Страница 184, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. Какие уравнения называют иррациональными?

1. Какие уравнения называют иррациональными?

Иррациональными называют уравнения, в которых переменная (неизвестное) находится под знаком корня (радикала). Иначе говоря, если в уравнении есть выражение вида $\sqrt[n]{f(x)}$, где $f(x)$ — это алгебраическое выражение, содержащее переменную $x$, то такое уравнение является иррациональным.

Ключевая особенность иррационального уравнения — это наличие переменной в подкоренном выражении. Показатель корня $n$ — это натуральное число, большее или равное 2.

Также к иррациональным уравнениям относят те, что содержат переменную в основании степени с рациональным (дробным) показателем, поскольку такую степень всегда можно представить в виде корня по определению: $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^m}$.

Примеры иррациональных уравнений:

• $\sqrt{x-2} = 4$ — переменная $x$ находится под знаком квадратного корня.
• $\sqrt[3]{x^2 + 1} = 5$ — переменная $x$ находится под знаком кубического корня.
• $\sqrt{3x+4} + \sqrt{x-4} = 2\sqrt{x}$ — переменная $x$ содержится в нескольких подкоренных выражениях.
• $(x+3)^{\frac{1}{2}} = x - 3$ — это уравнение эквивалентно иррациональному уравнению $\sqrt{x+3} = x - 3$.

Важно отличать иррациональные уравнения от уравнений, которые содержат иррациональные числа в качестве коэффициентов, но переменная в них не находится под корнем. Например, уравнение $x\sqrt{5} = 10$ не является иррациональным. Это простое линейное уравнение, где $\sqrt{5}$ — это иррациональный коэффициент.

Основным методом решения иррациональных уравнений является возведение обеих частей уравнения в степень, равную показателю корня, с целью избавления от радикала. Этот метод может приводить к появлению посторонних корней, поэтому обязательным этапом решения является проверка всех найденных корней или нахождение области допустимых значений (ОДЗ).

Ответ: Иррациональные уравнения — это уравнения, в которых переменная находится под знаком корня или в основании степени с дробным показателем.

2. Почему при решении иррационального уравнения следует обязательно делать проверку найденных корней?

При решении иррациональных уравнений, то есть уравнений, содержащих переменную под знаком корня, обязательная проверка найденных корней необходима из-за того, что в процессе решения используются неравносильные преобразования. Основным таким преобразованием является возведение обеих частей уравнения в степень (чаще всего в квадрат) с целью избавления от радикала.

Проблема заключается в том, что если исходное уравнение имело вид $f(x) = g(x)$, то после возведения в квадрат мы получаем уравнение $(f(x))^2 = (g(x))^2$. Важно понимать, что из равенства $A=B$ следует $A^2=B^2$, но из $A^2=B^2$ следует совокупность $[_{A=-B}^{A=B}$.

Это означает, что уравнение, полученное после возведения в квадрат, является следствием исходного, но не равносильно ему. Его решениями будут не только корни исходного уравнения $f(x) = g(x)$, но и корни уравнения $f(x) = -g(x)$. Корни, которые удовлетворяют второму уравнению, но не удовлетворяют первому, называются посторонними корнями. Проверка как раз и служит для того, чтобы отделить истинные корни от посторонних.

Рассмотрим наглядный пример. Решим уравнение:

$\sqrt{x+2} = x$

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$(\sqrt{x+2})^2 = x^2$

$x+2 = x^2$

Перенесем все члены в одну сторону и получим квадратное уравнение:

$x^2 - x - 2 = 0$

По теореме Виета или через дискриминант находим корни этого уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Теперь выполним обязательную проверку, подставив найденные значения в исходное уравнение $\sqrt{x+2} = x$.

1. Проверяем корень $x_1 = 2$:
$\sqrt{2+2} = 2$
$\sqrt{4} = 2$
$2 = 2$
Равенство верное, значит, $x=2$ является корнем исходного уравнения.

2. Проверяем корень $x_2 = -1$:
$\sqrt{-1+2} = -1$
$\sqrt{1} = -1$
$1 = -1$
Равенство неверное. Следовательно, $x=-1$ — это посторонний корень, который появился в результате возведения в квадрат. Он не является решением исходного уравнения.

Альтернативой проверке подстановкой является нахождение области допустимых значений (ОДЗ). Для уравнения $\sqrt{x+2} = x$ должны выполняться условия:

1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x+2 \ge 0 \implies x \ge -2$.
2. Арифметический квадратный корень по определению неотрицателен, поэтому правая часть уравнения также должна быть неотрицательной: $x \ge 0$.

