Страница 209, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

37.38 При каких значениях параметра $p$ квадратное уравнение

$x^2 + 6px + 9 = 0:$

а) имеет два различных корня;

б) имеет один корень;

в) не имеет корней?

Для того чтобы определить, при каких значениях параметра $p$ квадратное уравнение $x^2 + 6px + 9 = 0$ имеет определенное количество корней, необходимо проанализировать его дискриминант.

Данное уравнение является квадратным вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты $a=1$, $b=6p$, $c=9$. Дискриминант $D$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.

Подставим наши коэффициенты в формулу дискриминанта: $D = (6p)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36p^2 - 36$. Для удобства вынесем общий множитель за скобки: $D = 36(p^2 - 1)$.

Количество действительных корней уравнения зависит от знака дискриминанта $D$.

а) имеет два различных корня
Уравнение имеет два различных корня, когда дискриминант строго больше нуля ($D > 0$).
Составим и решим неравенство:
$36(p^2 - 1) > 0$
Разделим обе части на 36:
$p^2 - 1 > 0$
$p^2 > 1$
Это неравенство справедливо, если модуль $p$ больше 1, то есть $p > 1$ или $p < -1$.
Ответ: $p \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.

б) имеет один корень
Уравнение имеет один корень (или два совпадающих корня), когда дискриминант равен нулю ($D = 0$).
Составим и решим уравнение:
$36(p^2 - 1) = 0$
$p^2 - 1 = 0$
$p^2 = 1$
Отсюда получаем два значения для $p$: $p = 1$ и $p = -1$.
Ответ: $p = -1, p = 1$.

в) не имеет корней?
Уравнение не имеет действительных корней, когда дискриминант меньше нуля ($D < 0$).
Составим и решим неравенство:
$36(p^2 - 1) < 0$
$p^2 - 1 < 0$
$p^2 < 1$
Это неравенство справедливо, если модуль $p$ меньше 1, то есть $-1 < p < 1$.
Ответ: $p \in (-1; 1)$.

37.39 Найдите все значения параметра p, при которых не имеет действительных корней уравнение:

a) $(p - 1)x^2 - 4x + 5 = 0;$

в) $(2p + 3)x^2 - 6x + 8 = 0;$

б) $(p - 15)x^2 + 4px - 3 = 0;$

г) $(3p - 5)x^2 - (6p - 2)x + 3p - 2 = 0.$

Чтобы уравнение не имело действительных корней, необходимо рассмотреть два случая для каждого уравнения вида $ax^2+bx+c=0$:

1. Уравнение является линейным (коэффициент $a=0$) и не имеет решений (например, получается равенство вида $0 \cdot x = k$, где $k \neq 0$). Если при $a=0$ уравнение имеет корень, то такое значение параметра $p$ не подходит.

2. Уравнение является квадратным ($a \neq 0$), и его дискриминант $D = b^2 - 4ac$ отрицателен ($D < 0$).

а) $(p - 1)x^2 - 4x + 5 = 0$

1. Рассмотрим случай, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю: $p - 1 = 0$, то есть $p = 1$. Подставим это значение в исходное уравнение: $(1 - 1)x^2 - 4x + 5 = 0$ $-4x + 5 = 0$ $x = \frac{5}{4}$ При $p = 1$ уравнение имеет один действительный корень, следовательно, это значение $p$ нам не подходит.

2. Рассмотрим случай, когда $p \neq 1$. Уравнение является квадратным. Оно не имеет действительных корней, если его дискриминант $D$ отрицателен. Коэффициенты: $a = p - 1$, $b = -4$, $c = 5$. $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(p - 1)(5) = 16 - 20(p - 1) = 16 - 20p + 20 = 36 - 20p$. Решим неравенство $D < 0$: $36 - 20p < 0$ $36 < 20p$ $p > \frac{36}{20}$ $p > \frac{9}{5}$ или $p > 1,8$. Это решение удовлетворяет условию $p \neq 1$.

Ответ: $p \in (1,8; +\infty)$.

