Страница 204, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

Найдите наибольшее целое решение неравенства:

$4(x - 7) - 2(x + 3) < 9;$

б) $5(x - 1) + 7(x + 2) < 3.$

а)

Дано неравенство $4(x - 7) - 2(x + 3) < 9$.

Сначала раскроем скобки в левой части:

$4 \cdot x - 4 \cdot 7 - 2 \cdot x - 2 \cdot 3 < 9$

$4x - 28 - 2x - 6 < 9$

Теперь приведем подобные слагаемые. Сгруппируем слагаемые с $x$ и свободные члены:

$(4x - 2x) + (-28 - 6) < 9$

$2x - 34 < 9$

Перенесем число $-34$ в правую часть неравенства, изменив знак на противоположный:

$2x < 9 + 34$

$2x < 43$

Разделим обе части неравенства на 2. Так как 2 — положительное число, знак неравенства не меняется:

$x < \frac{43}{2}$

$x < 21.5$

Мы ищем наибольшее целое решение. Наибольшим целым числом, удовлетворяющим условию $x < 21.5$, является 21.

Ответ: 21.

б)

Дано неравенство $5(x - 1) + 7(x + 2) < 3$.

Сначала раскроем скобки в левой части:

$5 \cdot x - 5 \cdot 1 + 7 \cdot x + 7 \cdot 2 < 3$

$5x - 5 + 7x + 14 < 3$

Теперь приведем подобные слагаемые:

$(5x + 7x) + (-5 + 14) < 3$

$12x + 9 < 3$

Перенесем число 9 в правую часть неравенства, изменив знак на противоположный:

$12x < 3 - 9$

$12x < -6$

Разделим обе части неравенства на 12. Так как 12 — положительное число, знак неравенства не меняется:

$x < \frac{-6}{12}$

$x < -\frac{1}{2}$

$x < -0.5$

Мы ищем наибольшее целое решение. Наибольшим целым числом, удовлетворяющим условию $x < -0.5$, является -1.

Ответ: -1.

36.31 a)

$\frac{2x-1}{3} + \frac{5x+7}{2} < 4;$

б) $\frac{3x+2}{5} - \frac{2x-4}{3} > 7.$

а) Чтобы решить неравенство $\frac{2x - 1}{3} + \frac{5x + 7}{2} < 4$, необходимо избавиться от знаменателей. Для этого умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное чисел 3 и 2, то есть на 6. Так как 6 — положительное число, знак неравенства не меняется.
$6 \cdot \left(\frac{2x - 1}{3} + \frac{5x + 7}{2}\right) < 6 \cdot 4$
$6 \cdot \frac{2x - 1}{3} + 6 \cdot \frac{5x + 7}{2} < 24$
$2(2x - 1) + 3(5x + 7) < 24$
Теперь раскроем скобки:
$4x - 2 + 15x + 21 < 24$
Приведем подобные слагаемые в левой части неравенства:
$(4x + 15x) + (-2 + 21) < 24$
$19x + 19 < 24$
Перенесем слагаемое 19 из левой части в правую, изменив его знак:
$19x < 24 - 19$
$19x < 5$
Разделим обе части неравенства на 19:
$x < \frac{5}{19}$
Ответ: $x < \frac{5}{19}$.

б) Чтобы решить неравенство $\frac{3x + 2}{5} - \frac{2x - 4}{3} > 7$, так же, как и в предыдущем примере, избавимся от знаменателей. Наименьшее общее кратное чисел 5 и 3 равно 15. Умножим обе части неравенства на 15. Знак неравенства сохранится.
$15 \cdot \left(\frac{3x + 2}{5} - \frac{2x - 4}{3}\right) > 15 \cdot 7$
$15 \cdot \frac{3x + 2}{5} - 15 \cdot \frac{2x - 4}{3} > 105$
$3(3x + 2) - 5(2x - 4) > 105$
Раскроем скобки. Важно обратить внимание, что перед второй дробью стоял знак минус, поэтому при умножении на -5 знаки в скобках изменятся:
$9x + 6 - 10x + 20 > 105$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$(9x - 10x) + (6 + 20) > 105$
$-x + 26 > 105$
Перенесем слагаемое 26 в правую часть с противоположным знаком:
$-x > 105 - 26$
$-x > 79$
Чтобы найти $x$, умножим обе части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$x < -79$
Ответ: $x < -79$.

