Страница 192, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1 Сократите дробь $ \frac{2x^2 + 5x - 7}{x^2 - 8x + 7} $.

Для того чтобы сократить дробь $\frac{2x^2 + 5x - 7}{x^2 - 8x + 7}$, необходимо разложить ее числитель и знаменатель на множители. Разложение квадратного трехчлена $ax^2+bx+c$ на множители выполняется по формуле $a(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — это корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$.

Сначала разложим на множители числитель $2x^2 + 5x - 7$. Для этого найдем корни уравнения $2x^2 + 5x - 7 = 0$.
Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 25 + 56 = 81$.
Теперь найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 9}{4} = \frac{4}{4} = 1$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 - 9}{4} = \frac{-14}{4} = -\frac{7}{2}$.
Таким образом, разложение числителя на множители выглядит так:
$2x^2 + 5x - 7 = 2(x - 1)(x - (-\frac{7}{2})) = 2(x - 1)(x + \frac{7}{2}) = (x - 1)(2x + 7)$.

Далее разложим на множители знаменатель $x^2 - 8x + 7$. Найдем корни уравнения $x^2 - 8x + 7 = 0$.
Воспользуемся теоремой Виета: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. То есть, $x_1 + x_2 = 8$ и $x_1 \cdot x_2 = 7$.
Подбором находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 7$.
Следовательно, разложение знаменателя на множители:
$x^2 - 8x + 7 = (x - 1)(x - 7)$.

Теперь подставим полученные разложения в исходную дробь и произведем сокращение на общий множитель $(x - 1)$:
$\frac{2x^2 + 5x - 7}{x^2 - 8x + 7} = \frac{(x - 1)(2x + 7)}{(x - 1)(x - 7)}$.
Сокращение возможно при условии, что $x - 1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$.
$\frac{\cancel{(x - 1)}(2x + 7)}{\cancel{(x - 1)}(x - 7)} = \frac{2x + 7}{x - 7}$.

Ответ: $\frac{2x + 7}{x - 7}$.

Решите уравнение:

a) $2(x + 4) - x(x - 5) = 7(x - 8)$;

б) $6x^4 + x^2 - 1 = 0$.

а) $2(x + 4) - x(x - 5) = 7(x - 8)$

Для решения данного уравнения сначала раскроем все скобки в обеих частях уравнения:

$2 \cdot x + 2 \cdot 4 - x \cdot x - x \cdot (-5) = 7 \cdot x - 7 \cdot 8$

$2x + 8 - x^2 + 5x = 7x - 56$

Теперь приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$-x^2 + (2x + 5x) + 8 = 7x - 56$

$-x^2 + 7x + 8 = 7x - 56$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы свести его к стандартному виду:

$-x^2 + 7x - 7x + 8 + 56 = 0$

$-x^2 + 64 = 0$

Умножим обе части уравнения на $-1$ для удобства:

$x^2 - 64 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Перенесем свободный член в правую часть:

$x^2 = 64$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения, чтобы найти $x$:

$x = \pm\sqrt{64}$

Таким образом, уравнение имеет два корня:

$x_1 = 8$

$x_2 = -8$

Ответ: $-8; 8$.

б) $6x^4 + x^2 - 1 = 0$

Это биквадратное уравнение. Для его решения введем замену переменной. Пусть $t = x^2$. Учитывая, что квадрат любого действительного числа является неотрицательным, должно выполняться условие $t \ge 0$.

Подставим новую переменную в исходное уравнение:

$6(x^2)^2 + x^2 - 1 = 0$

$6t^2 + t - 1 = 0$

Мы получили стандартное квадратное уравнение относительно переменной $t$. Решим его с помощью дискриминанта.

Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

Для нашего уравнения $a=6, b=1, c=-1$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$t_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 + 5}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

$t_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 - 5}{12} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$

Теперь необходимо проверить найденные значения $t$ на соответствие условию $t \ge 0$.

Корень $t_1 = \frac{1}{3}$ удовлетворяет условию, так как $\frac{1}{3} \ge 0$.

Корень $t_2 = -\frac{1}{2}$ не удовлетворяет условию, так как $-\frac{1}{2} < 0$. Следовательно, это посторонний корень.

