Страница 186, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

32.54 a) $\frac{x-1}{x^2-2x-3} + \frac{x+3}{x^2-2x-8} = \frac{4x-1}{2x^2-6x-8}$;

б) $\frac{2}{2x^2-x-1} + \frac{x}{x^2-x-2} = \frac{3x+1}{3x^2-3}$.

a)

Дано уравнение:

$$ \frac{x-1}{x^2 - 2x - 3} + \frac{x+3}{x^2 - 2x - 8} = \frac{4x-1}{2x^2 - 6x - 8} $$

1. Разложим на множители знаменатели каждой дроби. Для этого найдем корни соответствующих квадратных трехчленов.

Для $x^2 - 2x - 3 = 0$: по теореме Виета корни $x_1 = 3$, $x_2 = -1$. Таким образом, $x^2 - 2x - 3 = (x-3)(x+1)$.

Для $x^2 - 2x - 8 = 0$: по теореме Виета корни $x_1 = 4$, $x_2 = -2$. Таким образом, $x^2 - 2x - 8 = (x-4)(x+2)$.

Для $2x^2 - 6x - 8$: вынесем общий множитель 2, получим $2(x^2 - 3x - 4)$. Для $x^2 - 3x - 4 = 0$ по теореме Виета корни $x_1 = 4$, $x_2 = -1$. Таким образом, $2x^2 - 6x - 8 = 2(x-4)(x+1)$.

2. Перепишем уравнение с разложенными на множители знаменателями:

$$ \frac{x-1}{(x-3)(x+1)} + \frac{x+3}{(x-4)(x+2)} = \frac{4x-1}{2(x-4)(x+1)} $$

3. Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю:

$(x-3)(x+1) \neq 0 \Rightarrow x \neq 3, x \neq -1$

$(x-4)(x+2) \neq 0 \Rightarrow x \neq 4, x \neq -2$

$2(x-4)(x+1) \neq 0 \Rightarrow x \neq 4, x \neq -1$

Итак, ОДЗ: $x \neq -2, x \neq -1, x \neq 3, x \neq 4$.

4. Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю $2(x-3)(x+1)(x-4)(x+2)$:

$$ \frac{x-1}{(x-3)(x+1)} + \frac{x+3}{(x-4)(x+2)} - \frac{4x-1}{2(x-4)(x+1)} = 0 $$

$$ \frac{2(x-1)(x-4)(x+2) + 2(x+3)(x-3)(x+1) - (4x-1)(x-3)(x+2)}{2(x-3)(x+1)(x-4)(x+2)} = 0 $$

5. Решим уравнение, приравняв числитель к нулю:

$2(x-1)(x^2-2x-8) + 2(x^2-9)(x+1) - (4x-1)(x^2-x-6) = 0$

$2(x^3-2x^2-8x-x^2+2x+8) + 2(x^3+x^2-9x-9) - (4x^3-4x^2-24x-x^2+x+6) = 0$

$2(x^3-3x^2-6x+8) + 2(x^3+x^2-9x-9) - (4x^3-5x^2-23x+6) = 0$

$2x^3-6x^2-12x+16 + 2x^3+2x^2-18x-18 - 4x^3+5x^2+23x-6 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(2x^3+2x^3-4x^3) + (-6x^2+2x^2+5x^2) + (-12x-18x+23x) + (16-18-6) = 0$

$x^2 - 7x - 8 = 0$

6. Найдем корни полученного квадратного уравнения. По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 7$

$x_1 \cdot x_2 = -8$

Отсюда $x_1 = 8$, $x_2 = -1$.

7. Проверим корни на принадлежность ОДЗ.

Корень $x=8$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x=-1$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при $x=-1$ знаменатели некоторых дробей обращаются в ноль. Следовательно, это посторонний корень.

Ответ: $8$.

б)

Дано уравнение:

$$ \frac{2}{2x^2 - x - 1} + \frac{x}{x^2 - x - 2} = \frac{3x+1}{3x^2 - 3} $$

1. Разложим на множители знаменатели.

