Страница 211, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. Сформулируйте определение стандартного вида положительного числа $a$.

1. Стандартным видом положительного числа $a$ называют его представление в виде произведения $b \cdot 10^n$. В этой записи должны выполняться два условия:

1. Множитель $b$, называемый мантиссой числа, должен удовлетворять двойному неравенству $1 \le b < 10$. То есть, мантисса должна быть числом большим или равным единице, но строго меньшим десяти.
2. Показатель степени $n$, называемый порядком числа, должен быть целым числом (положительным, отрицательным или нулём).

Эта форма записи, также известная как научная нотация, очень удобна для представления очень больших или очень маленьких чисел, а также для выполнения вычислений с ними.

Пример 1: Запишем в стандартном виде число $384400$ (среднее расстояние от Земли до Луны в километрах).
Чтобы получить мантиссу, удовлетворяющую условию $1 \le b < 10$, нужно поставить запятую после первой значащей цифры, то есть после цифры 3. Получаем число $3,844$. Чтобы это число было равно исходному, его нужно умножить на $10$ в такой степени, на сколько знаков мы сдвинули запятую. Исходно запятая находилась в конце числа ($384400,0$). Мы сдвинули её на 5 знаков влево. Значит, порядок числа будет равен 5.
Таким образом, $384400 = 3,844 \cdot 10^5$. Здесь мантисса $b = 3,844$, порядок $n = 5$.

Пример 2: Запишем в стандартном виде число $0,0000123$ (диаметр красного кровяного тельца в метрах).
Чтобы получить мантиссу, сдвинем запятую вправо так, чтобы слева от неё оказалась одна ненулевая цифра. Ставим запятую после цифры 1, получаем $1,23$. Запятая была сдвинута на 6 знаков вправо. Это означает, что порядок числа будет отрицательным и равным -6.
Таким образом, $0,00000123 = 1,23 \cdot 10^{-6}$. Здесь мантисса $b = 1,23$, порядок $n = -6$.

Ответ: Стандартным видом положительного числа $a$ является его представление в виде произведения $b \cdot 10^n$, где $1 \le b < 10$ и $n$ — целое число.

2. Что называют порядком числа $a$?

2. Порядком положительного числа $a$ называют целое число $p$, которое является показателем степени числа 10 в стандартной записи числа $a$.

Стандартной записью (или стандартным видом) числа $a$ называют его представление в виде произведения:
$a = m \cdot 10^p$
где число $m$ (называемое мантиссой) удовлетворяет неравенству $1 \le m < 10$, а число $p$ (показатель степени) является целым числом. Именно это число $p$ и является порядком числа $a$.

Порядок числа позволяет быстро оценить его величину. Положительный порядок говорит о том, что число большое (больше или равно 10), а отрицательный — о том, что число маленькое (положительное, но меньше 1). Нулевой порядок означает, что число находится в диапазоне от 1 до 10.

Пример 1: Найти порядок числа 782 000.

Чтобы записать число в стандартном виде, нужно представить его как произведение числа из промежутка $[1, 10)$ и степени десятки. Для этого переместим запятую в числе $782000.0$ влево на 5 позиций, чтобы получить число $7.82$.

Поскольку запятая была сдвинута на 5 позиций влево, мы должны умножить результат на $10^5$, чтобы значение числа не изменилось.

$782000 = 7.82 \cdot 10^5$

В данной записи мантисса $m = 7.82$, а показатель степени $p = 5$. Таким образом, порядок числа 782 000 равен 5.

Пример 2: Найти порядок числа 0.0049.

Переместим запятую вправо на 3 позиции, чтобы получить число $4.9$, которое находится в нужном диапазоне $[1, 10)$.

Так как запятая была сдвинута на 3 позиции вправо, мы должны умножить результат на $10^{-3}$.

$0.0049 = 4.9 \cdot 10^{-3}$

Здесь мантисса $m = 4.9$, а показатель степени $p = -3$. Следовательно, порядок числа 0.0049 равен -3.

Ответ: Порядком числа $a$ называют показатель степени $p$ в его стандартной записи $a = m \cdot 10^p$, где $1 \le m < 10$ и $p$ — целое число.

3. В чём заключается польза от стандартной записи числа?

Стандартная запись числа, также известная как научная нотация, представляет число в виде $a \times 10^n$, где $1 \le a < 10$ и $n$ — целое число. Польза от такой записи заключается в нескольких ключевых аспектах, особенно при работе с очень большими или очень малыми числами, которые часто встречаются в науке, технике и экономике.

Компактность и удобство записи

Стандартный вид позволяет записывать громоздкие числа в короткой и легко читаемой форме. Это снижает вероятность ошибки при записи или чтении числа с большим количеством нулей.
Например, масса Земли приблизительно равна 5 972 000 000 000 000 000 000 000 кг. В стандартном виде это записывается как $5.972 \times 10^{24}$ кг.
Другой пример: диаметр атома водорода составляет около 0.000000000106 метра. В стандартном виде это $1.06 \times 10^{-10}$ м.
В обоих случаях стандартная запись намного нагляднее и удобнее.