Выполним обратную замену для подходящего корня $t_1 = \frac{1}{3}$:

$x^2 = \frac{1}{3}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x = \pm\sqrt{\frac{1}{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$x = \pm\frac{1}{\sqrt{3}} = \pm\frac{1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $\pm\frac{\sqrt{3}}{3}$.

3. Докажите, что не существует такого значения k, при котором уравнение $x^2 - 2kx + k - 3 = 0$ имело бы только один корень.

Данное уравнение $x^2 - 2kx + k - 3 = 0$ является квадратным относительно переменной $x$. Квадратное уравнение имеет ровно один (или два совпадающих) действительный корень в том и только в том случае, когда его дискриминант равен нулю.

Выпишем коэффициенты уравнения в стандартном виде $ax^2 + bx + c = 0$:
$a = 1$
$b = -2k$
$c = k - 3$

Теперь найдем дискриминант $D$ данного уравнения по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-2k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (k - 3) = 4k^2 - 4(k - 3) = 4k^2 - 4k + 12$.

Условие, при котором уравнение имеет один корень, — это $D = 0$. Приравняем полученное выражение для дискриминанта к нулю, чтобы найти соответствующие значения $k$:
$4k^2 - 4k + 12 = 0$

Это квадратное уравнение относительно переменной $k$. Для упрощения разделим обе его части на 4:
$k^2 - k + 3 = 0$

Чтобы определить, существуют ли действительные значения $k$, удовлетворяющие этому уравнению, найдем его дискриминант (обозначим его $D_k$, чтобы не путать с предыдущим):
$D_k = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 1 - 12 = -11$.

Так как дискриминант $D_k$ уравнения $k^2 - k + 3 = 0$ отрицателен ($D_k = -11 < 0$), это уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что не существует такого действительного значения $k$, при котором дискриминант $D$ исходного уравнения $x^2 - 2kx + k - 3 = 0$ обращается в ноль.

Следовательно, исходное уравнение не может иметь ровно один корень ни при каком значении $k$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Было доказано, что условие наличия одного корня (равенство дискриминанта нулю) приводит к уравнению $k^2 - k + 3 = 0$, которое не имеет действительных решений для $k$, поскольку его собственный дискриминант равен -11. Следовательно, не существует такого значения $k$, при котором исходное уравнение имело бы только один корень.

4 Решите уравнение $\frac{1}{3x + 1} + \frac{1}{9x^2 + 6x + 1} = 2$

Данное уравнение:

$$ \frac{1}{3x+1} + \frac{1}{9x^2+6x+1} = 2 $$

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ)

Знаменатели дробей в уравнении не могут быть равны нулю. Поэтому необходимо исключить значения $x$, которые обращают знаменатели в ноль.

Первый знаменатель: $3x + 1 \neq 0 \implies 3x \neq -1 \implies x \neq -\frac{1}{3}$.

Второй знаменатель: $9x^2+6x+1$. Заметим, что этот трехчлен является полным квадратом суммы по формуле $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.

В нашем случае $a = 3x$ и $b = 1$. Тогда $9x^2+6x+1 = (3x)^2 + 2 \cdot (3x) \cdot 1 + 1^2 = (3x+1)^2$.

Таким образом, условие $9x^2+6x+1 \neq 0$ равносильно условию $(3x+1)^2 \neq 0$, что, в свою очередь, означает $3x+1 \neq 0$. Это то же самое ограничение, что и для первого знаменателя.

Итак, ОДЗ уравнения: $x \neq -\frac{1}{3}$.

2. Преобразование и решение уравнения

Подставим разложенный на множители знаменатель в исходное уравнение:

$$ \frac{1}{3x+1} + \frac{1}{(3x+1)^2} = 2 $$

Для упрощения решения введем замену переменной. Пусть $t = \frac{1}{3x+1}$. Тогда уравнение примет вид квадратного уравнения относительно $t$:

$$ t + t^2 = 2 $$

Перенесем все члены в левую часть:

$$ t^2 + t - 2 = 0 $$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна $-1$, а их произведение равно $-2$. Корнями являются $t_1 = 1$ и $t_2 = -2$.