Для $2x^2 - x - 1 = 0$: Дискриминант $D = (-1)^2 - 4(2)(-1) = 9$. Корни $x_{1,2} = \frac{1 \pm 3}{4}$, то есть $x_1=1$ и $x_2 = -1/2$. Тогда $2x^2 - x - 1 = 2(x-1)(x+1/2) = (x-1)(2x+1)$.

Для $x^2 - x - 2 = 0$: по теореме Виета корни $x_1 = 2$, $x_2 = -1$. Тогда $x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)$.

Для $3x^2 - 3$: $3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)$.

2. Перепишем уравнение:

$$ \frac{2}{(x-1)(2x+1)} + \frac{x}{(x-2)(x+1)} = \frac{3x+1}{3(x-1)(x+1)} $$

3. Определим ОДЗ:

$(x-1)(2x+1) \neq 0 \Rightarrow x \neq 1, x \neq -1/2$

$(x-2)(x+1) \neq 0 \Rightarrow x \neq 2, x \neq -1$

$3(x-1)(x+1) \neq 0 \Rightarrow x \neq 1, x \neq -1$

ОДЗ: $x \neq -1, x \neq -1/2, x \neq 1, x \neq 2$.

4. Приведем уравнение к общему знаменателю $3(x-1)(x+1)(2x+1)(x-2)$:

$$ \frac{2 \cdot 3(x+1)(x-2) + x \cdot 3(x-1)(2x+1) - (3x+1)(2x+1)(x-2)}{3(x-1)(x+1)(2x+1)(x-2)} = 0 $$

5. Решим уравнение, приравняв числитель к нулю:

$6(x^2 - x - 2) + 3x(2x^2 - x - 1) - (6x^2+5x+1)(x-2) = 0$

$6x^2 - 6x - 12 + 6x^3 - 3x^2 - 3x - (6x^3 - 12x^2 + 5x^2 - 10x + x - 2) = 0$

$6x^3 + 3x^2 - 9x - 12 - (6x^3 - 7x^2 - 9x - 2) = 0$

$6x^3 + 3x^2 - 9x - 12 - 6x^3 + 7x^2 + 9x + 2 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(6x^3-6x^3) + (3x^2+7x^2) + (-9x+9x) + (-12+2) = 0$

$10x^2 - 10 = 0$

$10(x^2 - 1) = 0$

$x^2 = 1$

6. Корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = -1$.

7. Проверим корни на принадлежность ОДЗ.

Корень $x=1$ не удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x=-1$ не удовлетворяет ОДЗ.

Так как оба найденных корня являются посторонними, исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: нет корней.

32.55 Найдите значение выражения при $x = 2015$:

a) $ \left( \frac{3}{x - 3} + \frac{4}{x^2 - 5x + 6} + \frac{2x}{x - 2} \right) : \left( \frac{2x + 1}{3} - \frac{x - 12}{9 - 3x} \right) $

б) $ \left( \frac{2x}{x + 3} + \frac{1}{x - 1} - \frac{4}{x^2 + 2x - 3} \right) \cdot \left( \frac{x}{2x + 1} + \frac{3 - x}{6 + 2x} \right) $

а) Чтобы найти значение выражения $\left(\frac{3}{x-3} + \frac{4}{x^2 - 5x + 6} + \frac{2x}{x-2}\right) : \frac{2x+1}{3} - \frac{x-12}{9-3x}$ при $x = 2015$, сначала упростим его.

1. Упростим выражение в скобках. Для этого разложим знаменатель $x^2 - 5x + 6$ на множители. Корнями уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$ являются $x_1=2$ и $x_2=3$. Следовательно, $x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$. Общий знаменатель для дробей в скобках — $(x-2)(x-3)$.

