x+2} > 0$

Критические точки: $x=0$ и $x=-2$. Методом интервалов находим, что неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -2) \cup (0, \infty)$.

3. Решим неравенство $y < -2$:

$\frac{4x}{x+2} < 0$

Из метода интервалов следует, что это неравенство выполняется при $x \in (-2, 0)$.

Ответ: $y=-2$ при $x=0$; $y>-2$ при $x \in (-\infty, -2) \cup (0, \infty)$; $y<-2$ при $x \in (-2, 0)$.