Страница 203, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

36.22 a) $\frac{3x+2}{5} < 0;$

б) $-\frac{3x-4}{3} \ge 0;$

в) $\frac{5x-7}{4} > 0;$

г) $\frac{1+2x}{-2} \le 0.$

а) Дано неравенство $\frac{3x + 2}{5} < 0$.

Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части неравенства на 5. Так как 5 — положительное число, знак неравенства сохраняется.

$(3x + 2) \cdot \frac{1}{5} \cdot 5 < 0 \cdot 5$

$3x + 2 < 0$

Перенесем 2 в правую часть, изменив знак:

$3x < -2$

Разделим обе части на 3. Так как 3 — положительное число, знак неравенства снова сохраняется:

$x < -\frac{2}{3}$

Это решение можно записать в виде интервала $(-\infty; -\frac{2}{3})$.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{2}{3})$.

б) Дано неравенство $-\frac{3x - 4}{3} \ge 0$.

Сначала умножим обе части на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (с $\ge$ на $\le$).

$\frac{3x - 4}{3} \le 0 \cdot (-1)$

$\frac{3x - 4}{3} \le 0$

Теперь умножим обе части на 3. Знак неравенства не меняется, так как 3 > 0.

$3x - 4 \le 0$

Перенесем -4 в правую часть:

$3x \le 4$

Разделим обе части на 3:

$x \le \frac{4}{3}$

Решение в виде интервала: $(-\infty; \frac{4}{3}]$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{4}{3}]$.

в) Дано неравенство $\frac{5x - 7}{4} > 0$.

Умножим обе части неравенства на 4. Так как 4 — положительное число, знак неравенства не меняется.

$5x - 7 > 0 \cdot 4$

$5x - 7 > 0$

Перенесем -7 в правую часть:

$5x > 7$

Разделим обе части на 5:

$x > \frac{7}{5}$

Это можно записать как $x > 1.4$. Решение в виде интервала: $(\frac{7}{5}; +\infty)$.

Ответ: $x \in (\frac{7}{5}; +\infty)$.

г) Дано неравенство $\frac{1 + 2x}{-2} \le 0$.

Умножим обе части неравенства на -2. При умножении на отрицательное число необходимо изменить знак неравенства на противоположный (с $\le$ на $\ge$).

$1 + 2x \ge 0 \cdot (-2)$

$1 + 2x \ge 0$

Перенесем 1 в правую часть:

$2x \ge -1$

Разделим обе части на 2. Знак неравенства не меняется.

$x \ge -\frac{1}{2}$

Это можно записать как $x \ge -0.5$. Решение в виде интервала: $[-\frac{1}{2}; +\infty)$.

Ответ: $x \in [-\frac{1}{2}; +\infty)$.

36.23 a) $ \frac{2x - 1}{3} \ge 1; $

б) $ \frac{12 - 9x}{7} \le 7; $

в) $ \frac{3x + 1}{4} \le 15; $

г) $ \frac{23 - 5x}{11} \le 1. $

а) Решим неравенство $\frac{2x - 1}{3} \ge 1$.

1. Умножим обе части неравенства на 3. Так как 3 — положительное число, знак неравенства не меняется:

$3 \cdot \frac{2x - 1}{3} \ge 1 \cdot 3$

$2x - 1 \ge 3$

2. Прибавим 1 к обеим частям неравенства:

$2x - 1 + 1 \ge 3 + 1$

$2x \ge 4$

3. Разделим обе части на 2. Так как 2 — положительное число, знак неравенства не меняется:

$\frac{2x}{2} \ge \frac{4}{2}$

$x \ge 2$

Решение можно записать в виде числового промежутка.

Ответ: $x \in [2; +\infty)$.

б) Решим неравенство $\frac{12 - 9x}{7} \le 7$.