$\frac{3}{x-3} + \frac{4}{(x-2)(x-3)} + \frac{2x}{x-2} = \frac{3(x-2)}{(x-2)(x-3)} + \frac{4}{(x-2)(x-3)} + \frac{2x(x-3)}{(x-2)(x-3)}$

$= \frac{3x - 6 + 4 + 2x^2 - 6x}{(x-2)(x-3)} = \frac{2x^2 - 3x - 2}{(x-2)(x-3)}$

Разложим на множители числитель $2x^2 - 3x - 2$. Корни уравнения $2x^2 - 3x - 2 = 0$ равны $x_1=2$ и $x_2=-1/2$. Тогда $2x^2 - 3x - 2 = 2(x-2)(x+1/2) = (x-2)(2x+1)$.

Таким образом, выражение в скобках равно:

$\frac{(x-2)(2x+1)}{(x-2)(x-3)} = \frac{2x+1}{x-3}$

2. Теперь выполним деление и вычитание:

$\frac{2x+1}{x-3} : \frac{2x+1}{3} - \frac{x-12}{9-3x} = \frac{2x+1}{x-3} \cdot \frac{3}{2x+1} - \frac{x-12}{9-3x}$

Сокращаем $(2x+1)$ и преобразуем знаменатель второй дроби $9-3x = 3(3-x) = -3(x-3)$:

$\frac{3}{x-3} - \frac{x-12}{-3(x-3)} = \frac{3}{x-3} + \frac{x-12}{3(x-3)}$

Приводим к общему знаменателю $3(x-3)$:

$\frac{3 \cdot 3}{3(x-3)} + \frac{x-12}{3(x-3)} = \frac{9 + x - 12}{3(x-3)} = \frac{x - 3}{3(x-3)}$

Сокращаем $(x-3)$:

$\frac{1}{3}$

Результат не зависит от значения $x$ (при условии, что $x$ не равен 2, 3 и -1/2). Так как $x = 2015$, эти условия выполняются. Следовательно, значение выражения равно $\frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$

б) Чтобы найти значение выражения $\left(\frac{2x}{x+3} + \frac{1}{x-1} - \frac{4}{x^2 + 2x - 3}\right) \cdot \frac{x}{2x+1} + \frac{3-x}{6+2x}$ при $x = 2015$, сначала упростим его.

1. Упростим выражение в скобках. Разложим на множители знаменатель $x^2 + 2x - 3$. Корнями уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0$ являются $x_1=1$ и $x_2=-3$. Следовательно, $x^2 + 2x - 3 = (x-1)(x+3)$. Общий знаменатель — $(x-1)(x+3)$.

$\frac{2x(x-1)}{(x+3)(x-1)} + \frac{1(x+3)}{(x-1)(x+3)} - \frac{4}{(x-1)(x+3)} = \frac{2x^2 - 2x + x + 3 - 4}{(x-1)(x+3)}$

$= \frac{2x^2 - x - 1}{(x-1)(x+3)}$

Разложим на множители числитель $2x^2 - x - 1$. Корни уравнения $2x^2 - x - 1 = 0$ равны $x_1=1$ и $x_2=-1/2$. Тогда $2x^2 - x - 1 = 2(x-1)(x+1/2) = (x-1)(2x+1)$.

Таким образом, выражение в скобках равно:

$\frac{(x-1)(2x+1)}{(x-1)(x+3)} = \frac{2x+1}{x+3}$

2. Теперь выполним умножение и сложение:

$\frac{2x+1}{x+3} \cdot \frac{x}{2x+1} + \frac{3-x}{6+2x}$

Сокращаем $(2x+1)$ и преобразуем знаменатель второй дроби $6+2x = 2(3+x) = 2(x+3)$:

$\frac{x}{x+3} + \frac{3-x}{2(x+3)}$

Приводим к общему знаменателю $2(x+3)$:

$\frac{2x}{2(x+3)} + \frac{3-x}{2(x+3)} = \frac{2x + 3 - x}{2(x+3)} = \frac{x+3}{2(x+3)}$

Сокращаем $(x+3)$:

$\frac{1}{2}$

Результат не зависит от значения $x$ (при условии, что $x$ не равен 1, -3 и -1/2). Так как $x = 2015$, эти условия выполняются. Следовательно, значение выражения равно $\frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

Решите уравнение:

33.1 а) $\sqrt{x + 2} = 3;$

б) $\sqrt{4x + 1} = 3;$

в) $\sqrt{x - 5} = 9;$

г) $\sqrt{7x - 1} = 3.$

а)

Дано иррациональное уравнение: $\sqrt{x + 2} = 3$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется условием, что выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x + 2 \ge 0$, откуда $x \ge -2$.

