Страница 207, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

37.21 a) Сколько целочисленных решений имеет неравенство $x^2 - 5x - 6 < 0$?

б) Сколько целочисленных решений имеет неравенство $x^2 - 6x \le 7$?

а)

Чтобы найти количество целочисленных решений неравенства $x^2 - 5x - 6 < 0$, нам необходимо сначала решить это неравенство.

Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения: $x^2 - 5x - 6 = 0$.

Воспользуемся теоремой Виета:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = 5$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -6$

Подбором находим корни: $x_1 = 6$ и $x_2 = -1$.

Графиком функции $y = x^2 - 5x - 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен. Неравенство $x^2 - 5x - 6 < 0$ выполняется на интервале между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-1; 6)$.

Теперь найдем все целочисленные решения, которые принадлежат этому интервалу. Это числа: 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Подсчитаем их количество: всего 6 целых чисел.

Ответ: 6.

б)

Чтобы найти количество целочисленных решений неравенства $x^2 - 6x \le 7$, сначала преобразуем его к стандартному виду:

$x^2 - 6x - 7 \le 0$

Далее найдем корни соответствующего квадратного уравнения: $x^2 - 6x - 7 = 0$.

Воспользуемся формулой для корней квадратного уравнения $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$.

Дискриминант: $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64 = 8^2$.

Находим корни:

$x_1 = \frac{6 - 8}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$x_2 = \frac{6 + 8}{2} = \frac{14}{2} = 7$

Графиком функции $y = x^2 - 6x - 7$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Неравенство $x^2 - 6x - 7 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни.

Следовательно, решение неравенства: $x \in [-1; 7]$.

Теперь найдем все целочисленные решения, которые принадлежат этому отрезку. Это числа: -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Их количество можно посчитать: $7 - (-1) + 1 = 8 + 1 = 9$.

Ответ: 9.

37.22 a) Найдите наименьшее целочисленное решение неравенства $x^2 + 7x \le 30$.

б) Найдите наибольшее целочисленное решение неравенства $3x - x^2 > -40$.

а) Чтобы найти наименьшее целочисленное решение неравенства $x^2 + 7x \le 30$, сначала преобразуем его к стандартному виду, перенеся все члены в левую часть:

$x^2 + 7x - 30 \le 0$

Далее, найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 7x - 30 = 0$. Для этого воспользуемся формулой корней квадратного уравнения. Сначала вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169 = 13^2$

Теперь найдем корни:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - 13}{2} = \frac{-20}{2} = -10$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + 13}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Мы имеем дело с параболой $y = x^2 + 7x - 30$, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен). Неравенство $y \le 0$ выполняется на промежутке между корнями, включая сами корни.

Следовательно, решением неравенства является отрезок $x \in [-10; 3]$.

Целочисленные решения, принадлежащие этому отрезку: -10, -9, -8, ..., 2, 3. Наименьшим целочисленным решением является -10.

Ответ: -10.

б) Чтобы найти наибольшее целочисленное решение неравенства $3x - x^2 > -40$, преобразуем его. Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартный вид квадратного неравенства. Удобнее, чтобы коэффициент при $x^2$ был положительным:

$0 > x^2 - 3x - 40$

или, что то же самое:

$x^2 - 3x - 40 < 0$

Теперь найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 3x - 40 = 0$. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 9 + 160 = 169 = 13^2$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 13}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 13}{2} = \frac{16}{2} = 8$

Графиком функции $y = x^2 - 3x - 40$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Неравенство $y < 0$ выполняется на интервале между корнями.

Следовательно, решением неравенства является интервал $x \in (-5; 8)$.

Целочисленные решения, принадлежащие этому интервалу: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Наибольшим целочисленным решением является 7.

Ответ: 7.

Установите, при каких значениях $x$ имеет смысл выражение:

37.23a) $\sqrt{x^2 - 8x + 7}$;

б) $\sqrt{-x^2 + 3x + 4}$;

в) $\sqrt{x^2 - 6x + 5}$;

г) $\sqrt{2 + x - x^2}$.