Общая ОДЗ: $x \ge 0$. Из найденных нами потенциальных корней ($2$ и $-1$) только $x=2$ удовлетворяет этому условию. Корень $x=-1$ не входит в ОДЗ, поэтому он отбрасывается.

Таким образом, проверка необходима для отсеивания посторонних корней, которые могут возникнуть из-за неравносильности преобразования возведения в степень.

Ответ: Проверку найденных корней при решении иррационального уравнения следует делать обязательно, поскольку основной метод решения — возведение в степень — является неравносильным преобразованием. Это преобразование расширяет множество решений и может привести к появлению посторонних корней, которые не удовлетворяют исходному уравнению. Проверка (путем подстановки в исходное уравнение или через нахождение области допустимых значений) позволяет отсеять эти посторонние корни и найти верное решение.

3. В каком случае уравнения $f(x) = g(x)$ и $r(x) = s(x)$ называют равносильными?

Два уравнения, $f(x) = g(x)$ и $r(x) = s(x)$, называют равносильными (или эквивалентными), если множества их корней (решений) полностью совпадают.

Это означает, что должны выполняться два условия:

• Каждый корень первого уравнения $f(x) = g(x)$ является также корнем второго уравнения $r(x) = s(x)$.
• Каждый корень второго уравнения $r(x) = s(x)$ является также корнем первого уравнения $f(x) = g(x)$.

Другими словами, если обозначить множество корней первого уравнения как $X_1$, а множество корней второго уравнения как $X_2$, то уравнения будут равносильными тогда и только тогда, когда $X_1 = X_2$.

Равносильность также имеет место в том случае, когда оба уравнения не имеют корней. В этом случае их множества решений совпадают, так как оба являются пустыми множествами ($\emptyset$).

Пример 1: Равносильные уравнения

Рассмотрим уравнения $x + 5 = 7$ и $3x = 6$.

• Решением первого уравнения является $x = 2$. Множество корней: $\{2\}$.
• Решением второго уравнения также является $x = 2$. Множество корней: $\{2\}$.

Поскольку множества решений этих уравнений совпадают, уравнения являются равносильными.

Пример 2: Неравносильные уравнения

Рассмотрим уравнения $\sqrt{x} = -2$ и $x^2 = -1$.

• Первое уравнение $\sqrt{x} = -2$ не имеет действительных корней, так как квадратный корень не может быть отрицательным. Множество корней: $\emptyset$.
• Второе уравнение $x^2 = -1$ также не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен. Множество корней: $\emptyset$.

Поскольку оба уравнения не имеют решений (их множества решений пусты и, следовательно, равны), они являются равносильными на множестве действительных чисел.

Пример 3: Неравносильные уравнения

Рассмотрим уравнения $x^2 = 16$ и $x = 4$.

• Первое уравнение $x^2 = 16$ имеет два корня: $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$. Множество корней: $\{-4, 4\}$.
• Второе уравнение $x = 4$ имеет только один корень: $x = 4$. Множество корней: $\{4\}$.

Множества решений не совпадают, так как корень $x = -4$ первого уравнения не является корнем второго. Следовательно, эти уравнения не являются равносильными.

Ответ: Уравнения $f(x) = g(x)$ и $r(x) = s(x)$ называют равносильными, если множества их решений (корней) совпадают. Это включает и случай, когда оба уравнения не имеют решений.

4. Какие преобразования уравнения являются равносильными?

Равносильными (или эквивалентными) называются такие преобразования, которые заменяют данное уравнение другим уравнением, имеющим в точности то же самое множество корней. Если уравнение не имеет корней, то равносильное ему уравнение также не должно иметь корней.

Цель равносильных преобразований — упростить уравнение для его последующего решения. Рассмотрим основные виды таких преобразований.

1. Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую.

Любой член уравнения можно перенести из одной его части в другую, изменив при этом его знак на противоположный. Это преобразование является равносильным. Фактически, это равносильно прибавлению (или вычитанию) одного и того же выражения к обеим частям уравнения.

Пример: Уравнение $5x - 7 = 2x + 8$ равносильно уравнению $5x - 2x = 8 + 7$.

2. Умножение или деление обеих частей уравнения на ненулевое число.

Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число $c$, если $c \neq 0$. Это преобразование не изменяет множество корней уравнения.