Упрощение вычислений

Выполнение арифметических операций (умножение, деление, возведение в степень) со числами в стандартном виде значительно проще, так как операции с большими числами сводятся к операциям с их мантиссами (числами от 1 до 10) и порядками (степенями десятки).
Правило для умножения: $(a \times 10^n) \times (b \times 10^m) = (a \times b) \times 10^{n+m}$. Нужно просто перемножить мантиссы и сложить порядки.
Правило для деления: $\frac{a \times 10^n}{b \times 10^m} = \frac{a}{b} \times 10^{n-m}$. Нужно разделить мантиссы и вычесть порядки.
Это позволяет избежать работы с длинными последовательностями цифр и упрощает как ручные расчеты, так и программирование вычислительных алгоритмов.

Легкость сравнения и оценки порядка величины

Стандартная форма позволяет мгновенно оценить и сравнить порядок чисел. Число с большим показателем степени $n$ всегда будет значительно больше числа с меньшим показателем. Например, легко понять, что расстояние до Солнца ($1.5 \times 10^{11}$ м) гораздо больше, чем расстояние до Луны ($3.84 \times 10^8$ м), просто сравнив показатели степени: $11 > 8$. Если же порядки чисел одинаковы, для сравнения достаточно посмотреть на их мантиссы. Это помогает быстро оценить масштабы величин в физике, химии, астрономии и других областях.

Стандартизация и универсальность

Использование стандартной записи является общепринятым международным форматом в научной и технической литературе. Это обеспечивает единообразие и исключает неоднозначность при обмене данными между учеными и инженерами по всему миру.

Ответ: Польза стандартной записи числа заключается в её компактности для записи очень больших и очень малых чисел, значительном упрощении арифметических вычислений, удобстве сравнения чисел и оценки их порядка, а также в универсальности этого формата для научной и технической коммуникации.

4. Запишите в стандартном виде число:

а) $25,437$;

б) $2013$;

в) $7,222$;

г) $0,48$;

д) $0,005$.

Стандартный вид числа — это его запись в виде $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$ и $n$ — целое число. Чтобы представить число в стандартном виде, необходимо:

1. Переместить запятую так, чтобы перед ней осталась только одна ненулевая цифра. Полученное число будет мантиссой $a$.
2. Посчитать, на сколько знаков была перемещена запятая. Это число будет модулем порядка $n$.
3. Определить знак порядка $n$: если запятая сдвигалась влево (для чисел, больших или равных 10), то порядок $n$ положительный. Если запятая сдвигалась вправо (для чисел, меньших 1), то порядок $n$ отрицательный. Если число уже находится в диапазоне от 1 до 10, то порядок $n$ равен 0.

а) 25,437

Чтобы получить мантиссу в диапазоне $[1, 10)$, нужно перенести запятую на 1 знак влево: $2,5437$.
Поскольку запятая была сдвинута влево на 1 знак, порядок числа равен 1.

$25,437 = 2,5437 \cdot 10^1$

Ответ: $2,5437 \cdot 10^1$.

б) 2013

Исходное число можно представить как 2013,0. Переносим запятую на 3 знака влево, чтобы получить мантиссу $2,013$.
Так как запятая сдвинута влево на 3 знака, порядок числа равен 3.

$2013 = 2,013 \cdot 10^3$

Ответ: $2,013 \cdot 10^3$.

в) 7,222

Число 7,222 уже находится в диапазоне $[1, 10)$, поэтому его мантисса равна самому числу.
Сдвигать запятую не нужно, поэтому порядок числа равен 0.

$7,222 = 7,222 \cdot 10^0$

Ответ: $7,222 \cdot 10^0$.

г) 0,48

Чтобы получить мантиссу, переносим запятую на 1 знак вправо: $4,8$.
Поскольку запятая была сдвинута вправо на 1 знак, порядок числа равен -1.

$0,48 = 4,8 \cdot 10^{-1}$

Ответ: $4,8 \cdot 10^{-1}$.

д) 0,005

Переносим запятую на 3 знака вправо, чтобы получить мантиссу 5.
Так как запятая сдвинута вправо на 3 знака, порядок числа равен -3.

$0,005 = 5 \cdot 10^{-3}$

Ответ: $5 \cdot 10^{-3}$.