б) $(p - 15)x^2 + 4px - 3 = 0$

1. При $p - 15 = 0$, то есть $p = 15$, уравнение становится линейным: $(15 - 15)x^2 + 4(15)x - 3 = 0$ $60x - 3 = 0$ $x = \frac{3}{60} = \frac{1}{20}$ Уравнение имеет действительный корень, значит, $p = 15$ не является решением.

2. При $p \neq 15$ уравнение является квадратным. Найдем, при каких $p$ дискриминант $D$ отрицателен. Коэффициенты: $a = p - 15$, $b = 4p$, $c = -3$. $D = b^2 - 4ac = (4p)^2 - 4(p - 15)(-3) = 16p^2 + 12(p - 15) = 16p^2 + 12p - 180$. Решим неравенство $D < 0$: $16p^2 + 12p - 180 < 0$. Разделим обе части на 4: $4p^2 + 3p - 45 < 0$. Найдем корни уравнения $4p^2 + 3p - 45 = 0$: $p_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-45)}}{2 \cdot 4} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 720}}{8} = \frac{-3 \pm \sqrt{729}}{8} = \frac{-3 \pm 27}{8}$. $p_1 = \frac{-3 - 27}{8} = -\frac{30}{8} = -\frac{15}{4} = -3,75$. $p_2 = \frac{-3 + 27}{8} = \frac{24}{8} = 3$. Так как ветви параболы $y = 4p^2 + 3p - 45$ направлены вверх, неравенство выполняется между корнями: $-\frac{15}{4} < p < 3$. Данный интервал не содержит $p = 15$.

Ответ: $p \in (-\frac{15}{4}; 3)$.

в) $(2p + 3)x^2 - 6x + 8 = 0$

1. При $2p + 3 = 0$, то есть $p = -1,5$, уравнение становится линейным: $-6x + 8 = 0$, откуда $x = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$. Уравнение имеет корень, поэтому $p = -1,5$ не подходит.

2. При $p \neq -1,5$ уравнение является квадратным. Оно не имеет действительных корней, если $D < 0$. Так как коэффициент $b = -6$ является четным, используем $D_1 = (\frac{b}{2})^2 - ac$. $D_1 = (-3)^2 - (2p + 3) \cdot 8 = 9 - 16p - 24 = -16p - 15$. Решим неравенство $D_1 < 0$: $-16p - 15 < 0$ $-15 < 16p$ $p > -\frac{15}{16}$. Это решение удовлетворяет условию $p \neq -1,5$ (так как $-1,5 = -24/16$).

Ответ: $p \in (-\frac{15}{16}; +\infty)$.

г) $(3p - 5)x^2 - (6p - 2)x + 3p - 2 = 0$

1. При $3p - 5 = 0$, то есть $p = \frac{5}{3}$, уравнение становится линейным: $-(6 \cdot \frac{5}{3} - 2)x + (3 \cdot \frac{5}{3} - 2) = 0$ $-(10 - 2)x + (5 - 2) = 0$ $-8x + 3 = 0$, откуда $x = \frac{3}{8}$. Уравнение имеет корень, поэтому $p = \frac{5}{3}$ не подходит.

2. При $p \neq \frac{5}{3}$ уравнение является квадратным. Найдем, при каких $p$ дискриминант $D$ отрицателен. Коэффициенты: $a = 3p - 5$, $b = -(6p - 2)$, $c = 3p - 2$. $D = b^2 - 4ac = (-(6p - 2))^2 - 4(3p - 5)(3p - 2)$ $D = (6p - 2)^2 - 4(9p^2 - 6p - 15p + 10)$ $D = (36p^2 - 24p + 4) - 4(9p^2 - 21p + 10)$ $D = 36p^2 - 24p + 4 - 36p^2 + 84p - 40$ $D = 60p - 36$. Решим неравенство $D < 0$: $60p - 36 < 0$ $60p < 36$ $p < \frac{36}{60}$ $p < \frac{3}{5}$. Это решение удовлетворяет условию $p \neq \frac{5}{3}$ (так как $\frac{3}{5} = 0,6$ а $\frac{5}{3} \approx 1,67$).

Ответ: $p \in (-\infty; \frac{3}{5})$.