Пример: Уравнение $12x = 48$ равносильно уравнению $x = 4$, так как мы разделили обе части на $12$. Уравнение $\frac{1}{3}x - 1 = 5$ равносильно уравнению $x - 3 = 15$, так как мы умножили обе части на $3$.

3. Тождественные преобразования в частях уравнения.

Можно выполнять тождественные преобразования (раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых, применение формул сокращенного умножения и т. д.) в левой или правой части уравнения, если эти преобразования не изменяют Область допустимых значений (ОДЗ) переменной.

Пример: Преобразование уравнения $(x-3)^2 = 2x$ в уравнение $x^2 - 6x + 9 = 2x$ является равносильным, так как ОДЗ ($x \in \mathbb{R}$) не изменилась.

Важно: некоторые тождественные преобразования выражений могут сужать или расширять ОДЗ и, следовательно, не быть равносильными для уравнения. Например, замена $\log_a(f(x) \cdot g(x))$ на $\log_a f(x) + \log_a g(x)$ сужает ОДЗ, а обратная замена — расширяет. Аналогично, преобразование $\sqrt{x^2} = 5$ в $x = 5$ не является равносильным, так как теряется корень $x=-5$. Правильное равносильное преобразование: $|x|=5$.

4. Замена части уравнения на тождественно равное ей выражение.

Если в уравнении некоторую его часть (выражение) заменить на тождественно равное ему выражение, то получится равносильное уравнение. Это является обобщением предыдущих пунктов.

Существуют также преобразования, которые могут приводить к потере или приобретению корней, и поэтому они не всегда являются равносильными. К ним относятся:

• Умножение или деление обеих частей на выражение, содержащее переменную (которое может обращаться в ноль).
• Возведение обеих частей уравнения в четную степень.

Применение таких преобразований требует дополнительной проверки: либо проверки найденных корней подстановкой в исходное уравнение, либо анализа ОДЗ и условий, при которых преобразование является равносильным (например, неотрицательность обеих частей перед возведением в квадрат).

Ответ: Равносильными являются преобразования, которые не меняют множество корней уравнения. Основные из них:
1. Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую с изменением знака.
2. Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же число, не равное нулю.
3. Тождественные преобразования выражений в частях уравнения, не изменяющие его область допустимых значений (ОДЗ).

5. Какие преобразования уравнения могут привести к появлению посторонних корней?

Посторонние корни — это значения переменной, которые являются решениями уравнения, полученного в результате преобразований, но не являются решениями исходного уравнения. Их появление связано с выполнением неравносильных преобразований, которые приводят к уравнению-следствию. Основные такие преобразования перечислены ниже.

1. Возведение обеих частей уравнения в четную степень

Это одно из самых частых преобразований, приводящих к появлению посторонних корней. Уравнение $f(x) = g(x)$ и уравнение $f(x)^{2n} = g(x)^{2n}$ (где $n$ — натуральное число) не всегда равносильны. Из того, что $f(x) = g(x)$, следует, что $f(x)^{2n} = g(x)^{2n}$. Однако обратное неверно: из $f(x)^{2n} = g(x)^{2n}$ следует лишь, что $|f(x)| = |g(x)|$, то есть $f(x)=g(x)$ или $f(x)=-g(x)$. Второе уравнение совокупности и может дать посторонние корни.

Пример: Решить иррациональное уравнение $\sqrt{x+2} = x$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от радикала:

$(\sqrt{x+2})^2 = x^2$

$x+2 = x^2$

$x^2 - x - 2 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Выполним проверку, подставив найденные значения в исходное уравнение:

• Для $x_1 = 2$: $\sqrt{2+2} = 2 \Rightarrow \sqrt{4} = 2 \Rightarrow 2=2$. Это верное равенство, значит $x=2$ является корнем.
• Для $x_2 = -1$: $\sqrt{-1+2} = -1 \Rightarrow \sqrt{1} = -1 \Rightarrow 1=-1$. Это неверное равенство, значит $x=-1$ является посторонним корнем.

Посторонний корень появился, так как при возведении в квадрат мы не учли, что правая часть исходного уравнения ($x$) должна быть неотрицательной, поскольку она равна значению арифметического квадратного корня.

Ответ: Возведение обеих частей уравнения в четную степень (квадрат, четвертую степень и т.д.) может привести к появлению посторонних корней из-за потери информации о знаках выражений.