а) Выражение $\sqrt{x^2 - 8x + 7}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение (радиканд) неотрицательно, то есть больше или равно нулю. Это приводит к следующему неравенству:
$x^2 - 8x + 7 \ge 0$
Для решения этого квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 8x + 7 = 0$.
Мы можем использовать теорему Виета. Сумма корней $x_1 + x_2 = 8$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 7$. Легко подобрать корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 7$.
Графиком функции $y = x^2 - 8x + 7$ является парабола. Поскольку коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$), ветви параболы направлены вверх.
Неравенство $y \ge 0$ выполняется на тех участках, где парабола находится выше или на оси абсцисс. Это происходит левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.
Таким образом, решение неравенства: $x \le 1$ или $x \ge 7$.
В виде промежутка это записывается как $(-\infty; 1] \cup [7; \infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; 1] \cup [7; \infty)$.

б) Выражение $\sqrt{-x^2 + 3x + 4}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно:
$-x^2 + 3x + 4 \ge 0$
Чтобы упростить решение, умножим обе части неравенства на -1, не забыв изменить знак неравенства на противоположный:
$x^2 - 3x - 4 \le 0$
Найдем корни уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$.
По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 3$ и $x_1 \cdot x_2 = -4$. Корнями являются $x_1 = -1$ и $x_2 = 4$.
Графиком функции $y = x^2 - 3x - 4$ является парабола с ветвями, направленными вверх ($a=1 > 0$).
Неравенство $y \le 0$ выполняется на участке между корнями, включая сами корни.
Таким образом, решение неравенства: $-1 \le x \le 4$.
В виде промежутка это записывается как $[-1; 4]$.
Ответ: $x \in [-1; 4]$.

в) Выражение $\sqrt{x^2 - 6x + 5}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно:
$x^2 - 6x + 5 \ge 0$
Найдем корни уравнения $x^2 - 6x + 5 = 0$.
По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 6$ и $x_1 \cdot x_2 = 5$. Корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$.
Графиком функции $y = x^2 - 6x + 5$ является парабола с ветвями вверх ($a=1 > 0$).
Неравенство $y \ge 0$ выполняется вне интервала между корнями, включая сами корни.
Таким образом, решение неравенства: $x \le 1$ или $x \ge 5$.
В виде промежутка это записывается как $(-\infty; 1] \cup [5; \infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; 1] \cup [5; \infty)$.

г) Выражение $\sqrt{2 + x - x^2}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно:
$2 + x - x^2 \ge 0$
Перепишем неравенство в стандартном виде: $-x^2 + x + 2 \ge 0$.
Умножим неравенство на -1 и изменим знак на противоположный:
$x^2 - x - 2 \le 0$
Найдем корни уравнения $x^2 - x - 2 = 0$.
По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 1$ и $x_1 \cdot x_2 = -2$. Корнями являются $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$.
Графиком функции $y = x^2 - x - 2$ является парабола с ветвями вверх ($a=1 > 0$).
Неравенство $y \le 0$ выполняется на участке между корнями, включая сами корни.
Таким образом, решение неравенства: $-1 \le x \le 2$.
В виде промежутка это записывается как $[-1; 2]$.
Ответ: $x \in [-1; 2]$.

37.24 a) $\sqrt{9 - x^2}$;

б) $\frac{1}{\sqrt{16x^2 - 81}}$;

в) $\sqrt{9x^2 - 1}$;

г) $\frac{1}{\sqrt{4 - 25x^2}}$.

а)

Для того чтобы выражение $\sqrt{9 - x^2}$ имело смысл, необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, то есть большим или равным нулю.

Составим и решим неравенство:

$9 - x^2 \ge 0$

Разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов:

$(3 - x)(3 + x) \ge 0$

Это квадратичное неравенство. Нули функции $y = 9 - x^2$ находятся в точках $x = -3$ и $x = 3$. График этой функции — парабола, ветви которой направлены вниз. Следовательно, неотрицательные значения функция принимает на отрезке между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $-3 \le x \le 3$.

