Страница 217, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1 a) $y = 2x^2;$

б) $y = -\frac{4}{x};$

в) $y = -\frac{1}{3}x^2;$

г) $y = \frac{8}{x}.$

а) Дана функция $y = 2x^2$.

Для нахождения производной этой функции, мы используем правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правило вынесения константы за знак производной $(c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x)$.

Применим эти правила:

$y' = (2x^2)' = 2 \cdot (x^2)'$

По правилу для степенной функции при $n=2$, производная $(x^2)' = 2x^{2-1} = 2x$.

Подставляем обратно в наше выражение:

$y' = 2 \cdot (2x) = 4x$.

Ответ: $y' = 4x$

б) Дана функция $y = -\frac{4}{x}$.

Для удобства дифференцирования, представим функцию в виде степенной функции. Напомним, что $\frac{1}{x} = x^{-1}$.

$y = -4x^{-1}$

Используем те же правила: правило для степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правило вынесения константы.

Находим производную:

$y' = (-4x^{-1})' = -4 \cdot (x^{-1})'$

Здесь $n=-1$, поэтому $(x^{-1})' = (-1)x^{-1-1} = -x^{-2}$.

Подставляем полученное выражение:

$y' = -4 \cdot (-x^{-2}) = 4x^{-2}$.

Вернемся к дробовому представлению, используя свойство $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$:

$y' = \frac{4}{x^2}$.

Ответ: $y' = \frac{4}{x^2}$

в) Дана функция $y = -\frac{1}{3}x^2$.

Это квадратичная функция с постоянным коэффициентом. Для нахождения ее производной применяем правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правило вынесения константы $(c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x)$.

Применим правила к функции:

$y' = (-\frac{1}{3}x^2)' = -\frac{1}{3} \cdot (x^2)'$

Производная от $x^2$ равна $2x$.

Следовательно:

$y' = -\frac{1}{3} \cdot (2x) = -\frac{2}{3}x$.

Ответ: $y' = -\frac{2}{3}x$

г) Дана функция $y = \frac{8}{x}$.

Как и в пункте б), представим функцию в виде степенной функции для упрощения вычислений: $y = 8x^{-1}$.

Используем правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и вынесение константы за знак производной.

Находим производную:

$y' = (8x^{-1})' = 8 \cdot (x^{-1})'$

Производная от $x^{-1}$ равна $(-1)x^{-1-1} = -x^{-2}$.

Подставляем это значение:

$y' = 8 \cdot (-x^{-2}) = -8x^{-2}$.

Запишем результат в виде дроби:

$y' = -\frac{8}{x^2}$.

Ответ: $y' = -\frac{8}{x^2}$

2 a) $y = \frac{3}{x} - 1;$

б) $y = -(x + 1)^2;$

в) $y = -\frac{6}{x-2};$

г) $y = 3x^2 - 4.$

а) Дана функция $y = \frac{3}{x} - 1$.

Это дробно-рациональная функция, график которой — гипербола. График данной функции можно получить из графика базовой функции $y = \frac{1}{x}$ с помощью следующих преобразований:

1. Растяжение вдоль оси OY в 3 раза, чтобы получить график функции $y = \frac{3}{x}$.

2. Параллельный перенос полученного графика на 1 единицу вниз вдоль оси OY.

Свойства функции:

1. Область определения: Знаменатель дроби не должен равняться нулю, поэтому $x \neq 0$. Область определения $D(y): (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Область значений: Так как дробь $\frac{3}{x}$ не может быть равна нулю, то $y$ не может быть равен $0 - 1 = -1$. Область значений $E(y): (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

3. Асимптоты:
- Вертикальная асимптота: прямая $x = 0$.
- Горизонтальная асимптота: прямая $y = -1$.

4. Точки пересечения с осями координат:
- С осью OY: пересечения нет, так как $x=0$ не входит в область определения.
- С осью OX (нуль функции): при $y=0$ имеем $\frac{3}{x} - 1 = 0 \implies \frac{3}{x} = 1 \implies x = 3$. Точка пересечения — $(3; 0)$.

Ответ: Функция $y = \frac{3}{x} - 1$ — гипербола. Область определения: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Область значений: $y \in (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$. Асимптоты: $x=0$ (вертикальная) и $y=-1$ (горизонтальная). Точка пересечения с осью OX: $(3; 0)$.

б) Дана функция $y = -(x + 1)^2$.

Это квадратичная функция, график которой — парабола. График данной функции можно получить из графика базовой функции $y = x^2$ с помощью следующих преобразований:

1. Параллельный перенос графика на 1 единицу влево вдоль оси OX, чтобы получить график функции $y = (x+1)^2$.