2. Умножение обеих частей уравнения на выражение с переменной

Это преобразование опасно, если выражение, на которое мы умножаем, может обращаться в ноль. Если мы умножаем обе части уравнения на $h(x)$, то все корни исходного уравнения останутся корнями, но могут добавиться новые — те значения $x$, при которых $h(x)=0$. Частным случаем является избавление от знаменателя в дробно-рациональных уравнениях, что равносильно умножению на этот знаменатель.

Пример: Решить уравнение $\frac{x^2-9}{x-3} = 2x$.

Область допустимых значений (ОДЗ) этого уравнения: $x-3 \neq 0$, то есть $x \neq 3$.

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части на $(x-3)$:

$x^2 - 9 = 2x(x-3)$

$x^2 - 9 = 2x^2 - 6x$

$x^2 - 6x + 9 = 0$

$(x-3)^2 = 0$

Это уравнение имеет один корень $x=3$.

Однако, если мы подставим этот корень в исходное уравнение, то получим деление на ноль в левой части. Значит, $x=3$ не входит в ОДЗ и является посторонним корнем. Исходное уравнение решений не имеет.

Ответ: Умножение уравнения на выражение, содержащее переменную, или избавление от знаменателя без учета области допустимых значений (ОДЗ) может привести к появлению посторонних корней.

3. Неравносильные преобразования логарифмических или тригонометрических уравнений

Использование различных формул и свойств (например, свойств логарифмов или формул универсальной тригонометрической подстановки) может приводить к расширению ОДЗ и, как следствие, появлению посторонних корней.

Пример: Решить уравнение $\log_2(x) + \log_2(x-1) = 1$.

ОДЗ исходного уравнения определяется системой неравенств: $\begin{cases} x > 0 \\ x-1 > 0 \end{cases}$, что равносильно $x > 1$.

Используем свойство суммы логарифмов: $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$.

$\log_2(x(x-1)) = 1$

Заметим, что ОДЗ этого уравнения — $x(x-1)>0$, то есть $x \in (-\infty, 0) \cup (1, \infty)$. ОДЗ расширилась.

Решаем полученное уравнение:

$x(x-1) = 2^1$

$x^2 - x - 2 = 0$

Корни этого уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Теперь вернемся к ОДЗ исходного уравнения ($x > 1$):

• $x_1 = 2$ удовлетворяет условию $2 > 1$. Это корень.
• $x_2 = -1$ не удовлетворяет условию $-1 > 1$. Это посторонний корень.

Ответ: Применение формул, которые расширяют ОДЗ (например, объединение логарифмов), может привести к появлению посторонних корней. Для их отсева необходима проверка по ОДЗ исходного уравнения.

В общем случае, любое преобразование, которое не является равносильным, а приводит лишь к уравнению-следствию, потенциально может добавить посторонние корни. Поэтому фундаментальным правилом при решении уравнений является проверка всех найденных корней путем их подстановки в исходное уравнение или соотнесения с исходной областью допустимых значений.

Сократите дробь:

32.37 a) $\frac{x - 5\sqrt{x} - 14}{x - 2\sqrt{x} - 8};$

б) $\frac{x^4 - 10x^2 + 9}{x^2 - 2x - 3};$

в) $\frac{2x + 11\sqrt{x} - 6}{x + 3\sqrt{x} - 18};$

г) $\frac{x^3 - 4x}{x^4 - 3x^2 - 4}.$

а) $ \frac{x - 5\sqrt{x} - 14}{x - 2\sqrt{x} - 8} $

Для того чтобы сократить эту дробь, удобно ввести замену переменной. Пусть $ y = \sqrt{x} $, тогда $ x = y^2 $. Отметим, что $ x \ge 0 $, следовательно, $ y \ge 0 $. Исходное выражение примет вид:

$ \frac{y^2 - 5y - 14}{y^2 - 2y - 8} $

Теперь необходимо разложить числитель и знаменатель на множители. Для этого найдем корни соответствующих квадратных уравнений.

Для числителя $ y^2 - 5y - 14 $: решим уравнение $ y^2 - 5y - 14 = 0 $. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно -14. Легко подобрать корни: $ y_1 = 7 $ и $ y_2 = -2 $. Таким образом, $ y^2 - 5y - 14 = (y - 7)(y - (-2)) = (y - 7)(y + 2) $.

