Страница 193, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

2 Решите уравнение:

a) $x(x + 3) - 4(x - 5) = 7(x + 4) - 8.$

б) $2x^4 - 9x^2 + 4 = 0.$

а) $x(x + 3) - 4(x - 5) = 7(x + 4) - 8$

Для решения данного уравнения сначала раскроем скобки в обеих его частях:

$x \cdot x + x \cdot 3 - 4 \cdot x - 4 \cdot (-5) = 7 \cdot x + 7 \cdot 4 - 8$

$x^2 + 3x - 4x + 20 = 7x + 28 - 8$

Теперь приведем подобные слагаемые в левой и правой частях уравнения:

$x^2 - x + 20 = 7x + 20$

Перенесем все члены из правой части в левую, изменив их знаки на противоположные, чтобы получить уравнение, равное нулю:

$x^2 - x + 20 - 7x - 20 = 0$

Снова приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 8x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Мы можем решить его, вынеся общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 8) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, мы получаем два уравнения:

$x_1 = 0$

или

$x - 8 = 0$

$x_2 = 8$

Ответ: $0; 8$.

б) $2x^4 - 9x^2 + 4 = 0$

Это биквадратное уравнение. Для его решения введем новую переменную. Пусть $y = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, должно выполняться условие $y \ge 0$.

Подставив $y$ в исходное уравнение, мы получим квадратное уравнение относительно переменной $y$:

$2y^2 - 9y + 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью формулы корней через дискриминант. Коэффициенты: $a=2, b=-9, c=4$.

Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 81 - 32 = 49$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-9) + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{9 + 7}{4} = \frac{16}{4} = 4$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-9) - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{9 - 7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Оба найденных значения для $y$ ($y_1 = 4$ и $y_2 = \frac{1}{2}$) удовлетворяют условию $y \ge 0$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти значения $x$:

1. При $y = 4$:

$x^2 = 4$

$x = \pm\sqrt{4}$

$x_1 = 2, x_2 = -2$

2. При $y = \frac{1}{2}$:

$x^2 = \frac{1}{2}$

$x = \pm\sqrt{\frac{1}{2}} = \pm\frac{1}{\sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$

$x_3 = \frac{\sqrt{2}}{2}, x_4 = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Таким образом, исходное биквадратное уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $\pm2; \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$.

3 Найдите такие значения k, при которых уравнение $x^2 - 2kx + 2k + 3 = 0$ имеет только один корень.

Данное уравнение $x^2 - 2kx + 2k + 3 = 0$ является квадратным уравнением вида $ax^2 + bx + c = 0$. Квадратное уравнение имеет только один корень (или два совпадающих корня) в том случае, когда его дискриминант ($D$) равен нулю.

Коэффициенты данного уравнения:

• $a = 1$
• $b = -2k$
• $c = 2k + 3$

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2k + 3)$

Упростим полученное выражение:

$D = 4k^2 - 4(2k + 3)$

$D = 4k^2 - 8k - 12$

Теперь приравняем дискриминант к нулю, чтобы найти значения $k$, при которых уравнение имеет один корень:

$4k^2 - 8k - 12 = 0$

Для удобства решения разделим все члены уравнения на 4:

$k^2 - 2k - 3 = 0$

Мы получили новое квадратное уравнение относительно переменной $k$. Решим его, чтобы найти искомые значения. Найдем дискриминант этого уравнения (обозначим его $D_k$):

$D_k = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$

Теперь найдем корни $k_1$ и $k_2$ по формуле корней квадратного уравнения:

$k_{1,2} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 4}{2}$

Отсюда получаем два значения для $k$:

$k_1 = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$k_2 = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Таким образом, при $k=3$ и $k=-1$ дискриминант исходного уравнения равен нулю, и оно имеет ровно один корень.

Ответ: $k = -1, k = 3$.