Ответ: $x \in [-3; 3]$.

б)

В данном выражении $\frac{1}{\sqrt{16x^2 - 81}}$ корень находится в знаменателе дроби. Это накладывает два условия: во-первых, подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а во-вторых, знаменатель не должен быть равен нулю. Объединяя эти два условия, получаем, что подкоренное выражение должно быть строго положительным.

Составим и решим неравенство:

$16x^2 - 81 > 0$

Разложим левую часть на множители:

$(4x - 9)(4x + 9) > 0$

Нули функции $y = 16x^2 - 81$ находятся в точках $x = -\frac{9}{4}$ и $x = \frac{9}{4}$. График этой функции — парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, положительные значения функция принимает на интервалах вне корней.

Таким образом, решение неравенства: $x < -\frac{9}{4}$ или $x > \frac{9}{4}$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2,25) \cup (2,25; +\infty)$.

в)

Для того чтобы выражение $\sqrt{9x^2 - 1}$ имело смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

Составим и решим неравенство:

$9x^2 - 1 \ge 0$

Разложим левую часть на множители:

$(3x - 1)(3x + 1) \ge 0$

Нули функции $y = 9x^2 - 1$ находятся в точках $x = -\frac{1}{3}$ и $x = \frac{1}{3}$. График этой функции — парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, неотрицательные значения функция принимает на промежутках вне корней, включая сами корни.

Таким образом, решение неравенства: $x \le -\frac{1}{3}$ или $x \ge \frac{1}{3}$.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{1}{3}] \cup [\frac{1}{3}; +\infty)$.

г)

В выражении $\frac{1}{\sqrt{4 - 25x^2}}$ корень находится в знаменателе, следовательно, подкоренное выражение должно быть строго положительным.

Составим и решим неравенство:

$4 - 25x^2 > 0$

Разложим левую часть на множители:

$(2 - 5x)(2 + 5x) > 0$

Нули функции $y = 4 - 25x^2$ находятся в точках $x = -\frac{2}{5}$ и $x = \frac{2}{5}$. График этой функции — парабола, ветви которой направлены вниз. Следовательно, положительные значения функция принимает на интервале между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $-\frac{2}{5} < x < \frac{2}{5}$.

Ответ: $x \in (-0,4; 0,4)$.

37.25 a) $\sqrt{2x - x^2}$;

б) $(\sqrt{6x^2 - 2x})^{-1}$;

в) $\sqrt{5x - x^2}$;

г) $(\sqrt{3x^2 - 12x})^{-1}$.

a) Чтобы найти область определения выражения $ \sqrt{2x - x^2} $, необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. Составим и решим неравенство:
$ 2x - x^2 \ge 0 $
Умножим обе части на $-1$ и сменим знак неравенства:
$ x^2 - 2x \le 0 $
Вынесем $x$ за скобки:
$ x(x - 2) \le 0 $
Решим это неравенство методом интервалов. Корни соответствующего уравнения $ x(x - 2) = 0 $ равны $ x_1 = 0 $ и $ x_2 = 2 $. Эти точки делят числовую ось на три интервала. Так как это парабола с ветвями вверх ($ a=1>0 $), и мы ищем, где она меньше или равна нулю, то решением будет промежуток между корнями, включая сами корни.
Таким образом, решением неравенства является промежуток $ [0; 2] $.
Ответ: $ [0; 2] $.

б) Выражение $ (\sqrt{6x^2 - 2x})^{-1} $ можно представить в виде дроби $ \frac{1}{\sqrt{6x^2 - 2x}} $.
Область определения этого выражения задается условием, что подкоренное выражение должно быть строго больше нуля (поскольку оно находится в знаменателе и под корнем). Составим и решим неравенство:
$ 6x^2 - 2x > 0 $
Вынесем $2x$ за скобки:
$ 2x(3x - 1) > 0 $
Решим неравенство методом интервалов. Корни уравнения $ 2x(3x - 1) = 0 $ равны $ x_1 = 0 $ и $ x_2 = \frac{1}{3} $. Это парабола с ветвями вверх ($ a=6>0 $), и мы ищем, где она больше нуля, поэтому решением будут промежутки вне корней.
Таким образом, решение неравенства: $ x < 0 $ или $ x > \frac{1}{3} $.
Ответ: $ (-\infty; 0) \cup (\frac{1}{3}; +\infty) $.