Для знаменателя $ y^2 - 2y - 8 $: решим уравнение $ y^2 - 2y - 8 = 0 $. По теореме Виета, сумма корней равна 2, а их произведение равно -8. Корни: $ y_1 = 4 $ и $ y_2 = -2 $. Таким образом, $ y^2 - 2y - 8 = (y - 4)(y - (-2)) = (y - 4)(y + 2) $.

Подставим полученные разложения обратно в дробь:

$ \frac{(y - 7)(y + 2)}{(y - 4)(y + 2)} $

Сократим общий множитель $ (y + 2) $. Поскольку $ y = \sqrt{x} \ge 0 $, то $ y+2 > 0 $, значит, этот множитель никогда не равен нулю. Область определения исходной функции требует, чтобы знаменатель не был равен нулю: $ x - 2\sqrt{x} - 8 \neq 0 $, что эквивалентно $ (y-4)(y+2) \neq 0 $, откуда $ y \neq 4 $, т.е. $ x \neq 16 $.

После сокращения получаем:

$ \frac{y - 7}{y - 4} $

Теперь выполним обратную замену $ y = \sqrt{x} $:

$ \frac{\sqrt{x} - 7}{\sqrt{x} - 4} $

Ответ: $ \frac{\sqrt{x} - 7}{\sqrt{x} - 4} $.

б) $ \frac{x^4 - 10x^2 + 9}{x^2 - 2x - 3} $

Разложим на множители числитель и знаменатель.

Числитель $ x^4 - 10x^2 + 9 $ — это биквадратный трехчлен. Сделаем замену $ z = x^2 $. Получим квадратный трехчлен $ z^2 - 10z + 9 $. Корни уравнения $ z^2 - 10z + 9 = 0 $ по теореме Виета — это $ z_1 = 1 $ и $ z_2 = 9 $. Значит, $ z^2 - 10z + 9 = (z - 1)(z - 9) $. Вернемся к переменной $ x $: $ (x^2 - 1)(x^2 - 9) $. Применим формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $ к обоим множителям: $ (x - 1)(x + 1)(x - 3)(x + 3) $.

Знаменатель $ x^2 - 2x - 3 $. Найдем корни уравнения $ x^2 - 2x - 3 = 0 $. По теореме Виета, корни равны $ x_1 = 3 $ и $ x_2 = -1 $. Значит, $ x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1) $.

Подставим разложения в исходную дробь:

$ \frac{(x - 1)(x + 1)(x - 3)(x + 3)}{(x + 1)(x - 3)} $

Сократим общие множители $ (x + 1) $ и $ (x - 3) $ (при условии, что $ x \neq -1 $ и $ x \neq 3 $, так как при этих значениях знаменатель обращается в нуль).

$ (x - 1)(x + 3) $

Раскроем скобки, чтобы получить многочлен в стандартном виде: $ x^2 + 3x - x - 3 = x^2 + 2x - 3 $.

Ответ: $ x^2 + 2x - 3 $.

в) $ \frac{2x + 11\sqrt{x} - 6}{x + 3\sqrt{x} - 18} $

Снова воспользуемся заменой переменной. Пусть $ y = \sqrt{x} $, тогда $ x = y^2 $ ($ y \ge 0 $). Выражение преобразуется к виду:

$ \frac{2y^2 + 11y - 6}{y^2 + 3y - 18} $

Разложим на множители числитель и знаменатель.

Для числителя $ 2y^2 + 11y - 6 $: решим уравнение $ 2y^2 + 11y - 6 = 0 $. Найдем дискриминант: $ D = 11^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 121 + 48 = 169 = 13^2 $. Корни уравнения: $ y_1 = \frac{-11 - 13}{2 \cdot 2} = \frac{-24}{4} = -6 $ и $ y_2 = \frac{-11 + 13}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $. Разложение на множители: $ 2(y - (-6))(y - \frac{1}{2}) = (y + 6)(2y - 1) $.

Для знаменателя $ y^2 + 3y - 18 $: решим уравнение $ y^2 + 3y - 18 = 0 $. По теореме Виета, корни равны $ y_1 = 3 $ и $ y_2 = -6 $. Разложение на множители: $ (y - 3)(y - (-6)) = (y - 3)(y + 6) $.

Подставим разложения в дробь:

$ \frac{(2y - 1)(y + 6)}{(y - 3)(y + 6)} $

Сократим общий множитель $ (y + 6) $. Так как $ y = \sqrt{x} \ge 0 $, то $ y+6 > 0 $. Знаменатель исходной дроби не равен нулю при $ y \neq 3 $, т.е. $ x \neq 9 $.