38.10 Упростите и вычислите с точностью до 0,1:

a) $0,1\sqrt{200} - 2\sqrt{0,08} + 4\sqrt{0,5} - 0,4\sqrt{50};$

б) $5\sqrt{\frac{1}{5}} - \frac{1}{2}\sqrt{20} + \sqrt{500} - 0,2\sqrt{3125};$

в) $\sqrt{176} - 2\sqrt{99} - \sqrt{891} + \sqrt{1584};$

г) $\sqrt{1,25} - \frac{1}{14}\sqrt{245} + \sqrt{180} - \sqrt{80}.$

а) $0,1\sqrt{200} - 2\sqrt{0,08} + 4\sqrt{0,5} - 0,4\sqrt{50}$

Сначала упростим каждый член выражения, вынеся множитель из-под знака корня. Цель — привести все слагаемые к виду $k\sqrt{2}$.

$0,1\sqrt{200} = 0,1\sqrt{100 \cdot 2} = 0,1 \cdot 10\sqrt{2} = \sqrt{2}$.

$2\sqrt{0,08} = 2\sqrt{\frac{8}{100}} = 2\frac{\sqrt{4 \cdot 2}}{10} = 2\frac{2\sqrt{2}}{10} = \frac{4\sqrt{2}}{10} = 0,4\sqrt{2}$.

$4\sqrt{0,5} = 4\sqrt{\frac{1}{2}} = 4\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$.

$0,4\sqrt{50} = 0,4\sqrt{25 \cdot 2} = 0,4 \cdot 5\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$.

Теперь подставим упрощенные члены в исходное выражение и сгруппируем их:

$\sqrt{2} - 0,4\sqrt{2} + 2\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = (1 - 0,4 + 2 - 2)\sqrt{2} = 0,6\sqrt{2}$.

Вычислим значение, используя приближенное значение $\sqrt{2} \approx 1,414$:

$0,6\sqrt{2} \approx 0,6 \cdot 1,414 = 0,8484$.

Округлим результат с точностью до 0,1: $0,8$.

Ответ: $0,8$.

б) $5\sqrt{\frac{1}{5}} - \frac{1}{2}\sqrt{20} + \sqrt{500} - 0,2\sqrt{3125}$

Упростим каждый член выражения, приведя все слагаемые к виду $k\sqrt{5}$.

$5\sqrt{\frac{1}{5}} = 5 \cdot \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \frac{5\sqrt{5}}{5} = \sqrt{5}$.

$\frac{1}{2}\sqrt{20} = \frac{1}{2}\sqrt{4 \cdot 5} = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{5} = \sqrt{5}$.

$\sqrt{500} = \sqrt{100 \cdot 5} = 10\sqrt{5}$.

$0,2\sqrt{3125} = 0,2\sqrt{625 \cdot 5} = 0,2 \cdot 25\sqrt{5} = 5\sqrt{5}$.

Подставим упрощенные члены в выражение:

$\sqrt{5} - \sqrt{5} + 10\sqrt{5} - 5\sqrt{5} = (1 - 1 + 10 - 5)\sqrt{5} = 5\sqrt{5}$.

Вычислим значение, используя приближенное значение $\sqrt{5} \approx 2,236$:

$5\sqrt{5} \approx 5 \cdot 2,236 = 11,18$.

Округлим результат с точностью до 0,1: $11,2$.

Ответ: $11,2$.

в) $\sqrt{176} - 2\sqrt{99} - \sqrt{891} + \sqrt{1584}$

Упростим каждый член выражения, приведя все слагаемые к виду $k\sqrt{11}$.

$\sqrt{176} = \sqrt{16 \cdot 11} = 4\sqrt{11}$.

$2\sqrt{99} = 2\sqrt{9 \cdot 11} = 2 \cdot 3\sqrt{11} = 6\sqrt{11}$.

$\sqrt{891} = \sqrt{81 \cdot 11} = 9\sqrt{11}$.

$\sqrt{1584} = \sqrt{144 \cdot 11} = 12\sqrt{11}$.

Подставим упрощенные члены в выражение:

$4\sqrt{11} - 6\sqrt{11} - 9\sqrt{11} + 12\sqrt{11} = (4 - 6 - 9 + 12)\sqrt{11} = 1\sqrt{11} = \sqrt{11}$.

Вычислим значение, используя приближенное значение $\sqrt{11} \approx 3,317$:

$\sqrt{11} \approx 3,317$.

Округлим результат с точностью до 0,1: $3,3$.

Ответ: $3,3$.

г) $\sqrt{1,25} - \frac{1}{14}\sqrt{245} + \sqrt{180} - \sqrt{80}$

Упростим каждый член выражения, приведя все слагаемые к виду $k\sqrt{5}$.

$\sqrt{1,25} = \sqrt{\frac{125}{100}} = \frac{\sqrt{25 \cdot 5}}{10} = \frac{5\sqrt{5}}{10} = 0,5\sqrt{5}$.

$\frac{1}{14}\sqrt{245} = \frac{1}{14}\sqrt{49 \cdot 5} = \frac{1}{14} \cdot 7\sqrt{5} = \frac{7}{14}\sqrt{5} = 0,5\sqrt{5}$.

$\sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5}$.

$\sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$.

