Страница 199, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. Сформулируйте три правила решения неравенства с одной переменной.

Правило 1: Перенос слагаемых из одной части неравенства в другую

Любой член неравенства можно перенести из одной части неравенства в другую, изменив его знак на противоположный. При этом знак самого неравенства сохраняется. Это правило является следствием свойства, которое позволяет прибавлять или вычитать одно и то же число или выражение из обеих частей неравенства, не меняя его смысла.
Пример:
Рассмотрим неравенство $3x + 7 > 1$. Чтобы изолировать слагаемое с переменной $x$, перенесем число 7 в правую часть, изменив его знак с «+» на «–»:
$3x > 1 - 7$
$3x > -6$
Формально это действие равносильно вычитанию 7 из обеих частей неравенства: $(3x + 7) - 7 > 1 - 7$.

Ответ:

Правило 2: Умножение и деление обеих частей неравенства на положительное число

Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число. При этом знак неравенства не меняется. Это правило используется для того, чтобы избавиться от коэффициента при переменной.
Пример:
Вернемся к неравенству $3x > -6$ из предыдущего примера. Чтобы найти $x$, нужно разделить обе части неравенства на коэффициент 3. Так как 3 — положительное число, знак неравенства $>$ сохранится:
$\frac{3x}{3} > \frac{-6}{3}$
$x > -2$
В общем виде: если $a > b$ и $c > 0$, то $a \cdot c > b \cdot c$ и $\frac{a}{c} > \frac{b}{c}$.

Ответ:

Правило 3: Умножение и деление обеих частей неравенства на отрицательное число

Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства необходимо изменить на противоположный (т.е. $>$ на <, < на $>$, $\geq$ на $\leq$, $\leq$ на $\geq$). Это самое важное правило, которое отличает решение неравенств от решения уравнений.
Пример:
Рассмотрим неравенство $-5x \geq 20$. Чтобы найти $x$, разделим обе части на -5. Поскольку мы делим на отрицательное число, знак неравенства $\geq$ нужно заменить на противоположный, то есть на $\leq$:
$\frac{-5x}{-5} \leq \frac{20}{-5}$
$x \leq -4$
В общем виде: если $a > b$ и $c < 0$, то $a \cdot c < b \cdot c$ и $\frac{a}{c} < \frac{b}{c}$.

Ответ:

2. Какие неравенства называют линейными неравенствами с одной переменной?

Линейным неравенством с одной переменной называется неравенство, которое после тождественных преобразований можно свести к одному из следующих видов:

• $ax > b$
• $ax < b$
• $ax \ge b$
• $ax \le b$

В этих неравенствах:

• $x$ — это переменная.
• $a$ и $b$ — это некоторые действительные числа (коэффициенты).
• Важным условием является то, что коэффициент при переменной не равен нулю, то есть $a \ne 0$. Если $a = 0$, то неравенство либо не имеет решений (например, $0 \cdot x > 5$), либо его решением является любое число (например, $0 \cdot x < 5$), и в таких случаях оно не считается линейным в стандартном понимании, так как не содержит переменной в явном виде.

Любое неравенство с одной переменной, которое можно привести к одному из указанных выше видов с помощью алгебраических операций (раскрытие скобок, перенос слагаемых из одной части в другую, приведение подобных членов), является линейным.

Пример:

Рассмотрим неравенство $4(x-1) > 7x + 5$. На первый взгляд оно не имеет стандартного вида, но его можно преобразовать:

1. Раскроем скобки: $4x - 4 > 7x + 5$.

2. Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую: $4x - 7x > 5 + 4$.

3. Приведем подобные слагаемые: $-3x > 9$.

Полученное неравенство $-3x > 9$ имеет вид $ax > b$, где $a = -3$ и $b = 9$. Следовательно, исходное неравенство является линейным.

Ответ: Линейным неравенством с одной переменной называют неравенство, которое можно представить в виде $ax > b$, $ax < b$, $ax \ge b$ или $ax \le b$, где $x$ — переменная, а $a$ и $b$ — некоторые числа, причём $a \ne 0$.

3. Расскажите, как, применяя правила решения неравенства, вы решите неравенство:

а) $2x + 7 \le 0$;

б) $5x + 6 > 7x + 10$.

Для решения неравенств используются следующие основные правила:

• Любой член неравенства можно перенести из одной части неравенства в другую, изменив его знак на противоположный.
• Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число, при этом знак неравенства не меняется.
• Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, при этом знак неравенства меняется на противоположный.

Применим эти правила для решения заданных неравенств.

а) $2x + 7 \le 0$

1. Чтобы изолировать слагаемое с переменной $x$ в левой части, перенесем число $7$ из левой части неравенства в правую. Согласно правилу, при переносе знак слагаемого меняется на противоположный.
$2x \le -7$

2. Теперь разделим обе части неравенства на коэффициент при $x$, то есть на $2$. Так как $2$ — положительное число, знак неравенства $\le$ не меняется.
$x \le \frac{-7}{2}$
$x \le -3.5$

Решением неравенства являются все числа, которые меньше или равны $-3.5$. Это можно записать в виде числового промежутка.
Ответ: $x \in (-\infty; -3.5]$

б) $5x + 6 > 7x + 10$

1. Соберем все слагаемые с переменной $x$ в левой части неравенства, а все числовые слагаемые — в правой. Для этого перенесем $7x$ из правой части в левую, а $6$ из левой в правую, не забывая менять их знаки на противоположные.
$5x - 7x > 10 - 6$

2. Приведем подобные слагаемые в обеих частях неравенства.
$-2x > 4$

3. Разделим обе части неравенства на коэффициент при $x$, то есть на $-2$. Так как мы делим на отрицательное число, знак неравенства $>$ необходимо поменять на противоположный, то есть на <.
$x < \frac{4}{-2}$
$x < -2$

Решением неравенства являются все числа, которые строго меньше $-2$.
Ответ: $x \in (-\infty; -2)$

4. В каком случае неравенства $f(x) > g(x)$ и $r(x) < s(x)$ называют равносильными?