Найдите наименьшее целое решение неравенства:

36.32 а) $7(x + 2) - 3(x - 8) > 10;$

б) $3(x - 2) - 4 \ge 2(x + 3).$

а) $7(x + 2) - 3(x - 8) > 10$

Для решения данного линейного неравенства, сначала раскроем скобки:

$7 \cdot x + 7 \cdot 2 - 3 \cdot x - 3 \cdot (-8) > 10$

$7x + 14 - 3x + 24 > 10$

Теперь приведем подобные слагаемые в левой части неравенства:

$(7x - 3x) + (14 + 24) > 10$

$4x + 38 > 10$

Перенесем слагаемое 38 из левой части в правую, изменив его знак на противоположный:

$4x > 10 - 38$

$4x > -28$

Разделим обе части неравенства на 4. Поскольку 4 — положительное число, знак неравенства сохранится:

$x > \frac{-28}{4}$

$x > -7$

Мы ищем наименьшее целое решение. Целые числа, которые больше -7, это -6, -5, -4 и так далее. Наименьшим из них является -6.

Ответ: -6

б) $3(x - 2) - 4 \ge 2(x + 3)$

Сначала раскроем скобки в обеих частях неравенства:

$3 \cdot x + 3 \cdot (-2) - 4 \ge 2 \cdot x + 2 \cdot 3$

$3x - 6 - 4 \ge 2x + 6$

Упростим левую часть:

$3x - 10 \ge 2x + 6$

Теперь перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую, не забывая менять знаки при переносе:

$3x - 2x \ge 6 + 10$

Приведем подобные слагаемые:

$x \ge 16$

Решением неравенства являются все числа, большие или равные 16. Нам нужно найти наименьшее целое решение. Поскольку неравенство нестрогое ($ \ge $), само число 16 входит в множество решений и является наименьшим целым решением.

Ответ: 16

36.33 a) $ \frac{2x-3}{5} + \frac{9-4x}{6} < 1; $

б) $ \frac{3x-2}{4} + \frac{4x+1}{3} \ge 1. $

а) Чтобы решить неравенство $ \frac{2x - 3}{5} + \frac{9 - 4x}{6} < 1 $, сначала приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное (НОК) чисел 5 и 6 равно 30. Умножим обе части неравенства на 30. Так как 30 — положительное число, знак неравенства не изменится.
$ 30 \cdot \left( \frac{2x - 3}{5} + \frac{9 - 4x}{6} \right) < 30 \cdot 1 $
$ \frac{30(2x - 3)}{5} + \frac{30(9 - 4x)}{6} < 30 $
Сократим дроби:
$ 6(2x - 3) + 5(9 - 4x) < 30 $
Теперь раскроем скобки:
$ 12x - 18 + 45 - 20x < 30 $
Приведем подобные слагаемые в левой части неравенства:
$ (12x - 20x) + (-18 + 45) < 30 $
$ -8x + 27 < 30 $
Перенесем 27 в правую часть, поменяв знак:
$ -8x < 30 - 27 $
$ -8x < 3 $
Разделим обе части неравенства на -8. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$ x > \frac{3}{-8} $
$ x > - \frac{3}{8} $
Решение неравенства можно записать в виде промежутка: $ (-\frac{3}{8}; +\infty) $.
Ответ: $ x > - \frac{3}{8} $.

б) Чтобы решить неравенство $ \frac{3x - 2}{4} + \frac{4x + 1}{3} \ge 1 $, найдем общий знаменатель для дробей. НОК чисел 4 и 3 равно 12. Умножим обе части неравенства на 12. Знак неравенства не изменится, так как 12 > 0.
$ 12 \cdot \left( \frac{3x - 2}{4} + \frac{4x + 1}{3} \right) \ge 12 \cdot 1 $
$ \frac{12(3x - 2)}{4} + \frac{12(4x + 1)}{3} \ge 12 $
Сократим дроби:
$ 3(3x - 2) + 4(4x + 1) \ge 12 $
Раскроем скобки:
$ 9x - 6 + 16x + 4 \ge 12 $
Приведем подобные слагаемые:
$ (9x + 16x) + (-6 + 4) \ge 12 $
$ 25x - 2 \ge 12 $
Перенесем -2 в правую часть с противоположным знаком:
$ 25x \ge 12 + 2 $
$ 25x \ge 14 $
Разделим обе части на 25:
$ x \ge \frac{14}{25} $
Решение неравенства в виде промежутка: $ [\frac{14}{25}; +\infty) $.
Ответ: $ x \ge \frac{14}{25} $.