2. Симметричное отражение полученного графика относительно оси OX, чтобы получить $y = -(x+1)^2$.

Свойства функции:

1. Вершина параболы: Функция записана в виде $y=a(x-h)^2+k$. Здесь $h=-1, k=0$. Вершина находится в точке $(-1; 0)$.

2. Направление ветвей: Коэффициент при $x^2$ равен $-1$ (отрицательный), следовательно, ветви параболы направлены вниз.

3. Область определения: Функция определена для всех действительных чисел. $D(y): (-\infty; +\infty)$.

4. Область значений: Так как ветви направлены вниз, а максимальное значение достигается в вершине, то область значений $E(y): (-\infty; 0]$.

5. Точки пересечения с осями координат:
- С осью OX: вершина параболы лежит на оси OX, поэтому точка пересечения одна — $(-1; 0)$.
- С осью OY: при $x=0$ имеем $y = -(0+1)^2 = -1$. Точка пересечения — $(0; -1)$.

Ответ: Функция $y = -(x + 1)^2$ — парабола. Ветви направлены вниз. Вершина в точке $(-1; 0)$. Область определения: $(-\infty; +\infty)$. Область значений: $(-\infty; 0]$. Пересечение с осью OY в точке $(0; -1)$.

в) Дана функция $y = -\frac{6}{x - 2}$.

Это дробно-рациональная функция, график которой — гипербола. График данной функции можно получить из графика базовой функции $y = \frac{1}{x}$ с помощью следующих преобразований:

1. Параллельный перенос на 2 единицы вправо вдоль оси OX, чтобы получить $y = \frac{1}{x-2}$.

2. Растяжение вдоль оси OY в 6 раз, чтобы получить $y = \frac{6}{x-2}$.

3. Симметричное отражение относительно оси OX, чтобы получить $y = -\frac{6}{x-2}$.

Свойства функции:

1. Область определения: Знаменатель не должен равняться нулю, $x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$. Область определения $D(y): (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Область значений: Дробь $-\frac{6}{x-2}$ не может быть равна нулю. Область значений $E(y): (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

3. Асимптоты:
- Вертикальная асимптота: прямая $x = 2$.
- Горизонтальная асимптота: прямая $y = 0$.

4. Точки пересечения с осями координат:
- С осью OX: пересечения нет, так как $y=0$ не входит в область значений.
- С осью OY: при $x=0$ имеем $y = -\frac{6}{0-2} = 3$. Точка пересечения — $(0; 3)$.

Ответ: Функция $y = -\frac{6}{x-2}$ — гипербола. Область определения: $x \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$. Область значений: $y \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Асимптоты: $x=2$ (вертикальная) и $y=0$ (горизонтальная). Точка пересечения с осью OY: $(0; 3)$.

г) Дана функция $y = 3x^2 - 4$.

Это квадратичная функция, график которой — парабола. График данной функции можно получить из графика базовой функции $y = x^2$ с помощью следующих преобразований:

1. Растяжение вдоль оси OY в 3 раза, чтобы получить график функции $y = 3x^2$.

2. Параллельный перенос полученного графика на 4 единицы вниз вдоль оси OY.

Свойства функции:

1. Вершина параболы: Функция записана в виде $y=ax^2+c$. Вершина находится в точке $(0; c)$, то есть в $(0; -4)$.

2. Направление ветвей: Коэффициент при $x^2$ равен $3$ (положительный), следовательно, ветви параболы направлены вверх.

3. Область определения: Функция определена для всех действительных чисел. $D(y): (-\infty; +\infty)$.

4. Область значений: Так как ветви направлены вверх, а минимальное значение достигается в вершине, то область значений $E(y): [-4; +\infty)$.

5. Точки пересечения с осями координат:
- С осью OY: вершина параболы лежит на оси OY, поэтому точка пересечения — $(0; -4)$.
- С осью OX (нули функции): при $y=0$ имеем $3x^2 - 4 = 0 \implies 3x^2=4 \implies x^2=\frac{4}{3} \implies x = \pm\sqrt{\frac{4}{3}} = \pm\frac{2}{\sqrt{3}} = \pm\frac{2\sqrt{3}}{3}$. Точки пересечения — $(-\frac{2\sqrt{3}}{3}; 0)$ и $(\frac{2\sqrt{3}}{3}; 0)$.

Ответ: Функция $y = 3x^2 - 4$ — парабола. Ветви направлены вверх. Вершина в точке $(0; -4)$. Область определения: $(-\infty; +\infty)$. Область значений: $[-4; +\infty)$. Пересечение с осью OX в точках $(-\frac{2\sqrt{3}}{3}; 0)$ и $(\frac{2\sqrt{3}}{3}; 0)$.