1. Умножим обе части неравенства на 7. Знак неравенства сохраняется, так как 7 > 0:

$7 \cdot \frac{12 - 9x}{7} \le 7 \cdot 7$

$12 - 9x \le 49$

2. Вычтем 12 из обеих частей неравенства:

$12 - 9x - 12 \le 49 - 12$

$-9x \le 37$

3. Разделим обе части на -9. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (с $\le$ на $\ge$):

$\frac{-9x}{-9} \ge \frac{37}{-9}$

$x \ge -\frac{37}{9}$

Решение в виде числового промежутка.

Ответ: $x \in [-\frac{37}{9}; +\infty)$.

в) Решим неравенство $\frac{3x + 1}{4} \le 15$.

1. Умножим обе части неравенства на 4. Знак неравенства сохраняется, так как 4 > 0:

$4 \cdot \frac{3x + 1}{4} \le 15 \cdot 4$

$3x + 1 \le 60$

2. Вычтем 1 из обеих частей неравенства:

$3x + 1 - 1 \le 60 - 1$

$3x \le 59$

3. Разделим обе части на 3. Знак неравенства не меняется, так как 3 > 0:

$\frac{3x}{3} \le \frac{59}{3}$

$x \le \frac{59}{3}$

Решение в виде числового промежутка.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{59}{3}]$.

г) Решим неравенство $\frac{23 - 5x}{11} \le 1$.

1. Умножим обе части неравенства на 11. Знак неравенства не меняется, так как 11 > 0:

$11 \cdot \frac{23 - 5x}{11} \le 1 \cdot 11$

$23 - 5x \le 11$

2. Вычтем 23 из обеих частей неравенства:

$23 - 5x - 23 \le 11 - 23$

$-5x \le -12$

3. Разделим обе части на -5. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (с $\le$ на $\ge$):

$\frac{-5x}{-5} \ge \frac{-12}{-5}$

$x \ge \frac{12}{5}$

Дробь $\frac{12}{5}$ можно записать в виде десятичной дроби: $2.4$.

Ответ: $x \in [\frac{12}{5}; +\infty)$ или $x \in [2.4; +\infty)$.

36.24 а) $\frac{a}{2} + \frac{a}{3} > 7$;

б) $\frac{2c}{9} - c \geq 3$;

в) $\frac{b}{6} - \frac{b}{4} \leq 1$;

г) $\frac{3d}{4} - 2d < 0$.

а) Чтобы решить неравенство $\frac{a}{2} + \frac{a}{3} > 7$, избавимся от знаменателей. Для этого найдем наименьшее общее кратное чисел 2 и 3, которое равно 6. Умножим обе части неравенства на 6:

$6 \cdot (\frac{a}{2} + \frac{a}{3}) > 6 \cdot 7$

$6 \cdot \frac{a}{2} + 6 \cdot \frac{a}{3} > 42$

$3a + 2a > 42$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$5a > 42$

Разделим обе части на 5:

$a > \frac{42}{5}$

$a > 8.4$

Решением является интервал $(8.4; +\infty)$.

Ответ: $a > 8.4$

б) Решим неравенство $\frac{2c}{9} - c \ge 3$. Для удобства приведем все слагаемые к общему знаменателю 9:

$\frac{2c}{9} - \frac{9c}{9} \ge \frac{27}{9}$

Умножим обе части неравенства на 9, чтобы избавиться от знаменателя. Так как 9 > 0, знак неравенства не изменится:

$2c - 9c \ge 27$

Приведем подобные слагаемые:

$-7c \ge 27$

Разделим обе части на -7. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$c \le \frac{27}{-7}$

$c \le -\frac{27}{7}$

Решением является числовой промежуток $(-\infty; -\frac{27}{7}]$.

Ответ: $c \le -\frac{27}{7}$

в) Решим неравенство $\frac{b}{6} - \frac{b}{4} \le 1$. Найдем наименьший общий знаменатель для 6 и 4. Это число 12. Умножим обе части неравенства на 12:

$12 \cdot (\frac{b}{6} - \frac{b}{4}) \le 12 \cdot 1$

$12 \cdot \frac{b}{6} - 12 \cdot \frac{b}{4} \le 12$

$2b - 3b \le 12$

Приведем подобные слагаемые:

$-b \le 12$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$b \ge -12$

Решением является числовой промежуток $[-12; +\infty)$.