$ \frac{2y - 1}{y - 3} $

Выполним обратную замену $ y = \sqrt{x} $:

$ \frac{2\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - 3} $

Ответ: $ \frac{2\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - 3} $.

г) $ \frac{x^3 - 4x}{x^4 - 3x^2 - 4} $

Разложим на множители числитель и знаменатель дроби.

Числитель $ x^3 - 4x $: вынесем общий множитель $ x $ за скобки, получим $ x(x^2 - 4) $. Выражение в скобках является разностью квадратов, поэтому $ x(x - 2)(x + 2) $.

Знаменатель $ x^4 - 3x^2 - 4 $: это биквадратный трехчлен. Пусть $ z = x^2 $. Тогда выражение примет вид $ z^2 - 3z - 4 $. Найдем корни уравнения $ z^2 - 3z - 4 = 0 $. По теореме Виета, корни равны $ z_1 = 4 $ и $ z_2 = -1 $. Таким образом, $ z^2 - 3z - 4 = (z - 4)(z + 1) $. Выполнив обратную замену, получим $ (x^2 - 4)(x^2 + 1) $. Разложим первый множитель по формуле разности квадратов: $ (x - 2)(x + 2)(x^2 + 1) $.

Подставим разложения в исходную дробь:

$ \frac{x(x - 2)(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)(x^2 + 1)} $

Сократим общие множители $ (x - 2) $ и $ (x + 2) $. Это возможно при $ x \neq 2 $ и $ x \neq -2 $, так как при этих значениях знаменатель обращается в нуль. Множитель $ (x^2+1) $ всегда положителен при любых действительных $ x $.

$ \frac{x}{x^2 + 1} $

Ответ: $ \frac{x}{x^2 + 1} $.

32.38 a) $\frac{x^3 + 5x^2 - 4x - 20}{x^2 + 3x - 10}$;

б) $\frac{x^3 - 2x^2 - 16x + 32}{x^2 - 6x + 8}$;

в) $\frac{x^3 + x^2 - 4x - 4}{x^2 + 3x + 2}$;

г) $\frac{x^3 - 3x^2 - x + 3}{x^2 - 2x - 3}$.

а)

Чтобы упростить дробь $\frac{x^3 + 5x^2 - 4x - 20}{x^2 + 3x - 10}$, необходимо разложить на множители числитель и знаменатель.

Разложим числитель $x^3 + 5x^2 - 4x - 20$ методом группировки:

$x^3 + 5x^2 - 4x - 20 = (x^3 + 5x^2) - (4x + 20) = x^2(x + 5) - 4(x + 5) = (x + 5)(x^2 - 4)$.

Выражение $x^2 - 4$ является разностью квадратов, поэтому его можно разложить дальше: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$.

Таким образом, числитель равен $(x + 5)(x - 2)(x + 2)$.

Разложим знаменатель $x^2 + 3x - 10$. Это квадратный трехчлен. Найдем его корни по теореме Виета. Сумма корней равна $-3$, а произведение равно $-10$. Корнями являются числа $2$ и $-5$.

Следовательно, $x^2 + 3x - 10 = (x - 2)(x - (-5)) = (x - 2)(x + 5)$.

Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь и сократим:

$\frac{(x + 5)(x - 2)(x + 2)}{(x - 2)(x + 5)} = x + 2$.

Сокращение возможно при условии, что $x \neq 2$ и $x \neq -5$.

Ответ: $x + 2$.

б)

Упростим дробь $\frac{x^3 - 2x^2 - 16x + 32}{x^2 - 6x + 8}$.

Разложим числитель $x^3 - 2x^2 - 16x + 32$ на множители методом группировки:

$x^3 - 2x^2 - 16x + 32 = (x^3 - 2x^2) - (16x - 32) = x^2(x - 2) - 16(x - 2) = (x - 2)(x^2 - 16)$.

Используя формулу разности квадратов, получаем: $(x - 2)(x - 4)(x + 4)$.

Разложим знаменатель $x^2 - 6x + 8$. По теореме Виета, сумма корней равна $6$, произведение равно $8$. Корни — это $2$ и $4$.

Значит, $x^2 - 6x + 8 = (x - 2)(x - 4)$.

Подставим разложения в дробь и сократим общие множители:

$\frac{(x - 2)(x - 4)(x + 4)}{(x - 2)(x - 4)} = x + 4$.

Сокращение возможно при условии, что $x \neq 2$ и $x \neq 4$.