4 Решите уравнение

$\frac{13x - 4}{(2x - 1)^2} - \frac{1}{2x - 1} = 8$

Исходное уравнение:

$$ \frac{13x - 4}{(2x - 1)^2} - \frac{1}{2x - 1} = 8 $$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому:

$2x - 1 \neq 0$

$2x \neq 1$

$x \neq \frac{1}{2}$

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $(2x - 1)^2$. Для этого умножим числитель и знаменатель второй дроби на $(2x - 1)$:

$$ \frac{13x - 4}{(2x - 1)^2} - \frac{1 \cdot (2x - 1)}{(2x - 1) \cdot (2x - 1)} = 8 $$

$$ \frac{13x - 4 - (2x - 1)}{(2x - 1)^2} = 8 $$

Упростим выражение в числителе:

$$ \frac{13x - 4 - 2x + 1}{(2x - 1)^2} = 8 $$

$$ \frac{11x - 3}{(2x - 1)^2} = 8 $$

Теперь умножим обе части уравнения на $(2x - 1)^2$, так как из ОДЗ мы знаем, что это выражение не равно нулю:

$$ 11x - 3 = 8(2x - 1)^2 $$

Раскроем скобки в правой части уравнения. Сначала возведем в квадрат двучлен, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(2x - 1)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 = 4x^2 - 4x + 1$

Подставим это выражение обратно в уравнение:

$$ 11x - 3 = 8(4x^2 - 4x + 1) $$

$$ 11x - 3 = 32x^2 - 32x + 8 $$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$$ 0 = 32x^2 - 32x - 11x + 8 + 3 $$

$$ 32x^2 - 43x + 11 = 0 $$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$a = 32, b = -43, c = 11$

$$ D = (-43)^2 - 4 \cdot 32 \cdot 11 = 1849 - 1408 = 441 $$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$$ \sqrt{D} = \sqrt{441} = 21 $$

$$ x_1 = \frac{-(-43) + 21}{2 \cdot 32} = \frac{43 + 21}{64} = \frac{64}{64} = 1 $$

$$ x_2 = \frac{-(-43) - 21}{2 \cdot 32} = \frac{43 - 21}{64} = \frac{22}{64} = \frac{11}{32} $$

Оба корня, $x_1 = 1$ и $x_2 = \frac{11}{32}$, не равны $\frac{1}{2}$, следовательно, они удовлетворяют ОДЗ и являются решениями исходного уравнения.

Ответ: $1; \frac{11}{32}$.

5 Время, затрачиваемое автобусом на прохождение расстояния $325 \text{ км}$, при составлении нового расписания движения автобусов сокращено на $40 \text{ мин}$. Найдите скорость движения автобуса по новому расписанию, если известно, что она на $10 \text{ км/ч}$ больше скорости, предусмотренной старым расписанием.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ км/ч — скорость автобуса, предусмотренная старым расписанием. Тогда скорость автобуса по новому расписанию составляет $(x + 10)$ км/ч.

Расстояние, которое должен проехать автобус, равно 325 км.

Время, затрачиваемое на путь по старому расписанию, можно выразить формулой $t_1 = \frac{S}{v} = \frac{325}{x}$ часов.

Время, затрачиваемое на путь по новому расписанию, составляет $t_2 = \frac{S}{v} = \frac{325}{x+10}$ часов.

По условию, время в пути по новому расписанию сокращено на 40 минут. Необходимо перевести эту разницу во времени в часы, чтобы все единицы измерения были согласованы:

40 мин = $\frac{40}{60}$ ч = $\frac{2}{3}$ ч.