36.34 Прежде чем разбить лагерь на берегу реки, туристы проплыли по реке и её притоку 10 км, причём часть пути они проплыли по течению, часть — против течения. Определите, какое расстояние проплыли туристы по течению, если известно, что в пути они были менее двух часов, собственная скорость лодки равна 5 км/ч, а скорость течения реки и её притока равна 1 км/ч.

Обозначим за $x$ км расстояние, которое туристы проплыли по течению реки. Поскольку общий путь составляет 10 км, то расстояние, которое они проплыли против течения, равно $(10 - x)$ км.

Дано, что собственная скорость лодки $v_{л} = 5$ км/ч, а скорость течения реки и ее притока $v_{т} = 1$ км/ч.
Скорость лодки по течению составляет:
$v_{по} = v_{л} + v_{т} = 5 + 1 = 6$ км/ч.
Скорость лодки против течения составляет:
$v_{против} = v_{л} - v_{т} = 5 - 1 = 4$ км/ч.

Время, затраченное на путь по течению, равно $t_{по} = \frac{S}{v} = \frac{x}{6}$ часов.
Время, затраченное на путь против течения, равно $t_{против} = \frac{10 - x}{4}$ часов.

По условию задачи, общее время в пути было менее двух часов. Составим и решим неравенство:
$t_{по} + t_{против} < 2$
$\frac{x}{6} + \frac{10 - x}{4} < 2$

Чтобы решить неравенство, приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 6 и 4 это 12. Умножим обе части неравенства на 12:
$12 \cdot \left(\frac{x}{6}\right) + 12 \cdot \left(\frac{10 - x}{4}\right) < 2 \cdot 12$
$2x + 3(10 - x) < 24$

Раскроем скобки и упростим выражение:
$2x + 30 - 3x < 24$
$-x + 30 < 24$
$-x < 24 - 30$
$-x < -6$

Умножим обе части неравенства на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный:
$x > 6$

Также необходимо учесть, что расстояние $x$ (путь по течению) не может быть больше всего пути, то есть $x \le 10$. Кроме того, путь против течения $(10-x)$ должен быть неотрицательным, что также дает $x \le 10$. Поскольку туристы плыли и по течению, и против, то $x > 0$ и $10-x > 0$, то есть $x < 10$. Однако, если они проплыли ровно 10 км по течению, то время против течения будет 0, и общее время будет $10/6 \approx 1.67$ часа, что меньше 2. Поэтому крайний случай $x=10$ возможен.

Объединяя полученное решение $x > 6$ с физическим ограничением $x \le 10$, получаем итоговый результат:
$6 < x \le 10$.

Ответ: Расстояние, которое туристы проплыли по течению, составляет более 6 км, но не более 10 км.

36.35 Дачники прошли от посёлка до станции расстояние $10 \text{ км}$. Сначала они шли со скоростью $4 \text{ км/ч}$, а затем увеличили скорость на $2 \text{ км/ч}$. Какое расстояние они могли пройти со скоростью $4 \text{ км/ч}$, чтобы успеть на поезд, который отправляется со станции через $2 \text{ ч}$ после их выхода из посёлка?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ км — это расстояние, которое дачники прошли со скоростью 4 км/ч.

Тогда время, которое они затратили на этот участок пути, составляет $t_1 = \frac{x}{4}$ часа.

После этого они увеличили скорость на 2 км/ч, и их новая скорость стала $v_2 = 4 + 2 = 6$ км/ч.

Оставшуюся часть пути, равную $(10 - x)$ км, они прошли с этой новой скоростью. Время, затраченное на второй участок пути, составляет $t_2 = \frac{10 - x}{6}$ часа.