Ответ: $b \ge -12$

г) Решим неравенство $\frac{3d}{4} - 2d < 0$. Приведем левую часть к общему знаменателю 4:

$\frac{3d}{4} - \frac{8d}{4} < 0$

$\frac{3d - 8d}{4} < 0$

$\frac{-5d}{4} < 0$

Умножим обе части неравенства на 4. Знак неравенства не изменится:

$-5d < 0$

Разделим обе части на -5, изменив знак неравенства на противоположный:

$d > \frac{0}{-5}$

$d > 0$

Решением является интервал $(0; +\infty)$.

Ответ: $d > 0$

36.25 а) При каких значениях переменной произведение выражений $3x + 8$ и $x + 12$ больше утроенного квадрата второго множителя?

б) При каких значениях переменной произведение выражений $2x + 5$ и $8x - 15$ меньше квадрата выражения $4x - 3$?

а)

Чтобы найти значения переменной, при которых произведение выражений $3x + 8$ и $x + 12$ больше утроенного квадрата второго множителя, составим и решим неравенство:

$(3x + 8)(x + 12) > 3(x + 12)^2$

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$(3x + 8)(x + 12) - 3(x + 12)^2 > 0$

Вынесем общий множитель $(x + 12)$ за скобки:

$(x + 12) \cdot ((3x + 8) - 3(x + 12)) > 0$

Раскроем скобки внутри второй скобки и упростим выражение:

$(x + 12) \cdot (3x + 8 - 3x - 36) > 0$

$(x + 12) \cdot (-28) > 0$

Разделим обе части неравенства на $-28$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x + 12 < 0$

$x < -12$

Следовательно, произведение больше утроенного квадрата второго множителя при $x \in (-\infty; -12)$.

Ответ: $x < -12$

б)

Чтобы найти значения переменной, при которых произведение выражений $2x + 5$ и $8x - 15$ меньше квадрата выражения $4x - 3$, составим и решим неравенство:

$(2x + 5)(8x - 15) < (4x - 3)^2$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства. В правой части используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$2x \cdot 8x - 2x \cdot 15 + 5 \cdot 8x - 5 \cdot 15 < (4x)^2 - 2 \cdot 4x \cdot 3 + 3^2$

$16x^2 - 30x + 40x - 75 < 16x^2 - 24x + 9$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$16x^2 + 10x - 75 < 16x^2 - 24x + 9$

Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:

$16x^2 - 16x^2 + 10x + 24x < 9 + 75$

Упростим обе части:

$34x < 84$

Разделим обе части на 34:

$x < \frac{84}{34}$

Сократим дробь:

$x < \frac{42}{17}$

Следовательно, произведение меньше квадрата указанного выражения при $x \in (-\infty; \frac{42}{17})$.

Ответ: $x < \frac{42}{17}$

Решите неравенство:

36.26 a) $a(a - 2) - a^2 > 5 - 3a;$

б) $3x(3x - 1) - 9x^2 < 3x + 6;$

в) $5y^2 - 5y(y + 4) \ge 100;$

г) $7c(c - 2) - c(7c + 1) < 3.$

а) $a(a - 2) - a^2 > 5 - 3a$
Для решения этого линейного неравенства, сначала раскроем скобки в левой части:
$a \cdot a - a \cdot 2 - a^2 > 5 - 3a$
$a^2 - 2a - a^2 > 5 - 3a$
Теперь приведем подобные слагаемые в левой части неравенства:
$(a^2 - a^2) - 2a > 5 - 3a$
$-2a > 5 - 3a$
Перенесем все слагаемые с переменной $a$ в левую часть, а числовые слагаемые оставим в правой. При переносе слагаемого из одной части в другую его знак меняется на противоположный:
$-2a + 3a > 5$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$a > 5$
Решением неравенства является числовой промежуток от $5$ до $+\infty$, не включая $5$.
Ответ: $a \in (5; +\infty)$.