Разница во времени между старым и новым расписанием составляет $\frac{2}{3}$ часа. Это можно записать в виде уравнения:

$t_1 - t_2 = \frac{2}{3}$

Подставим выражения для $t_1$ и $t_2$ в это уравнение:

$\frac{325}{x} - \frac{325}{x+10} = \frac{2}{3}$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$. Для этого приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+10)$:

$\frac{325(x+10) - 325x}{x(x+10)} = \frac{2}{3}$

Раскроем скобки в числителе левой части:

$\frac{325x + 3250 - 325x}{x^2 + 10x} = \frac{2}{3}$

$\frac{3250}{x^2 + 10x} = \frac{2}{3}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$2 \cdot (x^2 + 10x) = 3 \cdot 3250$

$2x^2 + 20x = 9750$

Разделим все члены уравнения на 2, чтобы упростить его:

$x^2 + 10x = 4875$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 10x - 4875 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4875) = 100 + 19500 = 19600$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x = \frac{-10 \pm \sqrt{19600}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 \pm 140}{2}$

Уравнение имеет два корня:

$x_1 = \frac{-10 + 140}{2} = \frac{130}{2} = 65$

$x_2 = \frac{-10 - 140}{2} = \frac{-150}{2} = -75$

Так как скорость не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -75$ не имеет физического смысла. Следовательно, скорость автобуса по старому расписанию $x = 65$ км/ч.

В задаче требуется найти скорость движения автобуса по новому расписанию, которая равна $(x + 10)$ км/ч.

$65 + 10 = 75$ км/ч.

Ответ: 75 км/ч.

6 Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $3x^2 - 4x - 1 = 0$. Не решая уравнения, найдите:

a) $x_1^2x_2 + x_1x_2^2$;

б) $\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2}$;

в) $x_1^3 + x_2^3$.

Для решения этой задачи не требуется находить сами корни $x_1$ и $x_2$ уравнения $3x^2 - 4x - 1 = 0$. Вместо этого мы воспользуемся теоремой Виета, которая связывает коэффициенты многочлена с суммами и произведениями его корней.
Для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ теорема Виета устанавливает следующие соотношения:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
Произведение корней: $x_1x_2 = \frac{c}{a}$
В нашем уравнении $3x^2 - 4x - 1 = 0$ коэффициенты равны: $a = 3$, $b = -4$, $c = -1$.
Прежде всего, убедимся, что корни существуют. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(3)(-1) = 16 + 12 = 28$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Теперь рассчитаем сумму и произведение корней:
$x_1 + x_2 = -\frac{-4}{3} = \frac{4}{3}$
$x_1x_2 = \frac{-1}{3}$
Используя эти значения, найдем требуемые выражения.

а) $x_1^2x_2 + x_1x_2^2$
Сначала вынесем общий множитель $x_1x_2$ за скобки:
$x_1^2x_2 + x_1x_2^2 = x_1x_2(x_1 + x_2)$
Теперь подставим найденные значения суммы и произведения корней:
$x_1x_2(x_1 + x_2) = \left(-\frac{1}{3}\right) \cdot \left(\frac{4}{3}\right) = -\frac{4}{9}$
Ответ: $-\frac{4}{9}$

б) $\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2}$
Приведем дроби к общему знаменателю $x_1x_2$:
$\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} = \frac{x_2^2 + x_1^2}{x_1x_2}$
Числитель $x_1^2 + x_2^2$ можно выразить через известные нам величины, используя тождество $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$. Отсюда следует: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.
Подставим это в наше выражение:
$\frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2}{x_1x_2}$
Подставим числовые значения:
$\frac{\left(\frac{4}{3}\right)^2 - 2\left(-\frac{1}{3}\right)}{-\frac{1}{3}} = \frac{\frac{16}{9} + \frac{2}{3}}{-\frac{1}{3}} = \frac{\frac{16}{9} + \frac{6}{9}}{-\frac{1}{3}} = \frac{\frac{22}{9}}{-\frac{1}{3}} = \frac{22}{9} \cdot (-3) = -\frac{22}{3}$
Ответ: $-\frac{22}{3}$

в) $x_1^3 + x_2^3$
Для нахождения суммы кубов корней воспользуемся одной из формул сокращенного умножения: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$. Преобразуем ее, чтобы использовать известные нам величины:
$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2) = (x_1 + x_2)((x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2) - 3x_1x_2) = (x_1 + x_2)((x_1 + x_2)^2 - 3x_1x_2)$
Теперь подставим значения суммы и произведения корней:
$\left(\frac{4}{3}\right) \cdot \left(\left(\frac{4}{3}\right)^2 - 3\left(-\frac{1}{3}\right)\right) = \frac{4}{3} \cdot \left(\frac{16}{9} + 1\right) = \frac{4}{3} \cdot \left(\frac{16}{9} + \frac{9}{9}\right) = \frac{4}{3} \cdot \frac{25}{9} = \frac{100}{27}$
Ответ: $\frac{100}{27}$