Чтобы решить уравнение, возведем обе его части в квадрат. Это позволит избавиться от знака квадратного корня.

$(\sqrt{x + 2})^2 = 3^2$

$x + 2 = 9$

Теперь решим полученное линейное уравнение. Перенесем число 2 из левой части в правую, изменив его знак:

$x = 9 - 2$

$x = 7$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень $x = 7$ условию ОДЗ: $7 \ge -2$. Условие выполняется.

Также выполним проверку подстановкой найденного значения в исходное уравнение:

$\sqrt{7 + 2} = \sqrt{9} = 3$

$3 = 3$

Равенство верное, следовательно, корень найден правильно.

Ответ: 7

б)

Дано уравнение: $\sqrt{4x + 1} = 3$.

Найдем ОДЗ: $4x + 1 \ge 0$, откуда $4x \ge -1$, то есть $x \ge -\frac{1}{4}$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{4x + 1})^2 = 3^2$

$4x + 1 = 9$

Перенесем 1 в правую часть уравнения:

$4x = 9 - 1$

$4x = 8$

Разделим обе части на 4, чтобы найти $x$:

$x = \frac{8}{4}$

$x = 2$

Проверим корень по ОДЗ: $2 \ge -\frac{1}{4}$. Условие выполняется.

Проверка подстановкой в исходное уравнение:

$\sqrt{4 \cdot 2 + 1} = \sqrt{8 + 1} = \sqrt{9} = 3$

$3 = 3$

Равенство верное.

Ответ: 2

в)

Дано уравнение: $\sqrt{x - 5} = 9$.

ОДЗ: $x - 5 \ge 0$, откуда $x \ge 5$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x - 5})^2 = 9^2$

$x - 5 = 81$

Перенесем -5 в правую часть с противоположным знаком:

$x = 81 + 5$

$x = 86$

Проверим корень по ОДЗ: $86 \ge 5$. Условие выполняется.

Проверка подстановкой в исходное уравнение:

$\sqrt{86 - 5} = \sqrt{81} = 9$

$9 = 9$

Равенство верное.

Ответ: 86

г)

Дано уравнение: $\sqrt{7x - 1} = 3$.

ОДЗ: $7x - 1 \ge 0$, откуда $7x \ge 1$, то есть $x \ge \frac{1}{7}$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{7x - 1})^2 = 3^2$

$7x - 1 = 9$

Перенесем -1 в правую часть:

$7x = 9 + 1$

$7x = 10$

Разделим обе части на 7:

$x = \frac{10}{7}$

Проверим корень по ОДЗ: $\frac{10}{7} \ge \frac{1}{7}$. Условие выполняется.

Проверка подстановкой в исходное уравнение:

$\sqrt{7 \cdot \frac{10}{7} - 1} = \sqrt{10 - 1} = \sqrt{9} = 3$

$3 = 3$

Равенство верное.