3 a) $y = 0.5(x - 2)^2 - 4$

б) $y = \frac{8}{x + 2} + 1$

в) $y = 9 - (x + 1)^2$

г) $y = \frac{6}{x - 3} - 4$

а) Функция $y = 0.5(x - 2)^2 - 4$ является квадратичной функцией (график - парабола). Выражение $0.5(x - 2)^2 - 4$ является многочленом, который определен для любых действительных значений переменной $x$. Следовательно, ограничений на область определения функции нет.
Ответ: Область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

б) Функция $y = \frac{8}{x + 2} + 1$ является дробно-рациональной функцией (график - гипербола). Она определена для всех значений $x$, при которых знаменатель дроби не равен нулю. Найдем значение $x$, при котором знаменатель обращается в ноль:
$x + 2 = 0$
$x = -2$
Следовательно, область определения функции — все действительные числа, кроме $x = -2$.
Ответ: Область определения функции $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

в) Функция $y = 9 - (x + 1)^2$ является квадратичной функцией (график - парабола). Данное выражение является многочленом, который определен для всех действительных значений переменной $x$. Поэтому область определения функции — все действительные числа.
Ответ: Область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

г) Функция $y = \frac{6}{x - 3} - 4$ является дробно-рациональной функцией (график - гипербола). Область определения этой функции состоит из всех действительных чисел, для которых знаменатель дроби $x - 3$ не равен нулю. Найдем недопустимое значение $x$, обратив знаменатель в ноль:
$x - 3 = 0$
$x = 3$
Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, за исключением $x = 3$.
Ответ: Область определения функции $D(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

4. Напишите уравнение квадратичной функции, полученной путём параллельного переноса:

а) параболы $y = x^2$ на 5 единиц влево;

б) параболы $y = x^2$ на 1 единицу вниз;

в) параболы $y = x^2$ на 1 единицу вправо и на 3 единицы вверх;

г) вершины параболы $y = x^2$ в точку $(2; -4)$.

Параллельный перенос графика функции $y = f(x)$ на $m$ единиц влево описывается уравнением $y = f(x + m)$. В нашем случае исходная функция $f(x) = x^2$, а сдвиг влево осуществляется на $m=5$ единиц. Следовательно, мы должны заменить $x$ на $(x + 5)$ в исходном уравнении. Получаем новое уравнение: $y = (x + 5)^2$. Вершина этой параболы находится в точке $(-5, 0)$, что соответствует сдвигу исходной вершины $(0, 0)$ на 5 единиц влево.

Ответ: $y = (x + 5)^2$

Параллельный перенос графика функции $y = f(x)$ на $n$ единиц вниз описывается уравнением $y = f(x) - n$. В нашем случае исходная функция $f(x) = x^2$, а сдвиг вниз осуществляется на $n=1$ единицу. Следовательно, мы должны вычесть 1 из правой части исходного уравнения. Получаем новое уравнение: $y = x^2 - 1$. Вершина этой параболы находится в точке $(0, -1)$, что соответствует сдвигу исходной вершины $(0, 0)$ на 1 единицу вниз.

Ответ: $y = x^2 - 1$

Параллельный перенос графика функции $y = f(x)$ на $h$ единиц вправо и на $k$ единиц вверх описывается уравнением $y = f(x - h) + k$. В нашем случае исходная функция $f(x) = x^2$. Сдвиг вправо на $h=1$ единицу и сдвиг вверх на $k=3$ единицы. Заменяем $x$ на $(x - 1)$ и прибавляем 3 к результату. Получаем новое уравнение: $y = (x - 1)^2 + 3$. Вершина этой параболы находится в точке $(1, 3)$, что соответствует сдвигу исходной вершины $(0, 0)$ на 1 единицу вправо и 3 единицы вверх.

Ответ: $y = (x - 1)^2 + 3$

Вершина исходной параболы $y = x^2$ находится в точке $(0, 0)$. Требуется перенести вершину в точку с координатами $(2, -4)$. Это означает, что мы выполняем параллельный перенос, при котором горизонтальный сдвиг составляет 2 единицы вправо ($h=2$), а вертикальный сдвиг — 4 единицы вниз ($k=-4$). Общий вид уравнения параболы с вершиной в точке $(h, k)$ и старшим коэффициентом $a=1$ имеет вид: $y = (x - h)^2 + k$. Подставляем значения $h=2$ и $k=-4$: $y = (x - 2)^2 + (-4)$, что равносильно $y = (x - 2)^2 - 4$.