Подставим упрощенные члены в выражение:

$0,5\sqrt{5} - 0,5\sqrt{5} + 6\sqrt{5} - 4\sqrt{5} = (0,5 - 0,5 + 6 - 4)\sqrt{5} = 2\sqrt{5}$.

Вычислим значение, используя приближенное значение $\sqrt{5} \approx 2,236$:

$2\sqrt{5} \approx 2 \cdot 2,236 = 4,472$.

Округлим результат с точностью до 0,1: $4,5$.

Ответ: $4,5$.

38.11 Упростите и вычислите с точностью до 0,1:

a) $ \sqrt{3 - \sqrt{29 - 12\sqrt{5}}} $;

б) $ \sqrt{5 - \sqrt{13 + \sqrt{48}}} $.

а) Рассмотрим выражение $\sqrt{3 - \sqrt{29 - 12\sqrt{5}}}$.
Сначала упростим внутренний радикал $\sqrt{29 - 12\sqrt{5}}$. Для этого представим подкоренное выражение $29 - 12\sqrt{5}$ в виде полного квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Мы ищем такие $a$ и $b$, что $a^2 + b^2 = 29$ и $2ab = 12\sqrt{5}$.
Из второго уравнения получаем $ab = 6\sqrt{5}$. Попробуем подобрать значения. Пусть $a=3$ и $b=2\sqrt{5}$.
Проверим первое уравнение: $a^2 + b^2 = 3^2 + (2\sqrt{5})^2 = 9 + 4 \cdot 5 = 9 + 20 = 29$.
Условия выполняются. Значит, $29 - 12\sqrt{5} = (3 - 2\sqrt{5})^2$ или $(2\sqrt{5} - 3)^2$.
Следовательно, $\sqrt{29 - 12\sqrt{5}} = \sqrt{(2\sqrt{5} - 3)^2} = |2\sqrt{5} - 3|$.
Сравним $2\sqrt{5}$ и $3$. $(2\sqrt{5})^2 = 20$, а $3^2 = 9$. Так как $20 > 9$, то $2\sqrt{5} > 3$. Поэтому $|2\sqrt{5} - 3| = 2\sqrt{5} - 3$.
Подставим результат в исходное выражение:
$\sqrt{3 - (2\sqrt{5} - 3)} = \sqrt{3 - 2\sqrt{5} + 3} = \sqrt{6 - 2\sqrt{5}}$.
Теперь упростим $\sqrt{6 - 2\sqrt{5}}$. Снова ищем полный квадрат $(a-b)^2$.
$a^2 + b^2 = 6$ и $2ab = 2\sqrt{5}$, откуда $ab = \sqrt{5}$.
Очевидные значения: $a=\sqrt{5}$ и $b=1$.
Проверка: $a^2 + b^2 = (\sqrt{5})^2 + 1^2 = 5 + 1 = 6$.
Значит, $6 - 2\sqrt{5} = (\sqrt{5} - 1)^2$.
Следовательно, $\sqrt{6 - 2\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5} - 1)^2} = |\sqrt{5} - 1|$.
Так как $\sqrt{5} \approx 2.236$, то $\sqrt{5} > 1$, и $|\sqrt{5} - 1| = \sqrt{5} - 1$.
Теперь вычислим значение с точностью до 0,1:
$\sqrt{5} - 1 \approx 2.236 - 1 = 1.236$.
Округляя до десятых, получаем $1.2$.
Ответ: $\sqrt{5} - 1 \approx 1.2$

б) Рассмотрим выражение $\sqrt{5 - \sqrt{13 + \sqrt{48}}}$.
Сначала упростим самый внутренний радикал: $\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$.
Подставим это в выражение:
$\sqrt{5 - \sqrt{13 + 4\sqrt{3}}}$.
Теперь упростим радикал $\sqrt{13 + 4\sqrt{3}}$. Представим подкоренное выражение $13 + 4\sqrt{3}$ в виде полного квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
$a^2 + b^2 = 13$ и $2ab = 4\sqrt{3}$, откуда $ab = 2\sqrt{3}$.
Попробуем подобрать значения. Пусть $a=2\sqrt{3}$ и $b=1$.
Проверим: $a^2 + b^2 = (2\sqrt{3})^2 + 1^2 = 4 \cdot 3 + 1 = 12 + 1 = 13$.
Условия выполняются. Значит, $13 + 4\sqrt{3} = (2\sqrt{3} + 1)^2$.
Следовательно, $\sqrt{13 + 4\sqrt{3}} = \sqrt{(2\sqrt{3} + 1)^2} = |2\sqrt{3} + 1| = 2\sqrt{3} + 1$, так как оба слагаемых положительны.
Подставим результат в наше выражение:
$\sqrt{5 - (2\sqrt{3} + 1)} = \sqrt{5 - 2\sqrt{3} - 1} = \sqrt{4 - 2\sqrt{3}}$.
Упростим $\sqrt{4 - 2\sqrt{3}}$, представив $4 - 2\sqrt{3}$ в виде $(a-b)^2$.
$a^2 + b^2 = 4$ и $2ab = 2\sqrt{3}$, откуда $ab = \sqrt{3}$.
Очевидные значения: $a=\sqrt{3}$ и $b=1$.
Проверка: $a^2 + b^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$.
Значит, $4 - 2\sqrt{3} = (\sqrt{3} - 1)^2$.
Следовательно, $\sqrt{4 - 2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3} - 1)^2} = |\sqrt{3} - 1|$.
Так как $\sqrt{3} \approx 1.732$, то $\sqrt{3} > 1$, и $|\sqrt{3} - 1| = \sqrt{3} - 1$.
Теперь вычислим значение с точностью до 0,1:
$\sqrt{3} - 1 \approx 1.732 - 1 = 0.732$.
Округляя до десятых, получаем $0.7$.
Ответ: $\sqrt{3} - 1 \approx 0.7$