По условию, дачникам нужно успеть на поезд, который отправляется через 2 часа после их выхода. Это означает, что общее время в пути должно быть меньше или равно 2 часам. Составим и решим неравенство: $t_1 + t_2 \le 2$ $\frac{x}{4} + \frac{10 - x}{6} \le 2$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 4 и 6, то есть на 12: $12 \cdot \left(\frac{x}{4} + \frac{10 - x}{6}\right) \le 12 \cdot 2$ $12 \cdot \frac{x}{4} + 12 \cdot \frac{10 - x}{6} \le 24$ $3x + 2(10 - x) \le 24$

Раскроем скобки и упростим выражение: $3x + 20 - 2x \le 24$ $x + 20 \le 24$ $x \le 24 - 20$ $x \le 4$

Так как расстояние не может быть отрицательным ($x \ge 0$), мы получаем, что расстояние, которое дачники могли пройти с первоначальной скоростью 4 км/ч, находится в промежутке от 0 до 4 км включительно.

Ответ: Чтобы успеть на поезд, дачники могли пройти со скоростью 4 км/ч расстояние не более 4 км.

36.36 Чтобы попасть из посёлка $A$ в посёлок $B$, нужно доехать по шоссе до пункта $C$, а затем свернуть на просёлочную дорогу. Путь от $A$ до $C$ на 15 км длиннее, чем путь от $C$ до $B$. Скорость мотоциклиста на шоссе равна 50 км/ч, а на просёлочной дороге 40 км/ч, причём на весь путь от $A$ до $B$ он тратит менее трёх часов. Чему равно расстояние от $A$ до $C$, если известно, что оно выражается целым числом десятков километров?

Для решения задачи введем переменные и составим неравенство на основе условий.

Пусть $x$ км — это расстояние от посёлка А до пункта С. Так как по условию путь от А до С на 15 км длиннее, чем путь от С до В, то расстояние от С до В равно $(x - 15)$ км. Поскольку расстояние не может быть отрицательным или равным нулю (путь существует), должно выполняться условие $x - 15 > 0$, откуда $x > 15$.

Скорость мотоциклиста на участке АС (шоссе) равна $v_1 = 50$ км/ч, а на участке СВ (просёлочная дорога) — $v_2 = 40$ км/ч.

Время, затраченное на путь от А до С, равно $t_1 = \frac{S_{AC}}{v_1} = \frac{x}{50}$ часов.
Время, затраченное на путь от С до В, равно $t_2 = \frac{S_{CB}}{v_2} = \frac{x - 15}{40}$ часов.

Общее время в пути от А до В составляет $T = t_1 + t_2$. По условию, мотоциклист тратит на весь путь менее трёх часов, то есть $T < 3$.Составим неравенство:

$\frac{x}{50} + \frac{x - 15}{40} < 3$

Чтобы решить это неравенство, приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 50 и 40 — это 200. Умножим обе части неравенства на 200:

$200 \cdot \frac{x}{50} + 200 \cdot \frac{x - 15}{40} < 3 \cdot 200$

$4x + 5(x - 15) < 600$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$4x + 5x - 75 < 600$

$9x - 75 < 600$

$9x < 600 + 75$

$9x < 675$

$x < \frac{675}{9}$

$x < 75$

Итак, мы получили два ограничения для расстояния $x$:
1. $x > 15$
2. $x < 75$

Таким образом, расстояние от А до С должно быть в пределах $15 < x < 75$.

В условии также сказано, что расстояние от А до С выражается целым числом десятков километров. Это означает, что $x$ должно быть кратно 10. Найдём все такие значения $x$, которые удовлетворяют неравенству $15 < x < 75$:

$x \in \{20, 30, 40, 50, 60, 70\}$

Все эти значения являются формально правильными решениями. Однако, формулировка вопроса «Чему равно расстояние...» предполагает единственный ответ. В таких задачах, когда получается диапазон возможных решений, часто требуется найти предельное значение, удовлетворяющее всем условиям. Условие «менее трёх часов» накладывает верхний предел на расстояние. Логично предположить, что нужно найти наибольшее возможное расстояние. Самое большое целое число десятков километров, которое меньше 75, — это 70.