в) Чтобы найти область определения выражения $ \sqrt{5x - x^2} $, необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. Составим и решим неравенство:
$ 5x - x^2 \ge 0 $
Умножим обе части на $-1$ и сменим знак неравенства:
$ x^2 - 5x \le 0 $
Вынесем $x$ за скобки:
$ x(x - 5) \le 0 $
Корни соответствующего уравнения $ x(x - 5) = 0 $ равны $ x_1 = 0 $ и $ x_2 = 5 $. Это парабола с ветвями вверх ($ a=1>0 $), и мы ищем, где она меньше или равна нулю, поэтому решением будет промежуток между корнями, включая сами корни.
Таким образом, решением неравенства является промежуток $ [0; 5] $.
Ответ: $ [0; 5] $.

г) Выражение $ (\sqrt{3x^2 - 12x})^{-1} $ можно представить в виде дроби $ \frac{1}{\sqrt{3x^2 - 12x}} $.
Подкоренное выражение должно быть строго больше нуля, так как оно находится в знаменателе. Составим и решим неравенство:
$ 3x^2 - 12x > 0 $
Вынесем $3x$ за скобки:
$ 3x(x - 4) > 0 $
Решим неравенство методом интервалов. Корни уравнения $ 3x(x - 4) = 0 $ равны $ x_1 = 0 $ и $ x_2 = 4 $. Это парабола с ветвями вверх ($ a=3>0 $), и мы ищем, где она больше нуля, поэтому решением будут промежутки вне корней.
Таким образом, решение неравенства: $ x < 0 $ или $ x > 4 $.
Ответ: $ (-\infty; 0) \cup (4; +\infty) $.

37.26 а) $\sqrt{(x-3)(x+2)};$

б) $(\sqrt{(x-1)(2-x)})^{-1};$

в) $\sqrt{(x+5)(4-x)};$

г) $(\sqrt{(x-6)(2x+3)})^{-1}.$

а)

Для того чтобы функция $y = \sqrt{(x - 3)(x + 2)}$ была определена, выражение, находящееся под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным. Это приводит к следующему неравенству:

$(x - 3)(x + 2) \ge 0$

Для решения этого квадратичного неравенства используем метод интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $(x - 3)(x + 2) = 0$. Корнями являются $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.

Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty, -2]$, $[-2, 3]$ и $[3, \infty)$. Графиком функции $f(x) = (x - 3)(x + 2)$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен. Следовательно, функция принимает неотрицательные значения на интервалах, расположенных вне корней.

Таким образом, область определения функции: $x \in (-\infty, -2] \cup [3, \infty)$.

Ответ: $(-\infty, -2] \cup [3, \infty)$.

б)

Данная функция $y = (\sqrt{(x - 1)(2 - x)})^{-1}$ может быть переписана в виде дроби:

$y = \frac{1}{\sqrt{(x - 1)(2 - x)}}$

Для определения области определения этой функции необходимо выполнение двух условий:
1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $(x - 1)(2 - x) \ge 0$.
2. Знаменатель дроби не должен равняться нулю, что означает, что выражение под корнем должно быть строго больше нуля.

Объединяя эти условия, получаем строгое неравенство:

$(x - 1)(2 - x) > 0$

Найдем корни уравнения $(x - 1)(2 - x) = 0$. Корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$. Графиком функции $f(x) = (x - 1)(2 - x) = -x^2 + 3x - 2$ является парабола, ветви которой направлены вниз. Следовательно, функция принимает положительные значения на интервале между корнями.

Таким образом, область определения функции: $x \in (1, 2)$.

Ответ: $(1, 2)$.