б) $3x(3x - 1) - 9x^2 < 3x + 6$
Раскроем скобки в левой части неравенства:
$3x \cdot 3x - 3x \cdot 1 - 9x^2 < 3x + 6$
$9x^2 - 3x - 9x^2 < 3x + 6$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$(9x^2 - 9x^2) - 3x < 3x + 6$
$-3x < 3x + 6$
Перенесем слагаемое $3x$ из правой части в левую с противоположным знаком:
$-3x - 3x < 6$
$-6x < 6$
Разделим обе части неравенства на $-6$. Так как мы делим на отрицательное число, знак неравенства нужно изменить на противоположный (с < на $>$):
$x > \frac{6}{-6}$
$x > -1$
Решением неравенства является числовой промежуток от $-1$ до $+\infty$, не включая $-1$.
Ответ: $x \in (-1; +\infty)$.

в) $5y^2 - 5y(y + 4) \ge 100$
Раскроем скобки в левой части неравенства:
$5y^2 - (5y \cdot y + 5y \cdot 4) \ge 100$
$5y^2 - 5y^2 - 20y \ge 100$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$(5y^2 - 5y^2) - 20y \ge 100$
$-20y \ge 100$
Разделим обе части неравенства на $-20$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (с $\ge$ на $\le$):
$y \le \frac{100}{-20}$
$y \le -5$
Решением неравенства является числовой промежуток от $-\infty$ до $-5$, включая $-5$.
Ответ: $y \in (-\infty; -5]$.

г) $7c(c - 2) - c(7c + 1) < 3$
Раскроем скобки в левой части неравенства:
$(7c^2 - 14c) - (7c^2 + c) < 3$
$7c^2 - 14c - 7c^2 - c < 3$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$(7c^2 - 7c^2) + (-14c - c) < 3$
$-15c < 3$
Разделим обе части неравенства на $-15$. Так как мы делим на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный (с < на $>$):
$c > \frac{3}{-15}$
Сократим дробь:
$c > -\frac{1}{5}$
Решением неравенства является числовой промежуток от $-\frac{1}{5}$ до $+\infty$, не включая $-\frac{1}{5}$.
Ответ: $c \in (-\frac{1}{5}; +\infty)$.

36.27 a) $0.2m^2 - 0.2(m - 6)(m + 6) > 3.6m;$

б) $(12n - 1)(3n + 1) < 1 + (6n + 2)^2;$

в) $(2p - 5)^2 - 0.5p < (2p - 1)(2p + 1) - 15;$

г) $(4q - 1)^2 > (2q + 3)(8q - 1).$

а)

Дано неравенство $0,2m^2 - 0,2(m - 6)(m + 6) > 3,6m$.

Для упрощения левой части воспользуемся формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ для выражения $(m-6)(m+6)$.

$(m-6)(m+6) = m^2 - 6^2 = m^2 - 36$.

Подставим результат в неравенство:

$0,2m^2 - 0,2(m^2 - 36) > 3,6m$

Теперь раскроем скобки:

$0,2m^2 - 0,2m^2 + 0,2 \cdot 36 > 3,6m$

Упростим левую часть. Члены $0,2m^2$ и $-0,2m^2$ взаимно уничтожаются.

$7,2 > 3,6m$

Чтобы найти $m$, разделим обе части неравенства на $3,6$. Поскольку $3,6$ — положительное число, знак неравенства не изменяется.

$\frac{7,2}{3,6} > m$

$2 > m$, или $m < 2$.

Ответ: $m \in (-\infty; 2)$.

б)

Дано неравенство $(12n - 1)(3n + 1) < 1 + (6n + 2)^2$.