3. Обратная замена

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.

Случай 1: $t = 1$

$$ \frac{1}{3x+1} = 1 $$

Умножим обе части на $3x+1$ (мы знаем, что это выражение не равно нулю):

$$ 1 = 3x + 1 $$

$$ 3x = 0 $$

$$ x_1 = 0 $$

Случай 2: $t = -2$

$$ \frac{1}{3x+1} = -2 $$

Умножим обе части на $3x+1$:

$$ 1 = -2(3x+1) $$

$$ 1 = -6x - 2 $$

$$ 3 = -6x $$

$$ x_2 = \frac{3}{-6} = -\frac{1}{2} $$

4. Проверка корней

Найденные корни $x_1 = 0$ и $x_2 = -\frac{1}{2}$ необходимо проверить на соответствие ОДЗ ($x \neq -\frac{1}{3}$).

Оба корня $0 \neq -\frac{1}{3}$ и $-\frac{1}{2} \neq -\frac{1}{3}$ удовлетворяют ОДЗ.

Следовательно, оба значения являются решениями уравнения.

Ответ: $x_1 = 0$, $x_2 = -\frac{1}{2}$.

5 Автомобиль, пройдя путь от А до В, равный 300 км, повернул назад, увеличив скорость на 12 км/ч. В результате на обратный путь он затратил на 50 мин меньше, чем на путь от А до В. Найдите первоначальную скорость автомобиля.

Пусть $x$ км/ч — первоначальная скорость автомобиля. Тогда скорость на обратном пути равна $(x + 12)$ км/ч. Расстояние от А до В равно 300 км.

Время, затраченное на путь из А в В, можно выразить формулой $t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{300}{x}$ ч.

Время, затраченное на обратный путь из В в А, составляет $t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{300}{x + 12}$ ч.

По условию задачи, на обратный путь автомобиль затратил на 50 минут меньше. Переведем минуты в часы: 50 мин = $\frac{50}{60}$ ч = $\frac{5}{6}$ ч.

Разница во времени составляет $t_1 - t_2 = \frac{5}{6}$. Составим и решим уравнение:

$\frac{300}{x} - \frac{300}{x + 12} = \frac{5}{6}$

Чтобы решить уравнение, приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x + 12)$:

$\frac{300(x + 12) - 300x}{x(x + 12)} = \frac{5}{6}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{300x + 3600 - 300x}{x^2 + 12x} = \frac{5}{6}$

$\frac{3600}{x^2 + 12x} = \frac{5}{6}$

Используем основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$5 \cdot (x^2 + 12x) = 3600 \cdot 6$

$5x^2 + 60x = 21600$

Разделим обе части уравнения на 5, чтобы упростить его:

$x^2 + 12x = 4320$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 12x - 4320 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4320) = 144 + 17280 = 17424$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{17424} = 132$.

Теперь найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-12 + 132}{2} = \frac{120}{2} = 60$

$x_2 = \frac{-12 - 132}{2} = \frac{-144}{2} = -72$

Поскольку скорость не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -72$ не является решением задачи. Следовательно, первоначальная скорость автомобиля была 60 км/ч.

Ответ: 60 км/ч.

6 Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $2x^2 - 9x - 12 = 0$. Не решая уравнения, найдите:

а) $x_1^2x_2 + x_1x_2^2$;

б) $\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2}$;

в) $x_1^3 + x_2^3$.

Для решения этой задачи, не находя корней уравнения, мы воспользуемся теоремой Виета. Для квадратного уравнения общего вида $ax^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
• Произведение корней: $x_1x_2 = \frac{c}{a}$

В нашем уравнении $2x^2 - 9x - 12 = 0$ коэффициенты равны: $a = 2$, $b = -9$, $c = -12$.

Найдем сумму и произведение его корней:

$x_1 + x_2 = -\frac{-9}{2} = \frac{9}{2}$

$x_1x_2 = \frac{-12}{2} = -6$

Теперь мы можем использовать эти значения для нахождения требуемых выражений.