37.40 Найдите все значения параметра p, при которых имеет действительные корни уравнение:

a) $x^2 - 6x + p^2 = 0$;

б) $x^2 - 12px - 3p = 0$;

в) $x^2 - 4x - 2p = 0$;

г) $x^2 + 2px + p + 2 = 0$.

Квадратное уравнение имеет действительные корни тогда и только тогда, когда его дискриминант $D$ больше или равен нулю ($D \ge 0$). Для уравнения вида $ax^2+bx+c=0$ дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.

а) $x^2 - 6x + p^2 = 0$

В данном уравнении коэффициенты: $a=1$, $b=-6$, $c=p^2$.Найдем дискриминант:$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot p^2 = 36 - 4p^2$.

Условие наличия действительных корней $D \ge 0$:$36 - 4p^2 \ge 0$$36 \ge 4p^2$$9 \ge p^2$$p^2 \le 9$Это неравенство эквивалентно $-3 \le p \le 3$.

Ответ: $p \in [-3; 3]$

б) $x^2 - 12px - 3p = 0$

Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=-12p$, $c=-3p$.Найдем дискриминант:$D = (-12p)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3p) = 144p^2 + 12p$.

Условие $D \ge 0$:$144p^2 + 12p \ge 0$Вынесем общий множитель $12p$ за скобки:$12p(12p + 1) \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Корни выражения $12p(12p + 1)$ равны $p=0$ и $p=-1/12$.Так как это парабола с ветвями вверх, неотрицательные значения достигаются при $p$ вне интервала между корнями.Следовательно, $p \le -1/12$ или $p \ge 0$.

Ответ: $p \in (-\infty; -1/12] \cup [0; +\infty)$

в) $x^2 - 4x - 2p = 0$

Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=-4$, $c=-2p$.Поскольку коэффициент $b$ четный, удобнее использовать "упрощенный" дискриминант $D/4 = (b/2)^2 - ac$.$D/4 = (-2)^2 - 1 \cdot (-2p) = 4 + 2p$.

Условие наличия действительных корней $D/4 \ge 0$:$4 + 2p \ge 0$$2p \ge -4$$p \ge -2$

Ответ: $p \in [-2; +\infty)$

г) $x^2 + 2px + p + 2 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=2p$, $c=p+2$.Коэффициент $b$ четный, используем $D/4$.$D/4 = (p)^2 - 1 \cdot (p+2) = p^2 - p - 2$.

Условие $D/4 \ge 0$:$p^2 - p - 2 \ge 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $p^2 - p - 2=0$. По теореме Виета (или через дискриминант для $p$) корни равны $p_1=2$ и $p_2=-1$.Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется при $p \le -1$ или $p \ge 2$.

Ответ: $p \in (-\infty; -1] \cup [2; +\infty)$

37.41 Найдите все значения параметра p, при которых имеет действительные корни уравнение:

a) $3px^2 - 6px + 13 = 0;$

б) $(1 - 3p)x^2 - 4x - 3 = 0;$

в) $px^2 - 3px - 2 = 0;$

г) $(p - 1)x^2 - (2p - 3)x + p + 5 = 0.$

Для того чтобы уравнение имело действительные корни, необходимо рассмотреть два случая для каждого пункта. Уравнение вида $Ax^2 + Bx + C = 0$ имеет действительные корни, если оно является квадратным (коэффициент $A \neq 0$) и его дискриминант $D = B^2 - 4AC \ge 0$, либо если оно вырождается в линейное ($A = 0$) и имеет решение.

а) $3px^2 - 6px + 13 = 0$

1. Рассмотрим случай, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю: $3p = 0$, то есть $p = 0$.
При $p = 0$ уравнение принимает вид $0 \cdot x^2 - 0 \cdot x + 13 = 0$, или $13 = 0$. Это неверное равенство, следовательно, при $p=0$ уравнение корней не имеет.