7 Дано уравнение $x^2+(4k-1)x+(k^2-k+8)=0$. Известно, что произведение его корней равно 10. Найдите значение параметра $k$ и корни уравнения.

Нахождение значения параметра k

Дано квадратное уравнение $x^2 + (4k - 1)x + (k^2 - k + 8) = 0$.

Согласно теореме Виета для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$, произведение его корней $x_1$ и $x_2$ равно свободному члену $q$. В данном уравнении свободный член равен $k^2 - k + 8$.

По условию задачи, произведение корней равно 10. Приравниваем свободный член к 10 и решаем полученное уравнение относительно $k$:

$k^2 - k + 8 = 10$

$k^2 - k - 2 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $k$. Его корни можно найти, например, разложив на множители: $(k-2)(k+1)=0$. Отсюда получаем два возможных значения для параметра $k$:

$k_1 = 2$

$k_2 = -1$

Нахождение корней уравнения

Теперь для каждого найденного значения $k$ подставим его в исходное уравнение и найдем его корни.

Случай 1: k = 2

Подставляем $k=2$ в уравнение:

$x^2 + (4 \cdot 2 - 1)x + (2^2 - 2 + 8) = 0$

$x^2 + 7x + 10 = 0$

Корни этого уравнения можно найти по теореме Виета: их сумма равна -7, а произведение равно 10. Следовательно, корни:

$x_1 = -5$, $x_2 = -2$.

Случай 2: k = -1

Подставляем $k=-1$ в уравнение:

$x^2 + (4 \cdot (-1) - 1)x + ((-1)^2 - (-1) + 8) = 0$

$x^2 - 5x + 10 = 0$

Для нахождения корней вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 25 - 40 = -15$

Поскольку дискриминант отрицателен ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней, но имеет два комплексных сопряженных корня. Найдем их по стандартной формуле:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{-15}}{2} = \frac{5 \pm i\sqrt{15}}{2}$

Корни в этом случае: $x_1 = \frac{5 - i\sqrt{15}}{2}$ и $x_2 = \frac{5 + i\sqrt{15}}{2}$.

Ответ:

Задача имеет два решения:

1. При $k=2$ корни уравнения: $x_1 = -5$, $x_2 = -2$.

2. При $k=-1$ корни уравнения: $x_1 = \frac{5 - i\sqrt{15}}{2}$, $x_2 = \frac{5 + i\sqrt{15}}{2}$.

8 Решите уравнение $\sqrt{x^2 + 3x + 3} = 2x + 1$.

Данное уравнение является иррациональным уравнением вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$. Такое уравнение равносильно системе, в которой выражение под корнем приравнивается к квадрату правой части, и правая часть должна быть неотрицательной:

$\begin{cases} f(x) = (g(x))^2 \\ g(x) \ge 0 \end{cases}$

В нашем случае $f(x) = x^2 + 3x + 3$ и $g(x) = 2x + 1$.Применим эту систему к исходному уравнению $\sqrt{x^2 + 3x + 3} = 2x + 1$:

$\begin{cases} x^2 + 3x + 3 = (2x + 1)^2 \\ 2x + 1 \ge 0 \end{cases}$

Отметим также, что подкоренное выражение $x^2 + 3x + 3$ должно быть неотрицательным. Найдем дискриминант этого квадратного трехчлена: $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 9 - 12 = -3$. Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$) и старший коэффициент ($a=1$) положительный, то выражение $x^2 + 3x + 3$ всегда положительно при любых действительных значениях $x$. Поэтому дополнительное ограничение на $x$ не требуется.