а) $x_1^2x_2 + x_1x_2^2$

Сначала преобразуем выражение, вынеся за скобки общий множитель $x_1x_2$:

$x_1^2x_2 + x_1x_2^2 = x_1x_2(x_1 + x_2)$

Теперь подставим найденные значения суммы и произведения корней:

$x_1x_2(x_1 + x_2) = (-6) \cdot \left(\frac{9}{2}\right) = -\frac{54}{2} = -27$

Ответ: $-27$.

б) $\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2}$

Приведем дроби к общему знаменателю $x_1x_2$:

$\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} = \frac{x_2^2 + x_1^2}{x_1x_2}$

Нам нужно выразить $x_1^2 + x_2^2$ через $x_1 + x_2$ и $x_1x_2$. Для этого воспользуемся формулой квадрата суммы: $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$.

Отсюда $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.

Подставим это в наше выражение:

$\frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2}{x_1x_2}$

Теперь подставим числовые значения:

$\frac{\left(\frac{9}{2}\right)^2 - 2 \cdot (-6)}{-6} = \frac{\frac{81}{4} + 12}{-6} = \frac{\frac{81}{4} + \frac{48}{4}}{-6} = \frac{\frac{129}{4}}{-6} = -\frac{129}{4 \cdot 6} = -\frac{129}{24}$

Сократим дробь на 3:

$-\frac{129 \div 3}{24 \div 3} = -\frac{43}{8}$

Ответ: $-\frac{43}{8}$.

в) $x_1^3 + x_2^3$

Для нахождения суммы кубов корней воспользуемся тождеством:

$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2)$

Мы уже знаем, что $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = \frac{129}{4}$.

Тогда $x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2 = (x_1^2 + x_2^2) - x_1x_2 = \frac{129}{4} - (-6) = \frac{129}{4} + 6 = \frac{129 + 24}{4} = \frac{153}{4}$.

Подставим все значения в исходную формулу:

$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2) \cdot (\frac{153}{4}) = \frac{9}{2} \cdot \frac{153}{4} = \frac{9 \cdot 153}{2 \cdot 4} = \frac{1377}{8}$

Альтернативный способ:

Можно использовать другую формулу: $x_1^3 + x_2^3 = (x_1+x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1+x_2)$.

Подставим значения:

$\left(\frac{9}{2}\right)^3 - 3(-6)\left(\frac{9}{2}\right) = \frac{729}{8} + 18\left(\frac{9}{2}\right) = \frac{729}{8} + 9 \cdot 9 = \frac{729}{8} + 81 = \frac{729 + 81 \cdot 8}{8} = \frac{729 + 648}{8} = \frac{1377}{8}$

Ответ: $\frac{1377}{8}$.

7 Дано уравнение $x^2 + (t^2 - 3t - 11)x + 6t = 0$. Известно, что сумма его корней равна 1. Найдите значение параметра $t$ и корни уравнения.

Данное уравнение $x^2 + (t^2 - 3t - 11)x + 6t = 0$ является квадратным уравнением вида $ax^2+bx+c=0$, где коэффициент при старшем члене $a=1$.

Нахождение значения параметра t

Для приведенного квадратного уравнения (где $a=1$) по теореме Виета сумма корней $x_1$ и $x_2$ равна коэффициенту при $x$, взятому с противоположным знаком:

$x_1 + x_2 = -(t^2 - 3t - 11)$.

По условию задачи известно, что сумма корней равна 1, то есть $x_1 + x_2 = 1$. Приравняем правые части двух выражений:

$-(t^2 - 3t - 11) = 1$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно параметра $t$:

$-t^2 + 3t + 11 = 1$

$-t^2 + 3t + 10 = 0$

Умножим обе части уравнения на -1 для удобства:

$t^2 - 3t - 10 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $t$. Найдем его корни с помощью дискриминанта $D_t$:

$D_t = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$.

Корни для $t$ равны:

$t_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 7}{2} = 5$

$t_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 7}{2} = -2$

Мы получили два возможных значения для параметра $t$. Однако, исходное уравнение должно иметь действительные корни, чтобы можно было говорить об их сумме. Проверим условие существования корней: дискриминант исходного уравнения $D_x$ должен быть неотрицательным ($D_x \ge 0$).

$D_x = b^2 - 4ac = (t^2 - 3t - 11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (6t)$.