2. Рассмотрим случай, когда $3p \neq 0$, то есть $p \neq 0$. Уравнение является квадратным.
Для наличия действительных корней дискриминант должен быть неотрицательным: $D \ge 0$.
$D = (-6p)^2 - 4 \cdot (3p) \cdot 13 = 36p^2 - 156p$.
Решим неравенство: $36p^2 - 156p \ge 0$.
Вынесем общий множитель: $12p(3p - 13) \ge 0$.
Найдем корни соответствующего уравнения $12p(3p - 13) = 0$: $p_1 = 0$ и $p_2 = \frac{13}{3}$.
Методом интервалов получаем, что неравенство выполняется при $p \in (-\infty, 0] \cup [\frac{13}{3}, +\infty)$.
Учитывая, что в данном случае $p \neq 0$, получаем $p \in (-\infty, 0) \cup [\frac{13}{3}, +\infty)$.

Объединяя результаты, получаем окончательное решение.

Ответ: $p \in (-\infty, 0) \cup [\frac{13}{3}, +\infty)$.

б) $(1-3p)x^2 - 4x - 3 = 0$

1. Рассмотрим случай, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю: $1 - 3p = 0$, то есть $p = 1/3$.
При $p = 1/3$ уравнение принимает вид $0 \cdot x^2 - 4x - 3 = 0$, или $-4x = 3$.
Это линейное уравнение имеет один действительный корень $x = -3/4$. Следовательно, $p = 1/3$ является решением.

2. Рассмотрим случай, когда $1 - 3p \neq 0$, то есть $p \neq 1/3$. Уравнение является квадратным.
Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot (1 - 3p) \cdot (-3) = 16 + 12(1 - 3p) = 16 + 12 - 36p = 28 - 36p$.
Решим неравенство $D \ge 0$:
$28 - 36p \ge 0$
$28 \ge 36p$
$p \le \frac{28}{36}$
$p \le \frac{7}{9}$.
С учетом условия $p \neq 1/3$, получаем $p \in (-\infty, 1/3) \cup (1/3, 7/9]$.

Объединяя результаты из обоих случаев (значение $p=1/3$ из первого случая и интервалы из второго), получаем $p \in (-\infty, 7/9]$.

Ответ: $p \in (-\infty, 7/9]$.

в) $px^2 - 3px - 2 = 0$

1. Рассмотрим случай, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю: $p = 0$.
При $p = 0$ уравнение принимает вид $0 \cdot x^2 - 0 \cdot x - 2 = 0$, или $-2 = 0$. Это неверное равенство, следовательно, при $p=0$ уравнение корней не имеет.

2. Рассмотрим случай, когда $p \neq 0$. Уравнение является квадратным.
Дискриминант $D = (-3p)^2 - 4 \cdot p \cdot (-2) = 9p^2 + 8p$.
Решим неравенство $D \ge 0$:
$9p^2 + 8p \ge 0$
$p(9p + 8) \ge 0$.
Корни соответствующего уравнения $p(9p + 8) = 0$: $p_1 = 0$ и $p_2 = -8/9$.
Методом интервалов получаем $p \in (-\infty, -8/9] \cup [0, +\infty)$.
Учитывая, что в данном случае $p \neq 0$, получаем $p \in (-\infty, -8/9] \cup (0, +\infty)$.

Объединяя результаты, получаем окончательное решение.

Ответ: $p \in (-\infty, -8/9] \cup (0, +\infty)$.

г) $(p-1)x^2 - (2p-3)x + p + 5 = 0$

1. Рассмотрим случай, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю: $p - 1 = 0$, то есть $p = 1$.
При $p = 1$ уравнение принимает вид $0 \cdot x^2 - (2 \cdot 1 - 3)x + 1 + 5 = 0$, или $-(-1)x + 6 = 0$, то есть $x + 6 = 0$.
Это линейное уравнение имеет один действительный корень $x = -6$. Следовательно, $p = 1$ является решением.

2. Рассмотрим случай, когда $p - 1 \neq 0$, то есть $p \neq 1$. Уравнение является квадратным.
Дискриминант $D = (-(2p-3))^2 - 4(p-1)(p+5) = (2p-3)^2 - 4(p^2+4p-5)$.
$D = (4p^2 - 12p + 9) - (4p^2 + 16p - 20) = 4p^2 - 12p + 9 - 4p^2 - 16p + 20 = -28p + 29$.
Решим неравенство $D \ge 0$:
$-28p + 29 \ge 0$
$29 \ge 28p$
$p \le \frac{29}{28}$.
С учетом условия $p \neq 1$, получаем $p \in (-\infty, 1) \cup (1, 29/28]$.