Теперь решим систему. Сначала решим неравенство, чтобы найти область определения для корней:

$2x + 1 \ge 0$

$2x \ge -1$

$x \ge -0.5$

Далее решим уравнение, возведя обе части в квадрат:

$x^2 + 3x + 3 = (2x + 1)^2$

$x^2 + 3x + 3 = 4x^2 + 4x + 1$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$4x^2 - x^2 + 4x - 3x + 1 - 3 = 0$

$3x^2 + x - 2 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$

$\sqrt{D} = \sqrt{25} = 5$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 5}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни условию $x \ge -0.5$:

Корень $x_1 = -1$ не удовлетворяет условию, так как $-1 < -0.5$. Следовательно, это посторонний корень.

Корень $x_2 = \frac{2}{3}$ удовлетворяет условию, так как $\frac{2}{3} \approx 0.67$, и $0.67 > -0.5$.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $\frac{2}{3}$

9 Составляют квадратное уравнение вида $x^2 + bx + a = 0$. Коэффициент a произвольно выбирают из чисел 1, 2, 3, 4, а коэффициент b – из чисел 1, 2, 4. Какова вероятность того, что получится квадратное уравнение, у которого нет корней?

Для решения задачи сначала определим общее число возможных квадратных уравнений. Коэффициент $a$ может быть выбран из множества $\{1, 2, 3, 4\}$, что дает 4 варианта. Коэффициент $b$ может быть выбран из множества $\{1, 2, 4\}$, что дает 3 варианта. Поскольку выбор коэффициентов $a$ и $b$ является независимыми событиями, общее число возможных комбинаций (и, следовательно, уравнений) равно произведению числа вариантов для каждого коэффициента: $N = 4 \times 3 = 12$.

Квадратное уравнение вида $x^2 + bx + a = 0$ не имеет действительных корней, если его дискриминант $D$ отрицателен. Дискриминант для данного уравнения вычисляется по формуле: $D = b^2 - 4 \cdot 1 \cdot a = b^2 - 4a$. Таким образом, условие отсутствия корней — это $D < 0$, что эквивалентно неравенству $b^2 < 4a$.

Теперь найдем количество пар $(a, b)$, удовлетворяющих этому неравенству. Переберем все возможные значения $a$ и для каждого из них проверим, какие значения $b$ подходят.

• Пусть $a = 1$. Неравенство принимает вид $b^2 < 4 \cdot 1$, то есть $b^2 < 4$. Из возможных значений $b \in \{1, 2, 4\}$ этому условию удовлетворяет только $b = 1$ ($1^2 = 1 < 4$). Получаем 1 благоприятный исход.
• Пусть $a = 2$. Неравенство принимает вид $b^2 < 4 \cdot 2$, то есть $b^2 < 8$. Из возможных значений $b \in \{1, 2, 4\}$ этому условию удовлетворяют $b = 1$ ($1^2 = 1 < 8$) и $b = 2$ ($2^2 = 4 < 8$). Получаем 2 благоприятных исхода.
• Пусть $a = 3$. Неравенство принимает вид $b^2 < 4 \cdot 3$, то есть $b^2 < 12$. Из возможных значений $b \in \{1, 2, 4\}$ этому условию удовлетворяют $b = 1$ ($1^2 = 1 < 12$) и $b = 2$ ($2^2 = 4 < 12$). Получаем 2 благоприятных исхода.
• Пусть $a = 4$. Неравенство принимает вид $b^2 < 4 \cdot 4$, то есть $b^2 < 16$. Из возможных значений $b \in \{1, 2, 4\}$ этому условию удовлетворяют $b = 1$ ($1^2 = 1 < 16$) и $b = 2$ ($2^2 = 4 < 16$). Получаем 2 благоприятных исхода.

Суммируем количество благоприятных исходов: $M = 1 + 2 + 2 + 2 = 7$.

Вероятность события — это отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов. $P = \frac{M}{N} = \frac{7}{12}$.

Ответ: $\frac{7}{12}$.