в)

Для функции $y = \sqrt{(x + 5)(4 - x)}$ выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$(x + 5)(4 - x) \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни уравнения $(x + 5)(4 - x) = 0$. Корнями являются $x_1 = -5$ и $x_2 = 4$.

Графиком функции $f(x) = (x + 5)(4 - x) = -x^2 - x + 20$ является парабола, ветви которой направлены вниз. Это означает, что функция принимает неотрицательные значения на интервале между корнями, включая сами корни.

Таким образом, область определения функции: $x \in [-5, 4]$.

Ответ: $[-5, 4]$.

г)

Функцию $y = (\sqrt{(x - 6)(2x + 3)})^{-1}$ можно записать в виде:

$y = \frac{1}{\sqrt{(x - 6)(2x + 3)}}$

Поскольку квадратный корень находится в знаменателе, выражение под корнем должно быть строго положительным:

$(x - 6)(2x + 3) > 0$

Найдем корни уравнения $(x - 6)(2x + 3) = 0$. Корнями являются $x_1 = 6$ и $x_2 = -3/2 = -1.5$.

Графиком функции $f(x) = (x - 6)(2x + 3) = 2x^2 - 9x - 18$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, функция принимает положительные значения на интервалах вне корней.

Таким образом, область определения функции: $x \in (-\infty, -1.5) \cup (6, \infty)$.

Ответ: $(-\infty, -1.5) \cup (6, \infty)$.

37.27 a) $\sqrt{(x^2 - 5x + 6)^{-1}}$;

б) $\sqrt{(-2x^2 + 5x - 2)^{-1}}$;

в) $\sqrt{(x^2 - x - 12)^{-1}}$;

г) $\sqrt{(-3x^2 - 10x - 3)^{-1}}$.

Данные выражения представляют собой нахождение области определения функций. Общий вид функции: $y = \sqrt{(f(x))^{-1}}$.

Выражение $\sqrt{A}$ определено, когда $A \ge 0$.

Выражение $(f(x))^{-1}$ равно $\frac{1}{f(x)}$.

Следовательно, для того чтобы исходное выражение имело смысл, необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным: $\frac{1}{f(x)} \ge 0$.

Это неравенство, в свою очередь, равносильно строгому неравенству $f(x) > 0$, так как знаменатель не может быть равен нулю, а дробь положительна только тогда, когда числитель и знаменатель одного знака (числитель 1 - положительный).

Таким образом, для каждого пункта задача сводится к решению квадратного неравенства.

а) $\sqrt{(x^2 - 5x + 6)^{-1}}$

Решим неравенство $x^2 - 5x + 6 > 0$.

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$.

По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 5$

$x_1 \cdot x_2 = 6$

Корни уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$.

Парабола $y = x^2 - 5x + 6$ имеет ветви, направленные вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($1 > 0$). Следовательно, функция принимает положительные значения за пределами корней.

Решением неравенства является объединение интервалов: $(-\infty; 2) \cup (3; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 2) \cup (3; +\infty)$.

б) $\sqrt{(-2x^2 + 5x - 2)^{-1}}$

Решим неравенство $-2x^2 + 5x - 2 > 0$.

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:

$2x^2 - 5x + 2 < 0$.

Найдем корни уравнения $2x^2 - 5x + 2 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{5 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$

Парабола $y = 2x^2 - 5x + 2$ имеет ветви, направленные вверх. Следовательно, функция принимает отрицательные значения между корнями.

Решением неравенства является интервал: $(\frac{1}{2}; 2)$.

Ответ: $x \in (\frac{1}{2}; 2)$.

в) $\sqrt{(x^2 - x - 12)^{-1}}$

Решим неравенство $x^2 - x - 12 > 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - x - 12 = 0$.

По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 1$

$x_1 \cdot x_2 = -12$

Корни уравнения: $x_1 = -3$, $x_2 = 4$.

Парабола $y = x^2 - x - 12$ имеет ветви, направленные вверх ($1 > 0$). Следовательно, функция принимает положительные значения за пределами корней.

Решением неравенства является объединение интервалов: $(-\infty; -3) \cup (4; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (4; +\infty)$.