Объединяя результаты из обоих случаев (значение $p=1$ из первого случая и интервалы из второго), получаем $p \in (-\infty, 29/28]$.

Ответ: $p \in (-\infty, 29/28]$.

37.42 При каких целочисленных значениях параметра $p$ неравенство $(x-2)(x-p) < 0$ имеет три целочисленных решения?

Данное неравенство $(x-2)(x-p) < 0$ является квадратным. Его решение — это интервал между корнями $x_1 = 2$ и $x_2 = p$. Поскольку параметр $p$ по условию является целым числом, нам нужно найти такие значения $p$, при которых в интервале между $2$ и $p$ содержится ровно три целых числа.

Сначала рассмотрим случай $p=2$. Неравенство принимает вид $(x-2)^2 < 0$. Так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, это неравенство не имеет решений. Следовательно, $p \neq 2$.

Теперь рассмотрим два возможных варианта взаимного расположения $p$ и $2$ на числовой оси.

Случай 1: $p < 2$

Решением неравенства является интервал $(p, 2)$. Мы ищем целочисленные решения $x$, удовлетворяющие условию $p < x < 2$. Так как $p$ — целое число, целочисленными решениями будут $p+1, p+2, \dots, 1$. Количество этих решений равно $1 - (p+1) + 1 = 1 - p$. По условию, это количество должно быть равно трем:

$1 - p = 3$

$p = -2$

Это значение удовлетворяет условию $p<2$. При $p=-2$ неравенство имеет вид $(x-2)(x+2) < 0$. Решением является интервал $x \in (-2, 2)$. Целочисленные решения в этом интервале: $-1, 0, 1$. Их ровно три. Следовательно, $p=-2$ является решением задачи.

Случай 2: $p > 2$

Решением неравенства является интервал $(2, p)$. Мы ищем целочисленные решения $x$, удовлетворяющие условию $2 < x < p$. Так как $p$ — целое число, целочисленными решениями будут $3, 4, 5, \dots, p-1$. Количество этих решений равно $(p-1) - 3 + 1 = p-3$. По условию, это количество должно быть равно трем:

$p - 3 = 3$

$p = 6$

Это значение удовлетворяет условию $p>2$. При $p=6$ неравенство имеет вид $(x-2)(x-6) < 0$. Решением является интервал $x \in (2, 6)$. Целочисленные решения в этом интервале: $3, 4, 5$. Их ровно три. Следовательно, $p=6$ также является решением задачи.

Таким образом, условию задачи удовлетворяют два целочисленных значения параметра $p$.

Ответ: -2, 6.

37.43 При каких значениях параметра $p$ неравенство $x^2 \le 9p^2$ имеет одно целочисленное решение?

Данное неравенство $x^2 \le 9p^2$ является квадратным неравенством относительно переменной $x$. Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - 9p^2 \le 0$

Левую часть можно разложить на множители как разность квадратов:

$(x - 3p)(x + 3p) \le 0$

Решением этого неравенства является промежуток между корнями $x_1 = -3p$ и $x_2 = 3p$. Однако, чтобы не рассматривать случаи $p>0$, $p<0$ и $p=0$ по отдельности, удобнее решить исходное неравенство иначе.

Поскольку обе части неравенства $x^2 \le 9p^2$ неотрицательны, можно извлечь квадратный корень из обеих частей:

$\sqrt{x^2} \le \sqrt{9p^2}$

$|x| \le 3|p|$

Это неравенство равносильно двойному неравенству:

$-3|p| \le x \le 3|p|$

Решениями неравенства являются все числа $x$, принадлежащие отрезку $[-3|p|, 3|p|]$. По условию задачи, этот отрезок должен содержать ровно одно целое число.

Отрезок $[-3|p|, 3|p|]$ симметричен относительно нуля. Если он содержит какое-либо целое число $k \ne 0$, то он обязательно будет содержать и противоположное ему число $-k$. Таким образом, количество ненулевых целочисленных решений всегда четно. Чтобы общее количество целочисленных решений было равно единице, это единственное решение должно быть $x=0$.

Число 0 всегда является решением, так как для любого $p$ выполняется $-3|p| \le 0 \le 3|p|$.