Раскроем скобки в обеих частях. В левой части перемножим многочлены. В правой части используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

Левая часть: $(12n - 1)(3n + 1) = 36n^2 + 12n - 3n - 1 = 36n^2 + 9n - 1$.

Правая часть: $1 + (6n + 2)^2 = 1 + (36n^2 + 2 \cdot 6n \cdot 2 + 4) = 1 + 36n^2 + 24n + 4 = 36n^2 + 24n + 5$.

Неравенство принимает вид:

$36n^2 + 9n - 1 < 36n^2 + 24n + 5$

Члены $36n^2$ в обеих частях взаимно уничтожаются. Перенесем члены с $n$ в одну сторону, а константы — в другую.

$9n - 24n < 5 + 1$

$-15n < 6$

Разделим обе части на $-15$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

$n > \frac{6}{-15}$

Сократим дробь: $n > -\frac{2}{5}$, или $n > -0,4$.

Ответ: $n \in (-0,4; +\infty)$.

в)

Дано неравенство $(2p - 5)^2 - 0,5p < (2p - 1)(2p + 1) - 15$.

Раскроем скобки. В левой части применим формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$. В правой — формулу разности квадратов.

Левая часть: $(2p - 5)^2 - 0,5p = (4p^2 - 2 \cdot 2p \cdot 5 + 25) - 0,5p = 4p^2 - 20p + 25 - 0,5p = 4p^2 - 20,5p + 25$.

Правая часть: $(2p - 1)(2p + 1) - 15 = (4p^2 - 1) - 15 = 4p^2 - 16$.

Неравенство принимает вид:

$4p^2 - 20,5p + 25 < 4p^2 - 16$

Члены $4p^2$ в обеих частях взаимно уничтожаются. Перенесем константы в правую часть.

$-20,5p < -16 - 25$

$-20,5p < -41$

Разделим обе части на $-20,5$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

$p > \frac{-41}{-20,5}$

$p > 2$

Ответ: $p \in (2; +\infty)$.

г)

Дано неравенство $(4q - 1)^2 > (2q + 3)(8q - 1)$.

Раскроем скобки в обеих частях неравенства.

Левая часть: $(4q - 1)^2 = 16q^2 - 2 \cdot 4q \cdot 1 + 1^2 = 16q^2 - 8q + 1$.

Правая часть: $(2q + 3)(8q - 1) = 16q^2 - 2q + 24q - 3 = 16q^2 + 22q - 3$.

Неравенство принимает вид:

$16q^2 - 8q + 1 > 16q^2 + 22q - 3$

Члены $16q^2$ в обеих частях взаимно уничтожаются. Перенесем члены с $q$ в правую часть, а константы — в левую.

$1 + 3 > 22q + 8q$

$4 > 30q$

Разделим обе части на $30$. Знак неравенства не меняется.

$\frac{4}{30} > q$

Сократим дробь: $\frac{2}{15} > q$, или $q < \frac{2}{15}$.

Ответ: $q \in (-\infty; \frac{2}{15})$.

36.28 a) $\frac{2a - 1}{3} < \frac{5a - 2}{2}$;

б) $2c - \frac{c + 1}{2} \le \frac{c - 1}{3}$;

в) $\frac{2b - 1}{5} - \frac{3 - b}{3} < 2$;

г) $\frac{d - 1}{3} - d \ge \frac{d + 1}{2}$.

а) Решим неравенство $ \frac{2a - 1}{3} < \frac{5a - 2}{2} $.
1. Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 2, то есть на 6. Так как 6 > 0, знак неравенства не изменится.
$ 6 \cdot \frac{2a - 1}{3} < 6 \cdot \frac{5a - 2}{2} $
$ 2(2a - 1) < 3(5a - 2) $
2. Раскроем скобки в обеих частях неравенства.
$ 4a - 2 < 15a - 6 $
3. Перенесем слагаемые, содержащие переменную $a$, в правую часть, а свободные члены - в левую.
$ 6 - 2 < 15a - 4a $
$ 4 < 11a $
4. Разделим обе части на 11. Так как 11 > 0, знак неравенства не изменится.
$ \frac{4}{11} < a $ или $ a > \frac{4}{11} $.
Решением неравенства является интервал $ (\frac{4}{11}; +\infty) $.
Ответ: $ a > \frac{4}{11} $.