Два неравенства, в данном случае $f(x) > g(x)$ и $r(x) < s(x)$, называют равносильными (или эквивалентными), если множества их решений полностью совпадают.

Это означает, что любое значение переменной $x$, которое является решением первого неравенства, также является решением и второго неравенства, и наоборот — любое решение второго неравенства является решением первого.

Более формально, если мы обозначим множество решений неравенства $f(x) > g(x)$ как $M_1$, а множество решений неравенства $r(x) < s(x)$ как $M_2$, то эти неравенства будут равносильными тогда и только тогда, когда $M_1 = M_2$.

Важно отметить, что это определение включает в себя и случай, когда оба неравенства не имеют решений. В такой ситуации множество решений для каждого из них является пустым множеством ($\emptyset$). Поскольку пустые множества равны друг другу ($M_1 = \emptyset$ и $M_2 = \emptyset$), то такие неравенства также считаются равносильными.

Пример:
Рассмотрим неравенства $x - 3 > 2$ и $2x > 10$.
1. Решением первого неравенства $x - 3 > 2$ является $x > 5$. Множество решений: $(5; +\infty)$.
2. Решением второго неравенства $2x > 10$ является $x > 5$. Множество решений: $(5; +\infty)$.
Поскольку множества решений обоих неравенств совпадают, эти неравенства являются равносильными.

Ответ: Неравенства $f(x) > g(x)$ и $r(x) < s(x)$ называют равносильными, если множество решений первого неравенства в точности совпадает с множеством решений второго неравенства.

Используя метод выделения квадрата двучлена, докажите неравенство:

35.46 а) $x^2 - 6x + 14 > 0;$

б) $a^2 + 10 > -6a;$

в) $y^2 + 70 > 16y;$

г) $b^2 + 20 > -8b.$

a) Чтобы доказать неравенство $x^2 - 6x + 14 > 0$, выделим в его левой части полный квадрат. Используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Представим выражение $x^2 - 6x$ как начало полного квадрата: $x^2 - 2 \cdot x \cdot 3$. Для полного квадрата не хватает слагаемого $3^2=9$. Добавим и вычтем 9:

$x^2 - 6x + 14 = (x^2 - 6x + 9) - 9 + 14 = (x-3)^2 + 5$.

Неравенство принимает вид $(x-3)^2 + 5 > 0$.

Выражение $(x-3)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому его значение всегда неотрицательно, то есть $(x-3)^2 \geq 0$ при любом значении $x$. Наименьшее значение выражения $(x-3)^2$ равно 0 (достигается при $x=3$).

Следовательно, наименьшее значение всего выражения $(x-3)^2 + 5$ равно $0 + 5 = 5$.

Так как $5 > 0$, то и выражение $(x-3)^2 + 5$ всегда больше нуля. Исходное неравенство доказано.

Ответ: Неравенство доказано.

б) Рассмотрим неравенство $a^2 + 10 > -6a$. Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить $a^2 + 6a + 10 > 0$.

Выделим в левой части полный квадрат, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Выражение $a^2 + 6a$ можно представить как $a^2 + 2 \cdot a \cdot 3$. Для полного квадрата нужен член $3^2=9$.

$a^2 + 6a + 10 = (a^2 + 6a + 9) - 9 + 10 = (a+3)^2 + 1$.

Неравенство принимает вид $(a+3)^2 + 1 > 0$.

Так как $(a+3)^2 \geq 0$ для любого действительного $a$, наименьшее значение левой части неравенства достигается при $a=-3$ и равно $0+1=1$.

Поскольку $1 > 0$, выражение $(a+3)^2 + 1$ всегда положительно. Исходное неравенство доказано.

Ответ: Неравенство доказано.

в) Рассмотрим неравенство $y^2 + 70 > 16y$. Перенесем $16y$ в левую часть: $y^2 - 16y + 70 > 0$.

Выделим полный квадрат в левой части. Выражение $y^2 - 16y$ можно представить как $y^2 - 2 \cdot y \cdot 8$. Для полного квадрата не хватает $8^2=64$.

$y^2 - 16y + 70 = (y^2 - 16y + 64) - 64 + 70 = (y-8)^2 + 6$.

Неравенство принимает вид $(y-8)^2 + 6 > 0$.

Квадрат любого выражения $(y-8)^2$ не может быть отрицательным, то есть $(y-8)^2 \geq 0$. Наименьшее значение этого выражения равно 0 (при $y=8$).

Тогда наименьшее значение левой части неравенства равно $0 + 6 = 6$. Так как $6 > 0$, то неравенство верно для любого значения $y$.

Ответ: Неравенство доказано.

г) Рассмотрим неравенство $b^2 + 20 > -8b$. Перенесем все слагаемые в левую часть: $b^2 + 8b + 20 > 0$.

Выделим в левой части полный квадрат. Выражение $b^2 + 8b$ можно представить как $b^2 + 2 \cdot b \cdot 4$. Для полного квадрата нужно слагаемое $4^2=16$.

$b^2 + 8b + 20 = (b^2 + 8b + 16) - 16 + 20 = (b+4)^2 + 4$.