Ответ: $x + 4$.

в)

Упростим дробь $\frac{x^3 + x^2 - 4x - 4}{x^2 + 3x + 2}$.

Разложим числитель $x^3 + x^2 - 4x - 4$ на множители методом группировки:

$x^3 + x^2 - 4x - 4 = (x^3 + x^2) - (4x + 4) = x^2(x + 1) - 4(x + 1) = (x + 1)(x^2 - 4)$.

Применив формулу разности квадратов, получим: $(x + 1)(x - 2)(x + 2)$.

Разложим знаменатель $x^2 + 3x + 2$. По теореме Виета, сумма корней равна $-3$, произведение равно $2$. Корни — это $-1$ и $-2$.

Следовательно, $x^2 + 3x + 2 = (x - (-1))(x - (-2)) = (x + 1)(x + 2)$.

Подставим разложения в дробь и сократим:

$\frac{(x + 1)(x - 2)(x + 2)}{(x + 1)(x + 2)} = x - 2$.

Сокращение возможно при условии, что $x \neq -1$ и $x \neq -2$.

Ответ: $x - 2$.

г)

Упростим дробь $\frac{x^3 - 3x^2 - x + 3}{x^2 - 2x - 3}$.

Разложим числитель $x^3 - 3x^2 - x + 3$ на множители методом группировки:

$x^3 - 3x^2 - x + 3 = (x^3 - 3x^2) - (x - 3) = x^2(x - 3) - 1(x - 3) = (x - 3)(x^2 - 1)$.

Используя формулу разности квадратов, получим: $(x - 3)(x - 1)(x + 1)$.

Разложим знаменатель $x^2 - 2x - 3$. По теореме Виета, сумма корней равна $2$, произведение равно $-3$. Корни — это $3$ и $-1$.

Следовательно, $x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x - (-1)) = (x - 3)(x + 1)$.

Подставим разложения в дробь и сократим:

$\frac{(x - 3)(x - 1)(x + 1)}{(x - 3)(x + 1)} = x - 1$.

Сокращение возможно при условии, что $x \neq 3$ и $x \neq -1$.

Ответ: $x - 1$.

32.39 Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 - 9x - 17 = 0$. Не решая уравнения, вычислите:

а) $x_1^2 + x_2^2$;

б) $x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2$.

Для решения данной задачи, не находя сами корни уравнения $x^2 - 9x - 17 = 0$, воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ теорема Виета гласит:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$
• Произведение корней: $x_1 x_2 = q$

В нашем случае, для уравнения $x^2 - 9x - 17 = 0$, коэффициенты равны $p = -9$ и $q = -17$.

Следовательно, мы можем найти сумму и произведение корней $x_1$ и $x_2$:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-9) = 9$.

Произведение корней: $x_1 x_2 = -17$.

Теперь мы можем использовать эти значения для вычисления требуемых выражений.

а) $x_1^2 + x_2^2$

Чтобы найти сумму квадратов корней, преобразуем это выражение, выделив полный квадрат суммы. Мы знаем, что $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$.

Отсюда можно выразить $x_1^2 + x_2^2$:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.

Теперь подставим найденные значения суммы и произведения корней:

$x_1^2 + x_2^2 = (9)^2 - 2 \cdot (-17) = 81 + 34 = 115$.

Ответ: 115.

б) $x_1^2x_2 + x_1x_2^2$

Чтобы найти значение этого выражения, вынесем за скобки общий множитель $x_1x_2$:

$x_1^2x_2 + x_1x_2^2 = x_1x_2(x_1 + x_2)$.

Теперь подставим известные нам значения произведения ($x_1x_2 = -17$) и суммы ($x_1 + x_2 = 9$) корней:

$x_1x_2(x_1 + x_2) = (-17) \cdot 9 = -153$.

Ответ: -153.

32.40 Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $3x^2 + 8x - 1 = 0$. Не решая уравнения, вычислите:

a) $x_1^2 + x_2^2$;

б) $x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2$.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Виета, которая позволяет найти сумму и произведение корней квадратного уравнения, не решая его.

Для общего квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ формулы Виета выглядят так:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

Произведение корней: $x_1 x_2 = \frac{c}{a}$

В данном уравнении $3x^2 + 8x - 1 = 0$ коэффициенты имеют значения: $a = 3$, $b = 8$, $c = -1$.