б) Решим неравенство $ 2c - \frac{c + 1}{2} \le \frac{c - 1}{3} $.
1. Приведем левую часть к общему знаменателю 2.
$ \frac{2c \cdot 2}{2} - \frac{c + 1}{2} \le \frac{c - 1}{3} $
$ \frac{4c - (c + 1)}{2} \le \frac{c - 1}{3} $
$ \frac{3c - 1}{2} \le \frac{c - 1}{3} $
2. Умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 2 и 3, то есть на 6.
$ 6 \cdot \frac{3c - 1}{2} \le 6 \cdot \frac{c - 1}{3} $
$ 3(3c - 1) \le 2(c - 1) $
3. Раскроем скобки.
$ 9c - 3 \le 2c - 2 $
4. Перенесем слагаемые с переменной $c$ влево, а свободные члены вправо.
$ 9c - 2c \le 3 - 2 $
$ 7c \le 1 $
5. Разделим обе части на 7.
$ c \le \frac{1}{7} $.
Решением неравенства является числовой промежуток $ (-\infty; \frac{1}{7}] $.
Ответ: $ c \le \frac{1}{7} $.

в) Решим неравенство $ \frac{2b - 1}{5} - \frac{3 - b}{3} < 2 $.
1. Умножим все члены неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 5 и 3, то есть на 15.
$ 15 \cdot \frac{2b - 1}{5} - 15 \cdot \frac{3 - b}{3} < 15 \cdot 2 $
$ 3(2b - 1) - 5(3 - b) < 30 $
2. Раскроем скобки.
$ 6b - 3 - 15 + 5b < 30 $
3. Приведем подобные слагаемые в левой части.
$ 11b - 18 < 30 $
4. Перенесем свободный член в правую часть.
$ 11b < 30 + 18 $
$ 11b < 48 $
5. Разделим обе части на 11.
$ b < \frac{48}{11} $.
Решением неравенства является интервал $ (-\infty; \frac{48}{11}) $.
Ответ: $ b < \frac{48}{11} $.

г) Решим неравенство $ \frac{d - 1}{3} - d \ge \frac{d + 1}{2} $.
1. Умножим все члены неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 2, то есть на 6. Знак неравенства не изменится.
$ 6 \cdot (\frac{d - 1}{3} - d) \ge 6 \cdot \frac{d + 1}{2} $
$ 6 \cdot \frac{d - 1}{3} - 6d \ge 3(d + 1) $
$ 2(d - 1) - 6d \ge 3(d + 1) $
2. Раскроем скобки.
$ 2d - 2 - 6d \ge 3d + 3 $
3. Приведем подобные слагаемые.
$ -4d - 2 \ge 3d + 3 $
4. Перенесем слагаемые с переменной $d$ в левую часть, а свободные члены - в правую.
$ -4d - 3d \ge 3 + 2 $
$ -7d \ge 5 $
5. Разделим обе части на -7. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
$ d \le -\frac{5}{7} $.
Решением неравенства является числовой промежуток $ (-\infty; -\frac{5}{7}] $.
Ответ: $ d \le -\frac{5}{7} $.

36.29 а) $\frac{x+1}{2} - \frac{x+2}{3} < 2 + \frac{x}{6}$;

б) $\frac{37-3z}{2} + 9 < \frac{2z-7}{4} - 2z$;

в) $\frac{t-1}{2} - \frac{2t+3}{8} - t > -2$;

г) $\frac{8y+5}{4} - 1 \le \frac{3y-2}{3} + y$.