Неравенство принимает вид $(b+4)^2 + 4 > 0$.

Выражение $(b+4)^2$ всегда неотрицательно: $(b+4)^2 \geq 0$ для любого $b$. Его наименьшее значение равно 0 (при $b=-4$).

Следовательно, наименьшее значение выражения $(b+4)^2 + 4$ равно $0+4=4$. Так как $4 > 0$, то неравенство всегда верно.

Ответ: Неравенство доказано.

35.47 а) $(s - 4)(2 - s) < 2;$

б) $z^2 + 6zt + 10t^2 \ge 0;$

в) $(a + 1)(3 - a) < 5;$

г) $m^2 - 12mn + 40n^2 \ge 0.$

а)

Дано неравенство $(s - 4)(2 - s) < 2$.

1. Раскроем скобки в левой части:

$2s - s^2 - 8 + 4s < 2$

2. Приведем подобные слагаемые:

$-s^2 + 6s - 8 < 2$

3. Перенесем все члены в левую часть, чтобы сравнить выражение с нулем:

$-s^2 + 6s - 8 - 2 < 0$

$-s^2 + 6s - 10 < 0$

4. Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный, чтобы коэффициент при старшей степени стал положительным:

$s^2 - 6s + 10 > 0$

5. Теперь проанализируем квадратный трехчлен $s^2 - 6s + 10$. Графиком функции $y = s^2 - 6s + 10$ является парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $s^2$ равен 1, что больше 0). Найдем дискриминант, чтобы определить наличие корней:

$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 36 - 40 = -4$

Поскольку дискриминант $D < 0$, у квадратного трехчлена нет действительных корней. Это значит, что парабола не пересекает ось абсцисс. Так как ее ветви направлены вверх, вся парабола расположена выше оси абсцисс. Следовательно, выражение $s^2 - 6s + 10$ всегда положительно при любом действительном значении $s$.

Альтернативный способ — выделить полный квадрат:

$s^2 - 6s + 10 = (s^2 - 2 \cdot s \cdot 3 + 3^2) - 3^2 + 10 = (s - 3)^2 - 9 + 10 = (s - 3)^2 + 1$

Так как $(s - 3)^2 \geq 0$ для любого $s$, то $(s - 3)^2 + 1 \geq 1$. Таким образом, выражение $(s - 3)^2 + 1$ всегда строго больше 0.

Неравенство $s^2 - 6s + 10 > 0$ верно для всех действительных чисел $s$.

Ответ: $s \in (-\infty; +\infty)$.

б)

Дано неравенство $z^2 + 6zt + 10t^2 \ge 0$.

1. Рассмотрим левую часть как квадратный трехчлен относительно переменной $z$ и выделим полный квадрат:

$z^2 + 6zt + 10t^2 = (z^2 + 2 \cdot z \cdot (3t) + (3t)^2) - (3t)^2 + 10t^2$

$= (z + 3t)^2 - 9t^2 + 10t^2$

$= (z + 3t)^2 + t^2$

2. Проанализируем полученное выражение. Оно представляет собой сумму двух квадратов: $(z + 3t)^2$ и $t^2$.

Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, поэтому:

$(z + 3t)^2 \geq 0$ для любых действительных $z$ и $t$.

$t^2 \geq 0$ для любого действительного $t$.

3. Сумма двух неотрицательных слагаемых также всегда неотрицательна:

$(z + 3t)^2 + t^2 \geq 0$

Таким образом, исходное неравенство $z^2 + 6zt + 10t^2 \ge 0$ справедливо для любых действительных значений $z$ и $t$. Равенство нулю достигается только в том случае, когда оба слагаемых одновременно равны нулю, то есть при $t=0$ и $z+3t=0$, что дает решение $z=0, t=0$.

Ответ: неравенство верно для любых действительных чисел $z$ и $t$.

в)

Дано неравенство $(a + 1)(3 - a) < 5$.

1. Раскроем скобки в левой части:

$3a - a^2 + 3 - a < 5$

2. Приведем подобные слагаемые:

$-a^2 + 2a + 3 < 5$

3. Перенесем все члены в левую часть:

$-a^2 + 2a + 3 - 5 < 0$

$-a^2 + 2a - 2 < 0$

4. Умножим обе части на $-1$ и сменим знак неравенства на противоположный:

$a^2 - 2a + 2 > 0$

5. Проанализируем квадратный трехчлен $a^2 - 2a + 2$. Графиком функции $y = a^2 - 2a + 2$ является парабола с ветвями вверх (коэффициент при $a^2$ равен $1 > 0$). Найдем ее дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$

Так как $D < 0$, у трехчлена нет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось абсцисс и, поскольку ее ветви направлены вверх, она полностью расположена выше оси. Следовательно, $a^2 - 2a + 2$ всегда положительно.

Альтернативный способ — выделить полный квадрат:

$a^2 - 2a + 2 = (a^2 - 2a + 1) + 1 = (a - 1)^2 + 1$

Так как $(a - 1)^2 \geq 0$ для любого $a$, то $(a - 1)^2 + 1 \geq 1 > 0$.

Неравенство $a^2 - 2a + 2 > 0$ выполняется при любых действительных значениях $a$.

Ответ: $a \in (-\infty; +\infty)$.

г)

Дано неравенство $m^2 - 12mn + 40n^2 \ge 0$.