Ответ: $y = (x - 2)^2 - 4$

5 Напишите уравнение квадратичной функции, полученной путём параллельного переноса:

а) параболы $y = 2x^2$ на 4 единицы вправо и на 3 единицы вверх;

б) вершины параболы $y = -\frac{1}{2}x^2$ в точку $(-3; 2)$;

в) параболы $y = -\frac{2}{3}x^2$ на 1 единицу влево и на 4 единицы вниз;

г) вершины параболы $y = 1,5x^2$ в точку $(2; 1)$. Постройте график полученной функции.

Общий вид уравнения квадратичной функции, полученной путем параллельного переноса графика функции $y = ax^2$ так, что ее вершина оказывается в точке $(m, n)$, имеет вид: $y = a(x - m)^2 + n$.

При этом сдвиг графика на $m$ единиц вправо соответствует положительному значению $m$, а влево — отрицательному. Сдвиг на $n$ единиц вверх соответствует положительному значению $n$, а вниз — отрицательному.

Исходная функция: $y = 2x^2$. Коэффициент $a = 2$.
График переносится на 4 единицы вправо, следовательно, $m = 4$.
График переносится на 3 единицы вверх, следовательно, $n = 3$.
Подставляем эти значения в общую формулу $y = a(x - m)^2 + n$:
$y = 2(x - 4)^2 + 3$.

Ответ: $y = 2(x - 4)^2 + 3$.

Исходная функция: $y = -\frac{1}{2}x^2$. Коэффициент $a = -\frac{1}{2}$.
Вершина исходной параболы находится в точке $(0, 0)$. Перенос вершины в точку $(-3, 2)$ означает, что сдвиг по горизонтали $m = -3$, а по вертикали $n = 2$.
Подставляем значения в общую формулу:
$y = -\frac{1}{2}(x - (-3))^2 + 2$
$y = -\frac{1}{2}(x + 3)^2 + 2$.

Ответ: $y = -\frac{1}{2}(x + 3)^2 + 2$.

Исходная функция: $y = -\frac{2}{3}x^2$. Коэффициент $a = -\frac{2}{3}$.
График переносится на 1 единицу влево, следовательно, $m = -1$.
График переносится на 4 единицы вниз, следовательно, $n = -4$.
Подставляем значения в общую формулу:
$y = -\frac{2}{3}(x - (-1))^2 + (-4)$
$y = -\frac{2}{3}(x + 1)^2 - 4$.

Ответ: $y = -\frac{2}{3}(x + 1)^2 - 4$.

Исходная функция: $y = 1,5x^2$. Коэффициент $a = 1,5$.
Вершина исходной параболы находится в точке $(0, 0)$. Перенос вершины в точку $(2, 1)$ означает, что сдвиг по горизонтали $m = 2$, а по вертикали $n = 1$.
Подставляем значения в общую формулу:
$y = 1,5(x - 2)^2 + 1$.

Ответ: $y = 1,5(x - 2)^2 + 1$.

Построение графика полученной функции

Построим график для функции, полученной в пункте г): $y = 1,5(x - 2)^2 + 1$. Для этого выполним следующие шаги:

1. Определяем направление ветвей параболы. Так как старший коэффициент $a = 1,5 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Находим вершину параболы. Из уравнения $y = a(x - m)^2 + n$ видно, что вершина находится в точке $(m; n) = (2; 1)$.

3. Проводим ось симметрии параболы — это вертикальная прямая, проходящая через вершину, ее уравнение $x = 2$.

4. Находим несколько контрольных точек для построения. Выберем значения $x$ симметрично относительно оси $x=2$ и вычислим для них соответствующие значения $y$:

- Вершина: $x = 2$, $y = 1,5(2 - 2)^2 + 1 = 1$. Точка $(2; 1)$.
- Возьмем $x = 1$ (на 1 единицу левее вершины): $y = 1,5(1 - 2)^2 + 1 = 1,5(-1)^2 + 1 = 2,5$. Точка $(1; 2,5)$.
- Симметрично, для $x = 3$ (на 1 единицу правее вершины): $y = 1,5(3 - 2)^2 + 1 = 1,5(1)^2 + 1 = 2,5$. Точка $(3; 2,5)$.
- Найдем точку пересечения с осью OY, подставив $x = 0$: $y = 1,5(0 - 2)^2 + 1 = 1,5 \cdot 4 + 1 = 7$. Точка $(0; 7)$.
- Найдем симметричную ей точку относительно оси $x=2$. Ее абсцисса будет $x = 4$. $y = 1,5(4 - 2)^2 + 1 = 1,5 \cdot 4 + 1 = 7$. Точка $(4; 7)$.

5. Наносим на координатную плоскость найденные точки: вершину $(2; 1)$ и пары симметричных точек $(1; 2,5)$ и $(3; 2,5)$, а также $(0; 7)$ и $(4; 7)$. Соединяем эти точки плавной кривой, чтобы получить график параболы.