Представьте в виде степени числа 10:

39.1 а) 100;

б) 10 000;

в) 1000;

г) 10 000 000.

а) Чтобы представить число в виде степени с основанием 10, нужно определить, в какую степень нужно возвести 10, чтобы получить данное число. Показатель степени для числа, состоящего из единицы и последующих нулей, равен количеству этих нулей.
В числе 100 два нуля после единицы. Следовательно, 100 можно представить как 10 во второй степени.
$100 = 10 \cdot 10 = 10^2$
Ответ: $10^2$.

б) В числе 10 000 четыре нуля после единицы. Это означает, что для получения 10 000 необходимо умножить 10 само на себя четыре раза.
$10\;000 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^4$
Ответ: $10^4$.

в) В числе 1000 три нуля после единицы. Следовательно, 1000 можно представить как 10 в третьей степени.
$1000 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^3$
Ответ: $10^3$.

г) В числе 10 000 000 семь нулей после единицы. Таким образом, 10 000 000 можно представить как 10 в седьмой степени.
$10\;000\;000 = 10^7$
Ответ: $10^7$.

39.2 а) $0.001$

б) $0.1$

в) $0.00001$

г) $0.0001$

а) Чтобы представить десятичную дробь 0,001 в виде степени с основанием 10, запишем ее в виде обыкновенной дроби. Число 0,001 читается как "одна тысячная".

В виде обыкновенной дроби это $ \frac{1}{1000} $.

Знаменатель 1000 можно представить как степень числа 10: $ 1000 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^3 $.

Тогда наша дробь примет вид $ \frac{1}{10^3} $.

Используя свойство степени с отрицательным показателем $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $, получаем:

$ 0,001 = \frac{1}{1000} = \frac{1}{10^3} = 10^{-3} $.

Другой способ — посчитать количество знаков после запятой. В числе 0,001 три знака после запятой, поэтому показатель степени будет -3.

Ответ: $10^{-3}$.

б) Представим десятичную дробь 0,1 в виде степени с основанием 10. Число 0,1 читается как "одна десятая".

В виде обыкновенной дроби это $ \frac{1}{10} $.

Так как $ 10 = 10^1 $, то дробь можно записать как $ \frac{1}{10^1} $.

По свойству степени с отрицательным показателем $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $, имеем:

$ 0,1 = \frac{1}{10} = \frac{1}{10^1} = 10^{-1} $.

В числе 0,1 один знак после запятой, поэтому показатель степени равен -1.

Ответ: $10^{-1}$.

в) Чтобы представить десятичную дробь 0,00001 в виде степени с основанием 10, посчитаем количество цифр после запятой. В числе 0,00001 их пять.

Это означает, что число можно записать в виде обыкновенной дроби $ \frac{1}{100000} $.

Знаменатель 100000 — это 1 с пятью нулями, то есть $ 10^5 $.

Следовательно, $ \frac{1}{100000} = \frac{1}{10^5} $.

Применяя свойство степени с отрицательным показателем $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $, получаем:

$ 0,00001 = \frac{1}{100000} = \frac{1}{10^5} = 10^{-5} $.

Показатель степени -5 соответствует пяти знакам после запятой в исходном числе.

Ответ: $10^{-5}$.

г) Представим десятичную дробь 0,0001 в виде степени с основанием 10. В этом числе четыре цифры после запятой.

Запишем число в виде обыкновенной дроби: $ 0,0001 = \frac{1}{10000} $.

Знаменатель 10000 можно представить как степень числа 10: $ 10000 = 10^4 $.

Таким образом, наша дробь равна $ \frac{1}{10^4} $.

Используя свойство $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $, получаем итоговое выражение:

$ 0,0001 = \frac{1}{10000} = \frac{1}{10^4} = 10^{-4} $.

Показатель степени -4 соответствует четырем знакам после запятой в исходном числе.

Ответ: $10^{-4}$.