г) $\sqrt{(-3x^2 - 10x - 3)^{-1}}$

Решим неравенство $-3x^2 - 10x - 3 > 0$.

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:

$3x^2 + 10x + 3 < 0$.

Найдем корни уравнения $3x^2 + 10x + 3 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-10 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{-18}{6} = -3$

$x_2 = \frac{-10 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

Парабола $y = 3x^2 + 10x + 3$ имеет ветви, направленные вверх. Следовательно, функция принимает отрицательные значения между корнями.

Решением неравенства является интервал: $(-3; -\frac{1}{3})$.

Ответ: $x \in (-3; -\frac{1}{3})$.

Решите неравенство:

37.28 a) $5x^2 > 2x$;

б) $\frac{1}{2}x^2 > 12$;

в) $4x \le -x^2$;

г) $\frac{1}{3}x^2 > \frac{1}{9}$.

а) Исходное неравенство: $5x^2 > 2x$.

Для решения перенесем все члены в левую часть неравенства:

$5x^2 - 2x > 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(5x - 2) > 0$

Теперь решим это неравенство методом интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $x(5x - 2) = 0$.

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $5x - 2 = 0$, откуда $x_2 = \frac{2}{5}$.

Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; 0)$, $(0; \frac{2}{5})$ и $(\frac{2}{5}; +\infty)$.

Рассмотрим функцию $f(x) = x(5x - 2)$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($5 > 0$). Следовательно, функция принимает положительные значения вне интервала между корнями и отрицательные значения внутри этого интервала.

Нам нужно найти, где $f(x) > 0$. Это происходит на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(\frac{2}{5}; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (\frac{2}{5}; +\infty)$.

б) Исходное неравенство: $\frac{1}{2}x^2 > 12$.

Умножим обе части неравенства на 2, чтобы избавиться от дроби. Так как 2 — положительное число, знак неравенства не изменится:

$x^2 > 24$

Перенесем 24 в левую часть:

$x^2 - 24 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 24 = 0$:

$x^2 = 24$, откуда $x = \pm\sqrt{24}$. Упростим корень: $\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$.

Корни: $x_1 = -2\sqrt{6}$ и $x_2 = 2\sqrt{6}$.

Функция $f(x) = x^2 - 24$ — это парабола с ветвями вверх. Она положительна вне интервала между корнями.

Следовательно, решение неравенства — это объединение двух интервалов: $(-\infty; -2\sqrt{6})$ и $(2\sqrt{6}; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2\sqrt{6}) \cup (2\sqrt{6}; +\infty)$.

в) Исходное неравенство: $4x \le -x^2$.

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 + 4x \le 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x + 4) \le 0$

Найдем корни уравнения $x(x + 4) = 0$:

$x_1 = 0$ и $x+4 = 0$, откуда $x_2 = -4$.

Рассмотрим функцию $f(x) = x^2 + 4x$. Это парабола с ветвями вверх. Она принимает неположительные значения (меньше или равно нулю) на отрезке между корнями, включая сами корни.

Корни в порядке возрастания: -4 и 0. Следовательно, решение неравенства — это отрезок $[-4; 0]$.

Ответ: $x \in [-4; 0]$.

г) Исходное неравенство: $\frac{1}{3}x^2 > \frac{1}{9}$.

Умножим обе части неравенства на 9, чтобы избавиться от знаменателей. Знак неравенства не меняется:

$9 \cdot \frac{1}{3}x^2 > 9 \cdot \frac{1}{9}$

$3x^2 > 1$

Перенесем 1 в левую часть:

$3x^2 - 1 > 0$

Найдем корни уравнения $3x^2 - 1 = 0$:

$3x^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{3} \implies x = \pm\sqrt{\frac{1}{3}} = \pm\frac{1}{\sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Корни: $x_1 = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ и $x_2 = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Функция $f(x) = 3x^2 - 1$ — это парабола с ветвями вверх. Она положительна на интервалах вне корней.

Следовательно, решение неравенства: $x \in (-\infty; -\frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{3}; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{3}; +\infty)$.