Ответ: $\frac{10}{7}$

33.2 а) $\sqrt{x^2 - 1} = 2;$

б) $\sqrt{4x^2 + 5} = 3;$

в) $\sqrt{3 - 2x^2} = 1;$

г) $\sqrt{6 + 5x^2} = 2.$

а) $\sqrt{x^2 - 1} = 2$

Для решения данного иррационального уравнения необходимо сначала определить область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x^2 - 1 \ge 0$ $x^2 \ge 1$ Это неравенство выполняется, когда $x \le -1$ или $x \ge 1$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от знака корня. Так как правая часть уравнения (число 2) является положительной, это преобразование не приведет к появлению посторонних корней на ОДЗ. $(\sqrt{x^2 - 1})^2 = 2^2$ $x^2 - 1 = 4$

Перенесем -1 в правую часть уравнения, изменив знак: $x^2 = 4 + 1$ $x^2 = 5$

Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения, чтобы найти $x$: $x_1 = \sqrt{5}$ $x_2 = -\sqrt{5}$

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ. Так как $\sqrt{5} \approx 2.24$, то $\sqrt{5} \ge 1$, следовательно, корень $x_1 = \sqrt{5}$ подходит. Так как $-\sqrt{5} \approx -2.24$, то $-\sqrt{5} \le -1$, следовательно, корень $x_2 = -\sqrt{5}$ также подходит.

Ответ: $x = \pm\sqrt{5}$.

б) $\sqrt{4x^2 + 5} = 3$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $4x^2 + 5 \ge 0$ Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $4x^2 \ge 0$. Значит, выражение $4x^2 + 5$ всегда будет больше или равно 5, то есть положительным. Следовательно, ОДЗ: $x$ — любое действительное число, $x \in (-\infty, \infty)$.

Возведем обе части уравнения в квадрат: $(\sqrt{4x^2 + 5})^2 = 3^2$ $4x^2 + 5 = 9$

Решим полученное неполное квадратное уравнение: $4x^2 = 9 - 5$ $4x^2 = 4$ $x^2 = \frac{4}{4}$ $x^2 = 1$

Находим значения $x$: $x_1 = 1$ $x_2 = -1$

Оба корня действительные, поэтому они входят в ОДЗ.

Ответ: $x = \pm 1$.

в) $\sqrt{3 - 2x^2} = 1$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $3 - 2x^2 \ge 0$ $3 \ge 2x^2$ $x^2 \le \frac{3}{2}$ Это неравенство выполняется при $-\sqrt{\frac{3}{2}} \le x \le \sqrt{\frac{3}{2}}$. ОДЗ: $x \in [-\sqrt{1.5}, \sqrt{1.5}]$.

Возведем обе части уравнения в квадрат: $(\sqrt{3 - 2x^2})^2 = 1^2$ $3 - 2x^2 = 1$

Решим полученное уравнение: $3 - 1 = 2x^2$ $2 = 2x^2$ $x^2 = 1$

Находим значения $x$: $x_1 = 1$ $x_2 = -1$

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ. Так как $\sqrt{1.5} \approx 1.22$, то интервал ОДЗ примерно равен $[-1.22, 1.22]$. Оба корня, 1 и -1, принадлежат этому интервалу, следовательно, оба являются решениями.

Ответ: $x = \pm 1$.

г) $\sqrt{6 + 5x^2} = 2$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $6 + 5x^2 \ge 0$ Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $5x^2 \ge 0$. Значит, выражение $6 + 5x^2$ всегда будет больше или равно 6, то есть положительным. ОДЗ: $x$ — любое действительное число, $x \in (-\infty, \infty)$.

Возведем обе части уравнения в квадрат: $(\sqrt{6 + 5x^2})^2 = 2^2$ $6 + 5x^2 = 4$

Решим полученное уравнение: $5x^2 = 4 - 6$ $5x^2 = -2$ $x^2 = -\frac{2}{5}$

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным числом. Следовательно, данное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет корней.

33.3 a) $\sqrt{4x^2 + 5x - 2} = 2;$

б) $\sqrt{23x - 14 - 3x^2} = 0;$

в) $\sqrt{23 + 3x - 5x^2} = 3;$

г) $\sqrt{5x^2 + 22x - 15} = 0.$

а) $\sqrt{4x^2 + 5x - 2} = 2$

Для решения данного иррационального уравнения необходимо возвести обе его части в квадрат. Так как правая часть уравнения ($2$) является неотрицательным числом, данное преобразование является равносильным, и дополнительная проверка корней не требуется (область допустимых значений будет выполнена автоматически, так как подкоренное выражение станет равным $2^2=4$, что больше нуля).