Запишите число в стандартном виде и укажите порядок числа:

39.3 а) 2300;

б) 75 000;

в) 12;

г) 620 000.

Стандартный вид числа — это его запись в виде $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$, а $n$ — целое число. Число $n$ называется порядком числа.

а) 2300
Чтобы представить число 2300 в стандартном виде, нужно сделать первый множитель ($a$) числом от 1 до 10. Для этого мысленно ставим запятую после первой значащей цифры, то есть получаем 2,3. Чтобы из 2,3 получить исходное число 2300, нужно перенести запятую на 3 знака вправо, что равносильно умножению на 1000 или $10^3$.
Таким образом, $2300 = 2,3 \cdot 10^3$.
В этой записи $a = 2,3$, а порядок числа $n = 3$.
Ответ: Стандартный вид: $2,3 \cdot 10^3$, порядок числа: 3.

б) 75 000
Чтобы представить число 75 000 в стандартном виде, сделаем первый множитель равным 7,5. Для этого мы перенесли запятую на 4 знака влево. Следовательно, чтобы сохранить равенство, нужно умножить 7,5 на $10^4$.
Таким образом, $75\;000 = 7,5 \cdot 10^4$.
В этой записи $a = 7,5$, а порядок числа $n = 4$.
Ответ: Стандартный вид: $7,5 \cdot 10^4$, порядок числа: 4.

в) 12
Чтобы представить число 12 в стандартном виде, сделаем первый множитель равным 1,2. Для этого мы перенесли запятую на 1 знак влево. Следовательно, нужно умножить 1,2 на $10^1$.
Таким образом, $12 = 1,2 \cdot 10^1$.
В этой записи $a = 1,2$, а порядок числа $n = 1$.
Ответ: Стандартный вид: $1,2 \cdot 10^1$, порядок числа: 1.

г) 620 000
Чтобы представить число 620 000 в стандартном виде, сделаем первый множитель равным 6,2. Для этого мы перенесли запятую на 5 знаков влево. Следовательно, нужно умножить 6,2 на $10^5$.
Таким образом, $620\;000 = 6,2 \cdot 10^5$.
В этой записи $a = 6,2$, а порядок числа $n = 5$.
Ответ: Стандартный вид: $6,2 \cdot 10^5$, порядок числа: 5.

39.4 а) $0,0035$;

б) $0,00007$;

в) $0,00024$;

г) $0,91$.

а)

Чтобы представить десятичную дробь в стандартном виде, ее нужно записать в виде произведения $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$, а $n$ — целое число.
Для числа 0,0035 необходимо перенести запятую вправо так, чтобы получить число в промежутке от 1 до 10.
Перенесем запятую на 3 знака вправо: $0,0035 \rightarrow 3,5$.
Полученное число $a = 3,5$ удовлетворяет условию $1 \le 3,5 < 10$.
Так как мы перенесли запятую на 3 знака вправо, что эквивалентно умножению на $10^3$, то для сохранения исходного значения число нужно умножить на $10^{-3}$. Таким образом, показатель степени $n = -3$.
Следовательно, число 0,0035 в стандартном виде будет $3,5 \cdot 10^{-3}$.

Ответ: $3,5 \cdot 10^{-3}$

б)

Представим число 0,00007 в стандартном виде $a \cdot 10^n$.
Перенесем запятую вправо, чтобы получить число $a$, такое что $1 \le a < 10$.
Перемещаем запятую на 5 знаков вправо: $0,00007 \rightarrow 7$.
Полученное число $a = 7$ удовлетворяет условию $1 \le 7 < 10$.
Поскольку запятая была перенесена на 5 знаков вправо, показатель степени $n$ будет равен -5.
Таким образом, стандартный вид числа 0,00007 — это $7 \cdot 10^{-5}$.

Ответ: $7 \cdot 10^{-5}$

в)

Представим число 0,00024 в стандартном виде $a \cdot 10^n$.
Для этого переместим запятую вправо до тех пор, пока не получим число в диапазоне от 1 до 10.
Переместим запятую на 4 знака вправо: $0,00024 \rightarrow 2,4$.
Полученное число $a = 2,4$ удовлетворяет условию $1 \le 2,4 < 10$.
Так как запятая сместилась на 4 позиции вправо, показатель степени $n$ будет равен -4.
В результате получаем: $0,00024 = 2,4 \cdot 10^{-4}$.

Ответ: $2,4 \cdot 10^{-4}$

г)

Представим число 0,91 в стандартном виде $a \cdot 10^n$.
Перенесем запятую на 1 знак вправо, чтобы получить число в требуемом диапазоне: $0,91 \rightarrow 9,1$.
Полученное число $a = 9,1$ удовлетворяет условию $1 \le 9,1 < 10$.
Поскольку запятая была перенесена на 1 знак вправо, показатель степени $n$ будет равен -1.
Следовательно, стандартный вид числа 0,91 равен $9,1 \cdot 10^{-1}$.