Чтобы $x=0$ было единственным целочисленным решением, другие целые числа, в частности ближайшие к нулю (1 и -1), не должны принадлежать отрезку $[-3|p|, 3|p|]$. Это означает, что правая граница отрезка должна быть меньше 1, а левая — больше -1.

$3|p| < 1$

и

$-3|p| > -1$

Второе неравенство, после умножения на -1 и смены знака, сводится к первому: $3|p| < 1$. Решим это неравенство относительно $p$:

$|p| < \frac{1}{3}$

Это равносильно двойному неравенству:

$-\frac{1}{3} < p < \frac{1}{3}$

При всех значениях $p$ из этого интервала отрезок решений $[-3|p|, 3|p|]$ будет содержаться внутри интервала $(-1, 1)$, и, следовательно, будет содержать только одно целое число — 0.

Ответ: $p \in (-\frac{1}{3}; \frac{1}{3})$.

37.44 Длина прямоугольника на 2 см больше его ширины. Чему равна длина прямоугольника, если известно, что его площадь не превосходит 224 $см^2$?

Пусть длина прямоугольника равна $l$ см.

Согласно условию, длина на 2 см больше ширины, значит, ширина прямоугольника равна $(l - 2)$ см.

Поскольку и длина, и ширина должны быть положительными величинами, на длину $l$ накладываются следующие ограничения:
1. $l > 0$ (длина положительна).
2. $l - 2 > 0 \implies l > 2$ (ширина положительна).
Объединяя эти условия, получаем, что длина должна быть строго больше 2 см ($l > 2$).

Площадь прямоугольника $S$ вычисляется как произведение его длины на ширину:$S = l \cdot (l - 2) = l^2 - 2l$.

По условию, площадь не превосходит 224 см², то есть $S \le 224$. Составим и решим неравенство:$l^2 - 2l \le 224$
$l^2 - 2l - 224 \le 0$

Чтобы решить это квадратное неравенство, найдем корни соответствующего уравнения $l^2 - 2l - 224 = 0$.Вычислим дискриминант $D$:$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-224) = 4 + 896 = 900$.

Найдем корни уравнения:$l_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{900}}{2} = \frac{2 + 30}{2} = \frac{32}{2} = 16$.
$l_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{900}}{2} = \frac{2 - 30}{2} = \frac{-28}{2} = -14$.

Графиком функции $y = l^2 - 2l - 224$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Неравенство $l^2 - 2l - 224 \le 0$ выполняется для значений $l$, находящихся между корнями (включая сами корни):$-14 \le l \le 16$.

Теперь необходимо учесть ограничение, что длина должна быть больше 2 см ($l > 2$).Найдем пересечение двух условий: $-14 \le l \le 16$ и $l > 2$.В результате получаем итоговый диапазон для длины:$2 < l \le 16$.

Ответ: Длина прямоугольника больше 2 см, но не превосходит 16 см.

37.45 Непараллельные стороны квадрата увеличили на 6 см и 4 см.

Чему равна сторона квадрата, если известно, что площадь полученного прямоугольника меньше удвоенной площади квадрата?

Пусть сторона исходного квадрата равна $x$ см. Поскольку длина стороны должна быть положительной величиной, то $x > 0$.

Площадь исходного квадрата $S_{квадрата}$ вычисляется по формуле:

$S_{квадрата} = x^2$

После того как непараллельные стороны квадрата увеличили на 6 см и 4 см, получился прямоугольник со сторонами $(x + 6)$ см и $(x + 4)$ см.

Площадь этого прямоугольника $S_{прямоугольника}$ равна произведению его сторон:

$S_{прямоугольника} = (x + 6)(x + 4)$

По условию задачи, площадь полученного прямоугольника меньше удвоенной площади квадрата. Запишем это в виде неравенства:

$S_{прямоугольника} < 2 \cdot S_{квадрата}$

Подставим выражения для площадей в это неравенство:

$(x + 6)(x + 4) < 2x^2$

Раскроем скобки в левой части и приведем подобные слагаемые:

$x^2 + 4x + 6x + 24 < 2x^2$

$x^2 + 10x + 24 < 2x^2$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратичное неравенство:

$0 < 2x^2 - x^2 - 10x - 24$

$x^2 - 10x - 24 > 0$

Для решения этого неравенства найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 10x - 24 = 0$.

Вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 100 + 96 = 196$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - \sqrt{196}}{2} = \frac{10 - 14}{2} = -2$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + \sqrt{196}}{2} = \frac{10 + 14}{2} = 12$

Графиком функции $y = x^2 - 10x - 24$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Неравенство $x^2 - 10x - 24 > 0$ выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями, то есть при $x < -2$ или $x > 12$.

Так как сторона квадрата $x$ должна быть положительной ($x > 0$), то из полученного решения ($x < -2$ или $x > 12$) нам подходит только та часть, которая удовлетворяет этому условию.

Следовательно, сторона квадрата должна быть больше 12 см.

Ответ: сторона квадрата должна быть больше 12 см.

37.46 Две группы туристов вышли с турбазы по направлениям, которые образуют прямой угол. Первая группа шла со скоростью 4 км/ч, а вторая со скоростью 5 км/ч. Группы поддерживали связь по радио, причём переговариваться можно было на расстоянии не более чем 13 км. Какое время после выхода второй группы могли поддерживать между собой связь туристы, если известно, что вторая группа вышла на маршрут через 2 ч после первой?

Пусть $t$ — это время в часах, прошедшее с момента выхода второй группы. Скорость первой группы $v_1 = 4$ км/ч, а скорость второй группы $v_2 = 5$ км/ч.

Вторая группа вышла на 2 часа позже первой. Это означает, что к моменту времени $t$ (считая от выхода второй группы) первая группа была в пути $(t+2)$ часа, а вторая — $t$ часов.

Расстояние $S_1$, которое прошла первая группа, вычисляется как $S_1 = v_1 \cdot (t+2) = 4(t+2)$ км.

Расстояние $S_2$, которое прошла вторая группа, равно $S_2 = v_2 \cdot t = 5t$ км.

Так как группы двигались по направлениям, образующим прямой угол, их положения относительно турбазы можно рассматривать как вершины прямоугольного треугольника. Расстояния $S_1$ и $S_2$ являются катетами этого треугольника, а расстояние $d$ между группами — его гипотенузой. По теореме Пифагора: $d^2 = S_1^2 + S_2^2$

Согласно условию, радиосвязь возможна на расстоянии не более 13 км. Математически это выражается неравенством $d \le 13$. Возведя обе части в квадрат, получаем $d^2 \le 13^2$, то есть $d^2 \le 169$.

Подставим выражения для $S_1$ и $S_2$ в неравенство: $(4(t+2))^2 + (5t)^2 \le 169$

Теперь решим это неравенство. Раскроем скобки: $16(t^2 + 4t + 4) + 25t^2 \le 169$ $16t^2 + 64t + 64 + 25t^2 \le 169$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены в левую часть: $41t^2 + 64t + 64 - 169 \le 0$ $41t^2 + 64t - 105 \le 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $41t^2 + 64t - 105 = 0$. Воспользуемся формулой для корней квадратного уравнения через дискриминант.

Вычислим дискриминант $D$: $D = b^2 - 4ac = 64^2 - 4 \cdot 41 \cdot (-105) = 4096 + 17220 = 21316$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{21316} = 146$.

Найдем корни уравнения: $t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-64 + 146}{2 \cdot 41} = \frac{82}{82} = 1$
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-64 - 146}{2 \cdot 41} = \frac{-210}{82} = -\frac{105}{41}$

Графиком функции $y = 41t^2 + 64t - 105$ является парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $t^2$ положителен). Значит, неравенство $41t^2 + 64t - 105 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями: $t \in [-\frac{105}{41}, 1]$.

Поскольку время $t$ по смыслу задачи не может быть отрицательным ($t \ge 0$), то из полученного интервала нам подходит только отрезок $[0, 1]$.

Таким образом, туристы могли поддерживать связь в течение промежутка времени от $t=0$ до $t=1$ часа после выхода второй группы. Продолжительность этого времени составляет $1 - 0 = 1$ час.

Ответ: 1 час.