1. Преобразуем левую часть неравенства, выделив полный квадрат относительно переменной $m$:

$m^2 - 12mn + 40n^2 = (m^2 - 2 \cdot m \cdot (6n) + (6n)^2) - (6n)^2 + 40n^2$

$= (m - 6n)^2 - 36n^2 + 40n^2$

$= (m - 6n)^2 + 4n^2$

2. Полученное выражение $(m - 6n)^2 + 4n^2$ представляет собой сумму двух квадратов, так как $4n^2 = (2n)^2$.

Выражение $(m - 6n)^2$ всегда неотрицательно: $(m - 6n)^2 \geq 0$.

Выражение $4n^2$ также всегда неотрицательно: $4n^2 \geq 0$.

3. Сумма двух неотрицательных выражений всегда неотрицательна:

$(m - 6n)^2 + 4n^2 \geq 0$

Таким образом, исходное неравенство $m^2 - 12mn + 40n^2 \ge 0$ верно для любых действительных значений $m$ и $n$. Равенство нулю достигается тогда и только тогда, когда оба слагаемых равны нулю: $m-6n=0$ и $4n^2=0$. Из второго уравнения получаем $n=0$, подставляя в первое, находим $m=0$.

Ответ: неравенство верно для любых действительных чисел $m$ и $n$.

35.48 Сравните числа:

а) 2,8 и $\sqrt{8}$;

б) $\sqrt{3}$ и 1,7;

в) $\sqrt{10}$ и 3,4;

г) $\sqrt{7}$ и 2,7.

а) Чтобы сравнить числа $2,8$ и $\sqrt{8}$, возведем оба числа в квадрат. Так как оба числа положительные, то если квадрат первого числа больше (или меньше) квадрата второго, то и первое число больше (или меньше) второго.

Возведем $2,8$ в квадрат: $2,8^2 = 2,8 \cdot 2,8 = 7,84$.

Возведем $\sqrt{8}$ в квадрат: $(\sqrt{8})^2 = 8$.

Теперь сравним полученные результаты: $7,84$ и $8$.

Поскольку $7,84 < 8$, то и $2,8 < \sqrt{8}$.

Ответ: $2,8 < \sqrt{8}$.

б) Сравним числа $\sqrt{3}$ и $1,7$. Для этого также возведем их в квадрат.

Возведем $\sqrt{3}$ в квадрат: $(\sqrt{3})^2 = 3$.

Возведем $1,7$ в квадрат: $1,7^2 = 1,7 \cdot 1,7 = 2,89$.

Сравним квадраты чисел: $3$ и $2,89$.

Так как $3 > 2,89$, то и $\sqrt{3} > 1,7$.

Ответ: $\sqrt{3} > 1,7$.

в) Сравним числа $\sqrt{10}$ и $3,4$. Возведем оба положительных числа в квадрат.

Возведем $\sqrt{10}$ в квадрат: $(\sqrt{10})^2 = 10$.

Возведем $3,4$ в квадрат: $3,4^2 = 3,4 \cdot 3,4 = 11,56$.

Сравним результаты: $10$ и $11,56$.

Поскольку $10 < 11,56$, то и $\sqrt{10} < 3,4$.

Ответ: $\sqrt{10} < 3,4$.

г) Сравним числа $\sqrt{7}$ и $2,7$. Возведем оба числа в квадрат.

Возведем $\sqrt{7}$ в квадрат: $(\sqrt{7})^2 = 7$.

Возведем $2,7$ в квадрат: $2,7^2 = 2,7 \cdot 2,7 = 7,29$.

Сравним полученные квадраты: $7$ и $7,29$.

Так как $7 < 7,29$, то и $\sqrt{7} < 2,7$.

Ответ: $\sqrt{7} < 2,7$.

Сравните числа a и b, если:

35.49 а) $a = \sqrt{5}$, $b = \frac{4}{5}\sqrt{8}$;

б) $a = \sqrt{3}$, $b = \frac{7}{6}\sqrt{2}$;

в) $a = \sqrt{8}$, $b = \frac{4}{5}\sqrt{13}$;

г) $a = \sqrt{7}$, $b = \frac{3}{5}\sqrt{19}.

а) $a = \sqrt{5}$, $b = \frac{4}{5}\sqrt{8}$

Чтобы сравнить числа $a$ и $b$, мы можем сравнить их квадраты, так как оба числа являются положительными. Если $a^2 > b^2$, то $a > b$, и наоборот.

Найдем квадрат числа $a$:

$a^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$

Найдем квадрат числа $b$:

$b^2 = (\frac{4}{5}\sqrt{8})^2 = (\frac{4}{5})^2 \cdot (\sqrt{8})^2 = \frac{16}{25} \cdot 8 = \frac{128}{25}$

Теперь сравним $a^2$ и $b^2$. Для этого приведем число $5$ к дроби со знаменателем 25:

$5 = \frac{5 \cdot 25}{25} = \frac{125}{25}$

Сравниваем дроби $\frac{125}{25}$ и $\frac{128}{25}$.

Так как $125 < 128$, то $\frac{125}{25} < \frac{128}{25}$.

Следовательно, $a^2 < b^2$, а поскольку $a$ и $b$ положительны, то $a < b$.

Ответ: $a < b$.

б) $a = \sqrt{3}$, $b = \frac{7}{6}\sqrt{2}$

Сравним квадраты положительных чисел $a$ и $b$.

Квадрат числа $a$:

$a^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$

Квадрат числа $b$:

$b^2 = (\frac{7}{6}\sqrt{2})^2 = (\frac{7}{6})^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = \frac{49}{36} \cdot 2 = \frac{98}{36} = \frac{49}{18}$

Теперь сравним $a^2 = 3$ и $b^2 = \frac{49}{18}$. Приведем число 3 к знаменателю 18:

$3 = \frac{3 \cdot 18}{18} = \frac{54}{18}$

Сравниваем дроби $\frac{54}{18}$ и $\frac{49}{18}$.