Проверим это значение:
Если расстояние от А до С равно 70 км, то расстояние от С до В равно $70 - 15 = 55$ км.
Общее время в пути: $T = \frac{70}{50} + \frac{55}{40} = 1.4 + 1.375 = 2.775$ часа.
$2.775 < 3$, что соответствует условию задачи.

Ответ: 70 км

36.37 Из города $A$ в город $B$, находящийся на расстоянии $240 \text{ км}$ от $A$, выехал автобус со скоростью $54 \text{ км/ч}$. Через некоторое время вслед за ним выехал автомобиль со скоростью $90 \text{ км/ч}$. Прибыв в $B$, автомобиль тотчас повернул обратно. На каком расстоянии от $A$ автобус встретился с автомобилем?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $S = 240$ км — расстояние между городами А и В.
• $v_1 = 54$ км/ч — скорость автобуса.
• $v_2 = 90$ км/ч — скорость автомобиля.
• $x$ — расстояние от города А до места встречи, которое нам нужно найти.
• $t_1$ — время, которое автобус был в пути до момента встречи.
• $t_2$ — время, которое автомобиль был в пути до момента встречи.
• $t_0$ — время, на которое автобус выехал раньше автомобиля ($t_1 = t_2 + t_0$). В условии это время названо "некоторое время".

Рассмотрим путь каждого транспортного средства до момента встречи.

1. Автобус.
Автобус выехал из города А и к моменту встречи проехал расстояние $x$. Время его движения составляет:
$t_1 = \frac{x}{v_1} = \frac{x}{54}$

2. Автомобиль.
Автомобиль выехал из А, доехал до города В, развернулся и поехал обратно. Место встречи находится на расстоянии $x$ от А, значит, от В оно находится на расстоянии $(S-x)$.Таким образом, полный путь, который проехал автомобиль до момента встречи, складывается из пути от А до В и пути от В до места встречи:
$S_{авто} = S + (S-x) = 2S - x = 2 \cdot 240 - x = 480 - x$
Время, которое автомобиль был в пути, составляет:
$t_2 = \frac{S_{авто}}{v_2} = \frac{480 - x}{90}$

3. Связь между временами.
Поскольку автомобиль выехал на $t_0$ часов позже автобуса, время движения автобуса $t_1$ на $t_0$ больше времени движения автомобиля $t_2$:
$t_1 = t_2 + t_0$
Подставим в это уравнение выражения для $t_1$ и $t_2$, которые мы нашли ранее:
$\frac{x}{54} = \frac{480 - x}{90} + t_0$

4. Решение уравнения.
Теперь решим полученное уравнение относительно $x$. Для этого сначала избавимся от знаменателей, умножив все члены уравнения на наименьшее общее кратное чисел 54 и 90.
$54 = 2 \cdot 3^3$
$90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$
НОК(54, 90) = $2 \cdot 3^3 \cdot 5 = 270$.
$270 \cdot \frac{x}{54} = 270 \cdot \frac{480 - x}{90} + 270 \cdot t_0$
$5x = 3(480 - x) + 270 t_0$
$5x = 1440 - 3x + 270 t_0$
$5x + 3x = 1440 + 270 t_0$
$8x = 1440 + 270 t_0$
$x = \frac{1440}{8} + \frac{270}{8} t_0$
$x = 180 + 33.75 t_0$

Как видно из полученной формулы, расстояние от А до места встречи ($x$) зависит от времени задержки ($t_0$), на которое автомобиль выехал позже автобуса. В условии задачи это время не указано ("через некоторое время"), поэтому дать однозначный численный ответ на основе предоставленных данных невозможно. Задача, по-видимому, содержит неполное условие.

Если предположить, что транспортные средства выехали одновременно (т.е. $t_0 = 0$), то место встречи было бы на расстоянии $x = 180$ км от города А. Однако это противоречит условию "через некоторое время".

Ответ: На основе данных, представленных в задаче, дать однозначный ответ невозможно. Расстояние $x$ (в км) от города А до места встречи зависит от времени задержки выезда автомобиля $t_0$ (в часах) и вычисляется по формуле $x = 180 + 33.75 t_0$.