Ответ: $9,1 \cdot 10^{-1}$

39.5 а) $350 \cdot 10^2$;

б) $0,67 \cdot 10^3$;

в) $85 \cdot 10^4$;

г) $0,015 \cdot 10^2$.

а) Для вычисления значения выражения $350 \cdot 10^2$ нужно умножить число 350 на $10^2$.

Сначала найдем значение $10^2$. Вторая степень числа означает, что его нужно умножить само на себя: $10^2 = 10 \cdot 10 = 100$.

Теперь выполним умножение: $350 \cdot 100$. Чтобы умножить целое число на 100, достаточно приписать к нему два нуля справа. Получаем $35000$.

Другой способ — это сдвиг десятичной запятой. Умножение на $10^2$ сдвигает запятую на 2 знака вправо. В числе 350 запятая находится после последней цифры ($350,0$). Сдвинув ее на два знака вправо, получим $35000$.

Ответ: $35000$.

б) Для вычисления значения выражения $0,67 \cdot 10^3$ нужно умножить десятичную дробь 0,67 на $10^3$.

Сначала найдем значение $10^3$: $10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$.

Теперь умножим $0,67$ на $1000$. Умножение десятичной дроби на $10^3$ (или 1000) эквивалентно переносу десятичной запятой на 3 знака вправо.

В числе $0,67$ переносим запятую на 3 знака вправо. Первые два сдвига "проходят" через цифры 6 и 7, а для третьего сдвига дописываем ноль: $0,67 \to 6,7 \to 67 \to 670$.

Таким образом, $0,67 \cdot 10^3 = 670$.

Ответ: $670$.

в) Для вычисления значения выражения $85 \cdot 10^4$ нужно умножить число 85 на $10^4$.

Сначала найдем значение $10^4$: $10^4 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10000$.

Теперь выполним умножение: $85 \cdot 10000$. Чтобы умножить целое число на 10000, достаточно приписать к нему четыре нуля справа.

Получаем: $85 \cdot 10000 = 850000$.

Это также соответствует сдвигу десятичной запятой (которая в числе 85 находится после 5) на 4 знака вправо: $85,0 \to 850000$.

Ответ: $850000$.

г) Для вычисления значения выражения $0,015 \cdot 10^2$ нужно умножить десятичную дробь 0,015 на $10^2$.

Сначала найдем значение $10^2$: $10^2 = 10 \cdot 10 = 100$.

Теперь умножим $0,015$ на $100$. Умножение десятичной дроби на $10^2$ (или 100) эквивалентно переносу десятичной запятой на 2 знака вправо.

В числе $0,015$ переносим запятую на 2 знака вправо: $0,015 \to 0,15 \to 1,5$.

Таким образом, $0,015 \cdot 10^2 = 1,5$.

Ответ: $1,5$.

39.6 а) $0,73 \cdot 10^5;$

б) $512 \cdot 10^3;$

в) $0,43 \cdot 10^4;$

г) $3900 \cdot 10^4.$

а) Чтобы найти значение выражения $0,73 \cdot 10^5$, необходимо умножить десятичную дробь $0,73$ на $10^5$.

Число $10^5$ равно $1$ с пятью нулями, то есть $100\;000$.

Следовательно, нам нужно вычислить $0,73 \cdot 100\;000$.

При умножении десятичной дроби на $10^n$, мы перемещаем запятую вправо на $n$ позиций. В данном случае $n=5$.

Переместим запятую в числе $0,73$ на 5 знаков вправо, добавляя нули по мере необходимости: $0,73 \rightarrow 7,3 \rightarrow 73 \rightarrow 730 \rightarrow 7300 \rightarrow 73000$.

Таким образом, $0,73 \cdot 10^5 = 73\;000$.

Ответ: $73\;000$.

б) Чтобы найти значение выражения $512 \cdot 10^3$, необходимо умножить целое число $512$ на $10^3$.

Число $10^3$ равно $1$ с тремя нулями, то есть $1000$.

Следовательно, нам нужно вычислить $512 \cdot 1000$.

При умножении целого числа на $10^n$, мы приписываем к этому числу $n$ нулей справа. В данном случае $n=3$.

Приписав три нуля к числу $512$, мы получаем $512\;000$.

Таким образом, $512 \cdot 10^3 = 512\;000$.

Ответ: $512\;000$.

в) Чтобы найти значение выражения $0,43 \cdot 10^4$, необходимо умножить десятичную дробь $0,43$ на $10^4$.

Число $10^4$ равно $1$ с четырьмя нулями, то есть $10\;000$.

Следовательно, нам нужно вычислить $0,43 \cdot 10\;000$.

При умножении десятичной дроби на $10^n$, мы перемещаем запятую вправо на $n$ позиций. В данном случае $n=4$.