Так как $54 > 49$, то $\frac{54}{18} > \frac{49}{18}$.

Следовательно, $a^2 > b^2$, а значит $a > b$.

Ответ: $a > b$.

в) $a = \sqrt{8}$, $b = \frac{4}{5}\sqrt{13}$

Сравним квадраты положительных чисел $a$ и $b$.

Квадрат числа $a$:

$a^2 = (\sqrt{8})^2 = 8$

Квадрат числа $b$:

$b^2 = (\frac{4}{5}\sqrt{13})^2 = (\frac{4}{5})^2 \cdot (\sqrt{13})^2 = \frac{16}{25} \cdot 13 = \frac{208}{25}$

Теперь сравним $a^2 = 8$ и $b^2 = \frac{208}{25}$. Приведем число 8 к знаменателю 25:

$8 = \frac{8 \cdot 25}{25} = \frac{200}{25}$

Сравниваем дроби $\frac{200}{25}$ и $\frac{208}{25}$.

Так как $200 < 208$, то $\frac{200}{25} < \frac{208}{25}$.

Следовательно, $a^2 < b^2$, а значит $a < b$.

Ответ: $a < b$.

г) $a = \sqrt{7}$, $b = \frac{3}{5}\sqrt{19}$

Сравним квадраты положительных чисел $a$ и $b$.

Квадрат числа $a$:

$a^2 = (\sqrt{7})^2 = 7$

Квадрат числа $b$:

$b^2 = (\frac{3}{5}\sqrt{19})^2 = (\frac{3}{5})^2 \cdot (\sqrt{19})^2 = \frac{9}{25} \cdot 19 = \frac{171}{25}$

Теперь сравним $a^2 = 7$ и $b^2 = \frac{171}{25}$. Приведем число 7 к знаменателю 25:

$7 = \frac{7 \cdot 25}{25} = \frac{175}{25}$

Сравниваем дроби $\frac{175}{25}$ и $\frac{171}{25}$.

Так как $175 > 171$, то $\frac{175}{25} > \frac{171}{25}$.

Следовательно, $a^2 > b^2$, а значит $a > b$.

Ответ: $a > b$.

35.50 a) $a = \sqrt{2} + \sqrt{7}$, $b = \sqrt{5} + 2$;

б) $a = 2 + \sqrt{11}$, $b = \sqrt{5} + \sqrt{10}$;

в) $a = \sqrt{7} + \sqrt{5}$, $b = 3 + \sqrt{3}$;

г) $a = \sqrt{3} + \sqrt{15}$, $b = 4 + \sqrt{2}$.

а) Чтобы сравнить числа $a = \sqrt{2} + \sqrt{7}$ и $b = \sqrt{5} + 2$, возведем оба числа в квадрат, так как они оба положительные. Знак неравенства между их квадратами будет таким же, как и между самими числами.

Найдем квадрат числа $a$:

$a^2 = (\sqrt{2} + \sqrt{7})^2 = (\sqrt{2})^2 + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{7} + (\sqrt{7})^2 = 2 + 2\sqrt{14} + 7 = 9 + 2\sqrt{14}$.

Найдем квадрат числа $b$:

$b^2 = (\sqrt{5} + 2)^2 = (\sqrt{5})^2 + 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 2 + 2^2 = 5 + 4\sqrt{5} + 4 = 9 + 4\sqrt{5}$.

Теперь нужно сравнить $a^2 = 9 + 2\sqrt{14}$ и $b^2 = 9 + 4\sqrt{5}$. Для этого сравним $2\sqrt{14}$ и $4\sqrt{5}$.

Возведем оба этих числа в квадрат (они тоже положительные):

$(2\sqrt{14})^2 = 4 \cdot 14 = 56$.

$(4\sqrt{5})^2 = 16 \cdot 5 = 80$.

Так как $56 < 80$, то $2\sqrt{14} < 4\sqrt{5}$.

Следовательно, $9 + 2\sqrt{14} < 9 + 4\sqrt{5}$, что означает $a^2 < b^2$.

Поскольку $a$ и $b$ — положительные числа, отсюда следует, что $a < b$.

Ответ: $a < b$.

б) Сравним числа $a = 2 + \sqrt{11}$ и $b = \sqrt{5} + \sqrt{10}$. Оба числа положительные, поэтому мы можем сравнить их квадраты.

Найдем квадрат числа $a$:

$a^2 = (2 + \sqrt{11})^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{11} + (\sqrt{11})^2 = 4 + 4\sqrt{11} + 11 = 15 + 4\sqrt{11}$.

Найдем квадрат числа $b$:

$b^2 = (\sqrt{5} + \sqrt{10})^2 = (\sqrt{5})^2 + 2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{10} + (\sqrt{10})^2 = 5 + 2\sqrt{50} + 10 = 15 + 2\sqrt{50}$.

Теперь сравним $a^2 = 15 + 4\sqrt{11}$ и $b^2 = 15 + 2\sqrt{50}$. Отбросим общее слагаемое 15 и сравним $4\sqrt{11}$ и $2\sqrt{50}$.

Чтобы их сравнить, возведем оба числа в квадрат:

$(4\sqrt{11})^2 = 16 \cdot 11 = 176$.

$(2\sqrt{50})^2 = 4 \cdot 50 = 200$.

Так как $176 < 200$, то $4\sqrt{11} < 2\sqrt{50}$.