Из нашего предыдущего шага мы знаем, что $t^2 - 3t - 11 = -1$. Подставим это в формулу для $D_x$:

$D_x = (-1)^2 - 24t = 1 - 24t$.

Теперь проверим условие $D_x \ge 0$ для каждого найденного значения $t$:

1. При $t = 5$: $D_x = 1 - 24 \cdot 5 = 1 - 120 = -119$. Так как $D_x < 0$, при данном значении $t$ уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, $t=5$ не является решением.

2. При $t = -2$: $D_x = 1 - 24 \cdot (-2) = 1 + 48 = 49$. Так как $D_x > 0$, при данном значении $t$ уравнение имеет два действительных корня. Следовательно, $t=-2$ является решением.

Нахождение корней уравнения

Мы установили, что единственное подходящее значение параметра $t=-2$. Подставим его в исходное уравнение:

$x^2 + ((-2)^2 - 3(-2) - 11)x + 6(-2) = 0$

$x^2 + (4 + 6 - 11)x - 12 = 0$

$x^2 - x - 12 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение. Его дискриминант мы уже вычислили: $D_x = 49$.

Найдем корни $x_1$ и $x_2$ по формуле:

$x_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 7}{2}$.

Таким образом, корни уравнения:

$x_1 = \frac{1 + 7}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$x_2 = \frac{1 - 7}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Проверка: сумма корней $4 + (-3) = 1$, что соответствует условию задачи.

Ответ: значение параметра $t=-2$, корни уравнения: $x_1=4$ и $x_2=-3$.

8 Решите уравнение $x - 1 = \sqrt{2x^2 - 3x - 5}$.

Исходное уравнение: $x - 1 = \sqrt{2x^2 - 3x - 5}$.

Данное уравнение является иррациональным. Для его решения сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). ОДЗ определяется двумя условиями:

1. Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным: $2x^2 - 3x - 5 \ge 0$.

2. Так как арифметический квадратный корень всегда неотрицателен, левая часть уравнения также должна быть неотрицательной: $x - 1 \ge 0$.

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} x - 1 \ge 0 \\ 2x^2 - 3x - 5 \ge 0 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем: $x \ge 1$.

Для решения второго неравенства $2x^2 - 3x - 5 \ge 0$ найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2x^2 - 3x - 5 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 7}{4} = \frac{-4}{4} = -1$.

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 7}{4} = \frac{10}{4} = 2.5$.

Ветви параболы $y = 2x^2 - 3x - 5$ направлены вверх, поэтому неравенство $2x^2 - 3x - 5 \ge 0$ выполняется для $x \in (-\infty, -1] \cup [2.5, +\infty)$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств:

$\begin{cases} x \ge 1 \\ x \in (-\infty, -1] \cup [2.5, +\infty) \end{cases}$

Пересечением этих множеств является промежуток $x \in [2.5, +\infty)$. Это и есть ОДЗ исходного уравнения.

Теперь решим само уравнение, возведя обе его части в квадрат (это преобразование будет равносильным на найденной ОДЗ):

$(x - 1)^2 = (\sqrt{2x^2 - 3x - 5})^2$

$x^2 - 2x + 1 = 2x^2 - 3x - 5$

Перенесем все члены в правую часть и приведем подобные:

$0 = 2x^2 - x^2 - 3x + 2x - 5 - 1$

$x^2 - x - 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 1, произведение равно -6. Отсюда корни $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.

Либо найдем корни через дискриминант:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 = 5^2$.

$x_1 = \frac{1 - 5}{2} = -2$.

$x_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3$.

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($x \ge 2.5$).

Корень $x_1 = -2$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $-2 < 2.5$. Следовательно, это посторонний корень.

Корень $x_2 = 3$ удовлетворяет ОДЗ, так как $3 \ge 2.5$.

Выполним проверку, подставив $x=3$ в исходное уравнение:

$3 - 1 = \sqrt{2 \cdot (3)^2 - 3 \cdot 3 - 5}$

$2 = \sqrt{18 - 9 - 5}$

$2 = \sqrt{4}$

$2 = 2$

Равенство верное, корень найден правильно.