$(\sqrt{4x^2 + 5x - 2})^2 = 2^2$

$4x^2 + 5x - 2 = 4$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$4x^2 + 5x - 2 - 4 = 0$

$4x^2 + 5x - 6 = 0$

Решим полученное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 5^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-6) = 25 + 96 = 121 = 11^2$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{121}}{2 \cdot 4} = \frac{-5 + 11}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{121}}{2 \cdot 4} = \frac{-5 - 11}{8} = \frac{-16}{8} = -2$

Ответ: $x = -2; x = \frac{3}{4}$.

б) $\sqrt{23x - 14 - 3x^2} = 0$

Уравнение вида $\sqrt{f(x)} = 0$ равносильно тому, что подкоренное выражение равно нулю, то есть $f(x) = 0$.

$23x - 14 - 3x^2 = 0$

Запишем уравнение в стандартном виде $ax^2 + bx + c = 0$, умножив все члены на $-1$:

$3x^2 - 23x + 14 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-23)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 14 = 529 - 168 = 361 = 19^2$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-23) + \sqrt{361}}{2 \cdot 3} = \frac{23 + 19}{6} = \frac{42}{6} = 7$

$x_2 = \frac{-(-23) - \sqrt{361}}{2 \cdot 3} = \frac{23 - 19}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Ответ: $x = \frac{2}{3}; x = 7$.

в) $\sqrt{23 + 3x - 5x^2} = 3$

Возведем обе части уравнения в квадрат. Так как правая часть ($3$) — число неотрицательное, это преобразование является равносильным.

$(\sqrt{23 + 3x - 5x^2})^2 = 3^2$

$23 + 3x - 5x^2 = 9$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$-5x^2 + 3x + 23 - 9 = 0$

$-5x^2 + 3x + 14 = 0$

Умножим уравнение на $-1$ для удобства:

$5x^2 - 3x - 14 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-14) = 9 + 280 = 289 = 17^2$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{289}}{2 \cdot 5} = \frac{3 + 17}{10} = \frac{20}{10} = 2$

$x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{289}}{2 \cdot 5} = \frac{3 - 17}{10} = \frac{-14}{10} = -1.4$

Ответ: $x = -1.4; x = 2$.

г) $\sqrt{5x^2 + 22x - 15} = 0$

Данное уравнение равносильно тому, что выражение под корнем равно нулю.

$5x^2 + 22x - 15 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 22^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-15) = 484 + 300 = 784 = 28^2$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-22 + \sqrt{784}}{2 \cdot 5} = \frac{-22 + 28}{10} = \frac{6}{10} = 0.6$

$x_2 = \frac{-22 - \sqrt{784}}{2 \cdot 5} = \frac{-22 - 28}{10} = \frac{-50}{10} = -5$

Ответ: $x = -5; x = 0.6$.

33.4 a) $\sqrt{\frac{2x+3}{x-1}} = 1;$

б) $\sqrt{\frac{x+5}{4x-1}} = 4;$

в) $\sqrt{\frac{5x-1}{x+3}} = 2;$

г) $\sqrt{\frac{x-4}{3x+1}} = 3.$

а) Дано уравнение $ \sqrt{\frac{2x + 3}{x - 1}} = 1 $.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется двумя условиями: знаменатель не равен нулю ($ x - 1 \ne 0 \Rightarrow x \ne 1 $) и подкоренное выражение неотрицательно ($ \frac{2x + 3}{x - 1} \ge 0 $).
Решая неравенство методом интервалов, получаем ОДЗ: $ x \in (-\infty; -1.5] \cup (1; +\infty) $.
Возведем обе части уравнения в квадрат: $ \left(\sqrt{\frac{2x + 3}{x - 1}}\right)^2 = 1^2 $
$ \frac{2x + 3}{x - 1} = 1 $
Умножим обе части на $ (x - 1) $, так как $ x \ne 1 $:
$ 2x + 3 = x - 1 $
$ 2x - x = -1 - 3 $
$ x = -4 $
Найденное значение $ x = -4 $ принадлежит ОДЗ, так как $ -4 \in (-\infty; -1.5] $.
Ответ: $ -4 $.