Следовательно, $15 + 4\sqrt{11} < 15 + 2\sqrt{50}$, что означает $a^2 < b^2$.

Поскольку $a$ и $b$ — положительные числа, отсюда следует, что $a < b$.

Ответ: $a < b$.

в) Сравним числа $a = \sqrt{7} + \sqrt{5}$ и $b = 3 + \sqrt{3}$. Оба числа положительные, поэтому мы можем сравнить их квадраты.

Найдем квадрат числа $a$:

$a^2 = (\sqrt{7} + \sqrt{5})^2 = (\sqrt{7})^2 + 2 \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 7 + 2\sqrt{35} + 5 = 12 + 2\sqrt{35}$.

Найдем квадрат числа $b$:

$b^2 = (3 + \sqrt{3})^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 9 + 6\sqrt{3} + 3 = 12 + 6\sqrt{3}$.

Теперь сравним $a^2 = 12 + 2\sqrt{35}$ и $b^2 = 12 + 6\sqrt{3}$. Отбросим общее слагаемое 12 и сравним $2\sqrt{35}$ и $6\sqrt{3}$.

Разделим оба выражения на 2, чтобы упростить сравнение: $\sqrt{35}$ и $3\sqrt{3}$.

Возведем оба положительных выражения в квадрат:

$(\sqrt{35})^2 = 35$.

$(3\sqrt{3})^2 = 9 \cdot 3 = 27$.

Так как $35 > 27$, то $\sqrt{35} > 3\sqrt{3}$, и, соответственно, $2\sqrt{35} > 6\sqrt{3}$.

Следовательно, $12 + 2\sqrt{35} > 12 + 6\sqrt{3}$, что означает $a^2 > b^2$.

Поскольку $a$ и $b$ — положительные числа, отсюда следует, что $a > b$.

Ответ: $a > b$.

г) Сравним числа $a = \sqrt{3} + \sqrt{15}$ и $b = 4 + \sqrt{2}$. Оба числа положительные, поэтому мы можем сравнить их квадраты.

Найдем квадрат числа $a$:

$a^2 = (\sqrt{3} + \sqrt{15})^2 = (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{15} + (\sqrt{15})^2 = 3 + 2\sqrt{45} + 15 = 18 + 2\sqrt{45}$.

Упростим корень: $2\sqrt{45} = 2\sqrt{9 \cdot 5} = 2 \cdot 3\sqrt{5} = 6\sqrt{5}$.

Итак, $a^2 = 18 + 6\sqrt{5}$.

Найдем квадрат числа $b$:

$b^2 = (4 + \sqrt{2})^2 = 4^2 + 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 16 + 8\sqrt{2} + 2 = 18 + 8\sqrt{2}$.

Теперь сравним $a^2 = 18 + 6\sqrt{5}$ и $b^2 = 18 + 8\sqrt{2}$. Отбросим общее слагаемое 18 и сравним $6\sqrt{5}$ и $8\sqrt{2}$.

Разделим оба выражения на 2 для упрощения: $3\sqrt{5}$ и $4\sqrt{2}$.

Возведем оба положительных выражения в квадрат:

$(3\sqrt{5})^2 = 9 \cdot 5 = 45$.

$(4\sqrt{2})^2 = 16 \cdot 2 = 32$.

Так как $45 > 32$, то $3\sqrt{5} > 4\sqrt{2}$, и, соответственно, $6\sqrt{5} > 8\sqrt{2}$.

Следовательно, $18 + 6\sqrt{5} > 18 + 8\sqrt{2}$, что означает $a^2 > b^2$.

Поскольку $a$ и $b$ — положительные числа, отсюда следует, что $a > b$.

Ответ: $a > b$.

35.51 a) $a = \sqrt{37} - \sqrt{14}, b = 6 - \sqrt{15}$;

в) $a = \sqrt{17} - \sqrt{15}, b = \sqrt{7} - \sqrt{5}$;

б) $a = \sqrt{11} - \sqrt{10}, b = \sqrt{6} - \sqrt{5}$;

г) $a = \sqrt{10} - \sqrt{7}, b = \sqrt{11} - \sqrt{6}$.

а) Сравним числа $a = \sqrt{37} - \sqrt{14}$ и $b = 6 - \sqrt{15}$.

Оба числа положительны, так как $\sqrt{37} > \sqrt{14}$ (поскольку $37 > 14$) и $6 = \sqrt{36} > \sqrt{15}$ (поскольку $36 > 15$). Поскольку $a > 0$ и $b > 0$, мы можем сравнить их квадраты. Если $a^2 > b^2$, то и $a > b$.

Возведем оба числа в квадрат:

$a^2 = (\sqrt{37} - \sqrt{14})^2 = (\sqrt{37})^2 - 2\sqrt{37 \cdot 14} + (\sqrt{14})^2 = 37 - 2\sqrt{518} + 14 = 51 - 2\sqrt{518}$.

$b^2 = (6 - \sqrt{15})^2 = 6^2 - 2 \cdot 6 \sqrt{15} + (\sqrt{15})^2 = 36 - 12\sqrt{15} + 15 = 51 - 12\sqrt{15}$.

Представим $12\sqrt{15}$ в виде $2\sqrt{k}$: $12\sqrt{15} = 2 \cdot 6\sqrt{15} = 2\sqrt{36 \cdot 15} = 2\sqrt{540}$.

Теперь сравним $a^2 = 51 - 2\sqrt{518}$ и $b^2 = 51 - 2\sqrt{540}$. Для этого достаточно сравнить выражения $2\sqrt{518}$ и $2\sqrt{540}$.