Ответ: 3

9 Составляют квадратное уравнение вида $x^2 + bx + a = 0$. Коэффициент $a$ произвольно выбирают из чисел 1, 2, 3, 4, а коэффициент $b$ — из чисел 1, 2, 4. Какова вероятность того, что получится квадратное уравнение с одним корнем?

Квадратное уравнение вида $x^2 + bx + a = 0$ имеет ровно один корень (или два совпадающих действительных корня) тогда и только тогда, когда его дискриминант $D$ равен нулю.

Дискриминант для данного уравнения определяется формулой $D = b^2 - 4ac$. В нашем случае, коэффициент при $x^2$ равен 1, поэтому формула принимает вид $D = b^2 - 4a$.

Приравниваем дискриминант к нулю, чтобы найти условие для одного корня: $b^2 - 4a = 0$, что эквивалентно $b^2 = 4a$.

Теперь определим общее количество возможных уравнений. Коэффициент $a$ выбирается из множества $\{1, 2, 3, 4\}$, что дает 4 варианта. Коэффициент $b$ выбирается из множества $\{1, 2, 4\}$, что дает 3 варианта. Так как выбор коэффициентов является независимым, общее число возможных пар $(a, b)$ равно произведению числа вариантов для каждого:

$N = 4 \times 3 = 12$.

Далее найдем количество благоприятных исходов, то есть пар $(a, b)$, удовлетворяющих условию $b^2 = 4a$. Для этого переберем все возможные значения $b$ и найдем соответствующие значения $a$:

- Если $b = 1$, то $1^2 = 4a$, откуда $a = \frac{1}{4}$. Это значение не принадлежит множеству $\{1, 2, 3, 4\}$.

- Если $b = 2$, то $2^2 = 4a$, то есть $4 = 4a$, откуда $a = 1$. Это значение принадлежит множеству $\{1, 2, 3, 4\}$. Таким образом, пара $(a=1, b=2)$ является благоприятным исходом.

- Если $b = 4$, то $4^2 = 4a$, то есть $16 = 4a$, откуда $a = 4$. Это значение принадлежит множеству $\{1, 2, 3, 4\}$. Таким образом, пара $(a=4, b=4)$ является благоприятным исходом.

Всего существует 2 благоприятных исхода: $(1, 2)$ и $(4, 4)$. Обозначим их количество как $M = 2$.

Вероятность события вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P = \frac{M}{N} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{6}$

1 Сократите дробь $ \frac{x^2 + 9x + 8}{3x^2 + 8x + 5} $.

Для того чтобы сократить дробь, необходимо разложить её числитель и знаменатель на множители. Оба являются квадратными трёхчленами, которые раскладываются по формуле $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — это корни соответствующего квадратного уравнения.

1. Разложение числителя $x^2 + 9x + 8$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 9x + 8 = 0$.

Для этого воспользуемся дискриминантом:

$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 81 - 32 = 49$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 - 7}{2} = -8$.

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 + 7}{2} = -1$.

Таким образом, числитель можно разложить на множители следующим образом:

$x^2 + 9x + 8 = (x - (-8))(x - (-1)) = (x + 8)(x + 1)$.

2. Разложение знаменателя $3x^2 + 8x + 5$

Найдем корни квадратного уравнения $3x^2 + 8x + 5 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 64 - 60 = 4$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{-8 - 2}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$.

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{-8 + 2}{6} = -1$.

Следовательно, знаменатель можно разложить на множители:

$3x^2 + 8x + 5 = 3(x - (-\frac{5}{3}))(x - (-1)) = 3(x + \frac{5}{3})(x + 1) = (3x + 5)(x + 1)$.

3. Сокращение дроби

Подставим полученные разложения в исходную дробь:

$\frac{x^2 + 9x + 8}{3x^2 + 8x + 5} = \frac{(x + 8)(x + 1)}{(3x + 5)(x + 1)}$.

Сократим общий множитель $(x + 1)$ (при условии, что $x + 1 \neq 0$, то есть $x \neq -1$):

$\frac{(x + 8)\cancel{(x + 1)}}{(3x + 5)\cancel{(x + 1)}} = \frac{x + 8}{3x + 5}$.

Ответ: $\frac{x + 8}{3x + 5}$