Переместим запятую в числе $0,43$ на 4 знака вправо, добавляя нули по мере необходимости: $0,43 \rightarrow 4,3 \rightarrow 43 \rightarrow 430 \rightarrow 4300$.

Таким образом, $0,43 \cdot 10^4 = 4300$.

Ответ: $4300$.

г) Чтобы найти значение выражения $3900 \cdot 10^4$, необходимо умножить целое число $3900$ на $10^4$.

Число $10^4$ равно $1$ с четырьмя нулями, то есть $10\;000$.

Следовательно, нам нужно вычислить $3900 \cdot 10\;000$.

При умножении целого числа на $10^n$, мы приписываем к этому числу $n$ нулей справа. В данном случае $n=4$.

Приписав четыре нуля к числу $3900$, мы получаем $39\;000\;000$.

Таким образом, $3900 \cdot 10^4 = 39\;000\;000$.

Ответ: $39\;000\;000$.

Выполните действия (ответ запишите в стандартном виде):

39.7 a) $(0,2 \cdot 10^5) \cdot (1,4 \cdot 10^{-2});$

б) $(2,4 \cdot 10^3) \cdot (0,5 \cdot 10^{-3});$

в) $(3,7 \cdot 10^{-1}) \cdot (7 \cdot 10^8);$

г) $(5,2 \cdot 10^{14}) \cdot (3 \cdot 10^{-5}).$

а) Чтобы выполнить умножение $(0,2 \cdot 10^5) \cdot (1,4 \cdot 10^{-2})$, сгруппируем множители, используя переместительное и сочетательное свойства умножения: $(0,2 \cdot 1,4) \cdot (10^5 \cdot 10^{-2})$.

Сначала вычислим произведение десятичных частей: $0,2 \cdot 1,4 = 0,28$.

Затем вычислим произведение степеней десяти, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $10^5 \cdot 10^{-2} = 10^{5+(-2)} = 10^3$.

Объединим результаты: $0,28 \cdot 10^3$.

Теперь приведем полученное число к стандартному виду. Стандартный вид числа — это запись вида $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$. В нашем случае $a=0,28$, что меньше 1. Представим $0,28$ как $2,8 \cdot 10^{-1}$.

Подставим это в наше выражение и упростим: $(2,8 \cdot 10^{-1}) \cdot 10^3 = 2,8 \cdot 10^{-1+3} = 2,8 \cdot 10^2$.

Ответ: $2,8 \cdot 10^2$.

б) Чтобы выполнить умножение $(2,4 \cdot 10^3) \cdot (0,5 \cdot 10^{-3})$, сгруппируем множители: $(2,4 \cdot 0,5) \cdot (10^3 \cdot 10^{-3})$.

Вычислим произведение десятичных частей: $2,4 \cdot 0,5 = 1,2$.

Вычислим произведение степеней десяти: $10^3 \cdot 10^{-3} = 10^{3+(-3)} = 10^0$.

Объединим результаты: $1,2 \cdot 10^0$.

Мантисса $a=1,2$ удовлетворяет условию $1 \le 1,2 < 10$, поэтому полученное число уже записано в стандартном виде.

Ответ: $1,2 \cdot 10^0$.

в) Чтобы выполнить умножение $(3,7 \cdot 10^{-1}) \cdot (7 \cdot 10^8)$, сгруппируем множители: $(3,7 \cdot 7) \cdot (10^{-1} \cdot 10^8)$.

Вычислим произведение числовых множителей: $3,7 \cdot 7 = 25,9$.

Вычислим произведение степеней десяти: $10^{-1} \cdot 10^8 = 10^{-1+8} = 10^7$.

Объединим результаты: $25,9 \cdot 10^7$.

Приведем число к стандартному виду. Так как $25,9 \ge 10$, представим его как $2,59 \cdot 10^1$.

Подставим это в наше выражение и упростим: $(2,59 \cdot 10^1) \cdot 10^7 = 2,59 \cdot 10^{1+7} = 2,59 \cdot 10^8$.

Ответ: $2,59 \cdot 10^8$.

г) Чтобы выполнить умножение $(5,2 \cdot 10^{14}) \cdot (3 \cdot 10^{-5})$, сгруппируем множители: $(5,2 \cdot 3) \cdot (10^{14} \cdot 10^{-5})$.

Вычислим произведение числовых множителей: $5,2 \cdot 3 = 15,6$.

Вычислим произведение степеней десяти: $10^{14} \cdot 10^{-5} = 10^{14+(-5)} = 10^9$.

Объединим результаты: $15,6 \cdot 10^9$.

Приведем число к стандартному виду. Так как $15,6 \ge 10$, представим его как $1,56 \cdot 10^1$.

Подставим это в наше выражение и упростим: $(1,56 \cdot 10^1) \cdot 10^9 = 1,56 \cdot 10^{1+9} = 1,56 \cdot 10^{10}$.

Ответ: $1,56 \cdot 10^{10}$.