а) Исходное неравенство: $\frac{x+1}{2} - \frac{x+2}{3} < 2 + \frac{x}{6}$.
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель дробей, то есть на 6:
$6 \cdot \left(\frac{x+1}{2} - \frac{x+2}{3}\right) < 6 \cdot \left(2 + \frac{x}{6}\right)$
$6 \cdot \frac{x+1}{2} - 6 \cdot \frac{x+2}{3} < 6 \cdot 2 + 6 \cdot \frac{x}{6}$
$3(x+1) - 2(x+2) < 12 + x$
Раскроем скобки:
$3x + 3 - 2x - 4 < 12 + x$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$(3x - 2x) + (3 - 4) < 12 + x$
$x - 1 < 12 + x$
Перенесем все слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:
$x - x < 12 + 1$
$0 < 13$
Это неравенство является верным числовым неравенством. Это означает, что исходное неравенство справедливо при любом значении переменной $x$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

б) Исходное неравенство: $\frac{37-3z}{2} + 9 < \frac{2z-7}{4} - 2z$.
Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель, равный 4:
$4 \cdot \left(\frac{37-3z}{2} + 9\right) < 4 \cdot \left(\frac{2z-7}{4} - 2z\right)$
$4 \cdot \frac{37-3z}{2} + 4 \cdot 9 < 4 \cdot \frac{2z-7}{4} - 4 \cdot 2z$
$2(37-3z) + 36 < (2z-7) - 8z$
Раскроем скобки:
$74 - 6z + 36 < 2z - 7 - 8z$
Приведем подобные слагаемые в обеих частях:
$(74 + 36) - 6z < (2z - 8z) - 7$
$110 - 6z < -6z - 7$
Перенесем все слагаемые с $z$ в левую часть, а числа — в правую:
$-6z + 6z < -7 - 110$
$0 < -117$
Это неравенство является неверным числовым неравенством. Это означает, что исходное неравенство не имеет решений.
Ответ: Нет решений.

в) Исходное неравенство: $\frac{t-1}{2} - \frac{2t+3}{8} - t > -2$.
Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель, равный 8:
$8 \cdot \left(\frac{t-1}{2} - \frac{2t+3}{8} - t\right) > 8 \cdot (-2)$
$8 \cdot \frac{t-1}{2} - 8 \cdot \frac{2t+3}{8} - 8 \cdot t > -16$
$4(t-1) - (2t+3) - 8t > -16$
Раскроем скобки:
$4t - 4 - 2t - 3 - 8t > -16$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$(4t - 2t - 8t) + (-4 - 3) > -16$
$-6t - 7 > -16$
Перенесем число -7 в правую часть с противоположным знаком:
$-6t > -16 + 7$
$-6t > -9$
Разделим обе части на -6. Так как мы делим на отрицательное число, знак неравенства изменится на противоположный:
$t < \frac{-9}{-6}$
$t < \frac{3}{2}$
$t < 1,5$
Ответ: $t \in (-\infty; 1,5)$.

г) Исходное неравенство: $\frac{8y+5}{4} - 1 \le \frac{3y-2}{3} + y$.
Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель, равный 12:
$12 \cdot \left(\frac{8y+5}{4} - 1\right) \le 12 \cdot \left(\frac{3y-2}{3} + y\right)$
$12 \cdot \frac{8y+5}{4} - 12 \cdot 1 \le 12 \cdot \frac{3y-2}{3} + 12 \cdot y$
$3(8y+5) - 12 \le 4(3y-2) + 12y$
Раскроем скобки:
$24y + 15 - 12 \le 12y - 8 + 12y$
Приведем подобные слагаемые в обеих частях:
$24y + 3 \le (12y+12y) - 8$
$24y + 3 \le 24y - 8$
Перенесем все слагаемые с $y$ в левую часть, а числа — в правую:
$24y - 24y \le -8 - 3$
$0 \le -11$
Это неравенство является неверным числовым неравенством. Это означает, что исходное неравенство не имеет решений.
Ответ: Нет решений.