Так как $518 < 540$, то $\sqrt{518} < \sqrt{540}$.

Умножим обе части на -2, при этом знак неравенства изменится на противоположный: $-2\sqrt{518} > -2\sqrt{540}$.

Прибавим 51 к обеим частям: $51 - 2\sqrt{518} > 51 - 2\sqrt{540}$.

Следовательно, $a^2 > b^2$. Так как $a$ и $b$ положительны, отсюда следует, что $a > b$.

Ответ: $a > b$.

б) Сравним числа $a = \sqrt{11} - \sqrt{10}$ и $b = \sqrt{6} - \sqrt{5}$.

Оба числа положительны. Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt{x+1} - \sqrt{x}$ при $x > 0$.

Преобразуем выражение для функции, домножив и разделив на сопряженное выражение:

$f(x) = \frac{(\sqrt{x+1} - \sqrt{x})(\sqrt{x+1} + \sqrt{x})}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}} = \frac{(x+1) - x}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}}$.

С увеличением $x$, знаменатель $\sqrt{x+1} + \sqrt{x}$ увеличивается, следовательно, значение дроби уменьшается. Таким образом, функция $f(x)$ является убывающей.

Наши числа можно представить в виде значений этой функции:

$a = \sqrt{11} - \sqrt{10} = f(10)$.

$b = \sqrt{6} - \sqrt{5} = f(5)$.

Поскольку $10 > 5$ и функция $f(x)$ убывающая, то $f(10) < f(5)$.

Следовательно, $a < b$.

Ответ: $a < b$.

в) Сравним числа $a = \sqrt{17} - \sqrt{15}$ и $b = \sqrt{7} - \sqrt{5}$.

Оба числа положительны. Преобразуем оба выражения, домножив и разделив на сопряженные им выражения:

$a = \sqrt{17} - \sqrt{15} = \frac{(\sqrt{17} - \sqrt{15})(\sqrt{17} + \sqrt{15})}{\sqrt{17} + \sqrt{15}} = \frac{17-15}{\sqrt{17} + \sqrt{15}} = \frac{2}{\sqrt{17} + \sqrt{15}}$.

$b = \sqrt{7} - \sqrt{5} = \frac{(\sqrt{7} - \sqrt{5})(\sqrt{7} + \sqrt{5})}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} = \frac{7-5}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{7} + \sqrt{5}}$.

Теперь нам нужно сравнить две дроби с одинаковыми числителями (равными 2). Та дробь будет меньше, у которой знаменатель больше.

Сравним знаменатели: $\sqrt{17} + \sqrt{15}$ и $\sqrt{7} + \sqrt{5}$.

Так как $17 > 7$, то $\sqrt{17} > \sqrt{7}$.

Так как $15 > 5$, то $\sqrt{15} > \sqrt{5}$.

Складывая эти два неравенства, получаем: $\sqrt{17} + \sqrt{15} > \sqrt{7} + \sqrt{5}$.

Поскольку знаменатель первой дроби больше знаменателя второй, а числители равны, то первая дробь меньше второй.

Следовательно, $\frac{2}{\sqrt{17} + \sqrt{15}} < \frac{2}{\sqrt{7} + \sqrt{5}}$, что означает $a < b$.

Ответ: $a < b$.

г) Сравним числа $a = \sqrt{10} - \sqrt{7}$ и $b = \sqrt{11} - \sqrt{6}$.

Оба числа положительны, так как $\sqrt{10} > \sqrt{7}$ и $\sqrt{11} > \sqrt{6}$. Поскольку $a > 0$ и $b > 0$, мы можем сравнить их квадраты.

Возведем оба числа в квадрат:

$a^2 = (\sqrt{10} - \sqrt{7})^2 = 10 - 2\sqrt{10 \cdot 7} + 7 = 17 - 2\sqrt{70}$.

$b^2 = (\sqrt{11} - \sqrt{6})^2 = 11 - 2\sqrt{11 \cdot 6} + 6 = 17 - 2\sqrt{66}$.

Теперь сравним $a^2$ и $b^2$. Для этого сравним выражения $17 - 2\sqrt{70}$ и $17 - 2\sqrt{66}$.

Это эквивалентно сравнению $-2\sqrt{70}$ и $-2\sqrt{66}$.

Сравним подкоренные выражения: $70 > 66$, следовательно $\sqrt{70} > \sqrt{66}$.

Умножим обе части на -2, при этом знак неравенства изменится на противоположный: $-2\sqrt{70} < -2\sqrt{66}$.

Прибавим 17 к обеим частям: $17 - 2\sqrt{70} < 17 - 2\sqrt{66}$.

Следовательно, $a^2 < b^2$. Так как $a$ и $b$ положительны, отсюда следует, что $a < b$.

Ответ: $a < b$.

Не выполняя вычислений, сравните значения числовых выражений:

35.52 а) $15.4 : 3.5$ и $15.4 : 3.4$;

б) $-22.1 \cdot 2.5$ и $-22 \cdot 2.5$;

в) $238 \cdot 2$ и $237 \cdot 2$;

г) $-5.2 : 4.3$ и $-5.1 : 4.3$.