б) Дано уравнение $ \sqrt{\frac{x + 5}{4x - 1}} = 4 $.
ОДЗ: $ 4x - 1 \ne 0 \Rightarrow x \ne \frac{1}{4} $ и $ \frac{x + 5}{4x - 1} \ge 0 $.
Решая неравенство методом интервалов, получаем ОДЗ: $ x \in (-\infty; -5] \cup (\frac{1}{4}; +\infty) $.
Возведем обе части уравнения в квадрат: $ \left(\sqrt{\frac{x + 5}{4x - 1}}\right)^2 = 4^2 $
$ \frac{x + 5}{4x - 1} = 16 $
Умножим обе части на $ (4x - 1) $, так как $ x \ne \frac{1}{4} $:
$ x + 5 = 16(4x - 1) $
$ x + 5 = 64x - 16 $
$ 5 + 16 = 64x - x $
$ 21 = 63x $
$ x = \frac{21}{63} = \frac{1}{3} $
Найденное значение $ x = \frac{1}{3} $ принадлежит ОДЗ, так как $ \frac{1}{3} > \frac{1}{4} $ ($ \frac{4}{12} > \frac{3}{12} $), т.е. $ \frac{1}{3} \in (\frac{1}{4}; +\infty) $.
Ответ: $ \frac{1}{3} $.

в) Дано уравнение $ \sqrt{\frac{5x - 1}{x + 3}} = 2 $.
ОДЗ: $ x + 3 \ne 0 \Rightarrow x \ne -3 $ и $ \frac{5x - 1}{x + 3} \ge 0 $.
Решая неравенство методом интервалов, получаем ОДЗ: $ x \in (-\infty; -3) \cup [\frac{1}{5}; +\infty) $.
Возведем обе части уравнения в квадрат: $ \left(\sqrt{\frac{5x - 1}{x + 3}}\right)^2 = 2^2 $
$ \frac{5x - 1}{x + 3} = 4 $
Умножим обе части на $ (x + 3) $, так как $ x \ne -3 $:
$ 5x - 1 = 4(x + 3) $
$ 5x - 1 = 4x + 12 $
$ 5x - 4x = 12 + 1 $
$ x = 13 $
Найденное значение $ x = 13 $ принадлежит ОДЗ, так как $ 13 \in [\frac{1}{5}; +\infty) $.
Ответ: $ 13 $.

г) Дано уравнение $ \sqrt{\frac{x - 4}{3x + 1}} = 3 $.
ОДЗ: $ 3x + 1 \ne 0 \Rightarrow x \ne -\frac{1}{3} $ и $ \frac{x - 4}{3x + 1} \ge 0 $.
Решая неравенство методом интервалов, получаем ОДЗ: $ x \in (-\infty; -\frac{1}{3}) \cup [4; +\infty) $.
Возведем обе части уравнения в квадрат: $ \left(\sqrt{\frac{x - 4}{3x + 1}}\right)^2 = 3^2 $
$ \frac{x - 4}{3x + 1} = 9 $
Умножим обе части на $ (3x + 1) $, так как $ x \ne -\frac{1}{3} $:
$ x - 4 = 9(3x + 1) $
$ x - 4 = 27x + 9 $
$ -4 - 9 = 27x - x $
$ -13 = 26x $
$ x = -\frac{13}{26} = -\frac{1}{2} $
Найденное значение $ x = -\frac{1}{2} $ принадлежит ОДЗ, так как $ -\frac{1}{2} < -\frac{1}{3} $ ($ -0.5 < -0.33... $), т.е. $ -\frac{1}{2} \in (-\infty; -\frac{1}{3}) $.
Ответ: $ -\frac{1}{2} $.