а) В этих выражениях мы делим одно и то же положительное число ($15,4$) на разные делители. Сравним делители: $3,5 > 3,4$. При делении положительного числа, чем больше делитель, тем меньше частное. Так как мы делим на большее число в первом выражении, его значение будет меньше.
Следовательно, $15,4 : 3,5 < 15,4 : 3,4$.
Ответ: $15,4 : 3,5 < 15,4 : 3,4$

б) В этих выражениях мы умножаем разные числа на один и тот же положительный множитель ($2,5$). Сравним первые множители: $-22,1$ и $-22$. Поскольку $-22,1$ находится левее на числовой оси, чем $-22$, то $-22,1 < -22$. При умножении обеих частей неравенства на положительное число ($2,5$), знак неравенства сохраняется.
Следовательно, $-22,1 \cdot 2,5 < -22 \cdot 2,5$.
Ответ: $-22,1 \cdot 2,5 < -22 \cdot 2,5$

в) Здесь мы умножаем разные числа на один и тот же положительный множитель ($2$). Сравним первые множители: $238$ и $237$. Очевидно, что $238 > 237$. При умножении обеих частей неравенства на положительное число ($2$), знак неравенства не изменяется.
Следовательно, $238 \cdot 2 > 237 \cdot 2$.
Ответ: $238 \cdot 2 > 237 \cdot 2$

г) В этих выражениях мы делим разные отрицательные числа на одно и то же положительное число ($4,3$). Сравним делимые: $-5,2$ и $-5,1$. Так как $-5,2$ находится левее на числовой оси, чем $-5,1$, то $-5,2 < -5,1$. При делении обеих частей неравенства на положительное число ($4,3$), знак неравенства сохраняется.
Следовательно, $-5,2 : 4,3 < -5,1 : 4,3$.
Ответ: $-5,2 : 4,3 < -5,1 : 4,3$

35.53 а) $1,8 : 2,7$ и $1,82 \cdot 2,7$;

б) $32,5 \cdot 0,5$ и $32,5 : 0,5$;

в) $492 \cdot 0,3$ и $492 : 0,3$;

г) $8,34 : 1,1$ и $8,34 \cdot 1,1$.

а) Сравним выражения $1,8 : 2,7$ и $1,82 : 2,7$.

В этой паре выражений мы делим два разных числа ($1,8$ и $1,82$) на одно и то же положительное число ($2,7$). Если делитель положителен, то чем больше делимое, тем больше будет частное. Сравним делимые: $1,8$ и $1,82$.

Так как $1,8 < 1,82$ (или $1,80 < 1,82$), то и результат деления $1,8$ на $2,7$ будет меньше результата деления $1,82$ на $2,7$.

Таким образом, $1,8 : 2,7 < 1,82 : 2,7$.

Для проверки можно выполнить вычисления:

$1,8 : 2,7 = \frac{1,8}{2,7} = \frac{18}{27} = \frac{2}{3}$

$1,82 : 2,7 = \frac{1,82}{2,70} = \frac{182}{270} = \frac{91}{135}$

Сравним дроби $\frac{2}{3}$ и $\frac{91}{135}$. Приведем дробь $\frac{2}{3}$ к знаменателю 135: $\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 45}{3 \cdot 45} = \frac{90}{135}$.

Поскольку $\frac{90}{135} < \frac{91}{135}$, то и $1,8 : 2,7 < 1,82 : 2,7$.

Ответ: $1,8 : 2,7 < 1,82 : 2,7$.

б) Сравним выражения $32,5 \cdot 0,5$ и $32,5 : 0,5$.

В этой паре выражений мы умножаем и делим одно и то же число ($32,5$) на $0,5$. Число $0,5$ находится в интервале от 0 до 1 ($0 < 0,5 < 1$).

При умножении положительного числа на число, меньшее 1, результат будет меньше исходного числа: $32,5 \cdot 0,5 < 32,5$.

При делении положительного числа на число, меньшее 1, результат будет больше исходного числа: $32,5 : 0,5 > 32,5$.

Из этого следует, что $32,5 \cdot 0,5 < 32,5 : 0,5$.

Для проверки выполним вычисления:

$32,5 \cdot 0,5 = 16,25$ (умножить на 0,5 — то же самое, что разделить на 2).

$32,5 : 0,5 = 65$ (разделить на 0,5 — то же самое, что умножить на 2).

Так как $16,25 < 65$, наше сравнение верно.

Ответ: $32,5 \cdot 0,5 < 32,5 : 0,5$.

в) Сравним выражения $492 \cdot 0,3$ и $492 : 0,3$.

Этот случай аналогичен предыдущему. Мы умножаем и делим число 492 на $0,3$, которое меньше 1 ($0 < 0,3 < 1$).

Умножение на $0,3$ уменьшит число 492, а деление на $0,3$ увеличит его. Следовательно, произведение будет меньше частного.

$492 \cdot 0,3 < 492 : 0,3$.

Для проверки выполним вычисления:

$492 \cdot 0,3 = 147,6$.

$492 : 0,3 = 4920 : 3 = 1640$.

Так как $147,6 < 1640$, наше сравнение верно.

Ответ: $492 \cdot 0,3 < 492 : 0,3$.

г) Сравним выражения $8,34 : 1,1$ и $8,34 \cdot 1,1$.

Здесь мы делим и умножаем число $8,34$ на $1,1$, которое больше 1 ($1,1 > 1$).

При делении положительного числа на число, большее 1, результат будет меньше исходного числа: $8,34 : 1,1 < 8,34$.

При умножении положительного числа на число, большее 1, результат будет больше исходного числа: $8,34 \cdot 1,1 > 8,34$.

Из этого следует, что $8,34 : 1,1 < 8,34 \cdot 1,1$.

Для проверки выполним вычисления:

$8,34 : 1,1 = 83,4 : 11 \approx 7,58$

$8,34 \cdot 1,1 = 9,174$.

Так как $7,58... < 9,174$, наше сравнение верно.

Ответ: $8,34 : 1,1 < 8,34 \cdot 1,1$.