Подставим эти значения в формулы Виета:

$x_1 + x_2 = -\frac{8}{3}$

$x_1 x_2 = -\frac{1}{3}$

Теперь, зная сумму и произведение корней, можем вычислить требуемые выражения.

а) $x_1^2 + x_2^2$

Чтобы найти сумму квадратов корней, преобразуем это выражение. Мы знаем, что $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$. Отсюда можно выразить $x_1^2 + x_2^2$:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

Подставим вычисленные ранее значения суммы и произведения корней:

$x_1^2 + x_2^2 = \left(-\frac{8}{3}\right)^2 - 2 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{64}{9} + \frac{2}{3}$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{64}{9} + \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{64}{9} + \frac{6}{9} = \frac{64 + 6}{9} = \frac{70}{9}$.

Ответ: $\frac{70}{9}$.

б) $x_1^2x_2 + x_1x_2^2$

Для вычисления этого выражения вынесем общий множитель $x_1x_2$ за скобки:

$x_1^2x_2 + x_1x_2^2 = x_1x_2(x_1 + x_2)$

Подставим известные нам значения произведения и суммы корней:

$x_1x_2(x_1 + x_2) = \left(-\frac{1}{3}\right) \cdot \left(-\frac{8}{3}\right) = \frac{8}{9}$.

Ответ: $\frac{8}{9}$.

32.41 Дано уравнение $x^2 - (2p^2 - p - 6)x + (8p - 1) = 0$. Известно, что сумма его корней равна $-5$. Найдите значения параметра $p$.

Данное уравнение является квадратным уравнением вида $ax^2 + bx + c = 0$, где:

• $a = 1$
• $b = -(2p^2 - p - 6)$
• $c = 8p - 1$

Согласно теореме Виета, сумма корней ($x_1 + x_2$) квадратного уравнения равна $-b/a$.

В нашем случае сумма корней выражается как:

$x_1 + x_2 = -\frac{-(2p^2 - p - 6)}{1} = 2p^2 - p - 6$

По условию задачи, сумма корней равна -5. Следовательно, мы можем составить уравнение для нахождения параметра $p$:

$2p^2 - p - 6 = -5$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение относительно $p$:

$2p^2 - p - 6 + 5 = 0$

$2p^2 - p - 1 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$

Поскольку дискриминант положительный ($D = 9 > 0$), уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем значения $p$:

$p_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 3}{4} = \frac{4}{4} = 1$

$p_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 3}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$

Мы получили два значения параметра $p$, при которых сумма корней исходного уравнения равна -5. Теорема Виета справедлива как для действительных, так и для комплексных корней, поэтому дополнительная проверка существования действительных корней у исходного уравнения не требуется по условию задачи.

Ответ: $p_1 = 1$, $p_2 = -0.5$.

32.42 Дано уравнение $x^2 - (p + 1)x + (2p^2 - 9p - 12) = 0$. Известно, что произведение его корней равно $-21$. Найдите значения параметра $p$.

Дано квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты равны:

$a = 1$

$b = -(p + 1)$

$c = 2p^2 - 9p - 12$

Согласно теореме Виета, для приведенного квадратного уравнения (где $a=1$) произведение его корней $x_1$ и $x_2$ равно свободному члену $c$.

$x_1 \cdot x_2 = c$

Для нашего уравнения это означает:

$x_1 \cdot x_2 = 2p^2 - 9p - 12$

В условии задачи сказано, что произведение корней равно -21. Приравняем выражение для произведения корней к этому значению:

$2p^2 - 9p - 12 = -21$

Теперь необходимо решить это уравнение относительно параметра $p$. Перенесем все слагаемые в левую часть:

$2p^2 - 9p - 12 + 21 = 0$

$2p^2 - 9p + 9 = 0$

Мы получили новое квадратное уравнение для $p$. Решим его, найдя дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 9 = 81 - 72 = 9$

Поскольку дискриминант положителен ($D > 0$), уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем значения $p$:

$p_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-9) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{9 + 3}{4} = \frac{12}{4} = 3$

$p_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-9) - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{9 - 3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1.5$

Важно убедиться, что при найденных значениях $p$ исходное уравнение имеет действительные корни. Для этого его собственный дискриминант $D_x$ должен быть неотрицательным ($D_x \ge 0$).

$D_x = (-(p+1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2p^2 - 9p - 12) \ge 0$

$(p+1)^2 - 4(2p^2 - 9p - 12) \ge 0$

$p^2 + 2p + 1 - 8p^2 + 36p + 48 \ge 0$

$-7p^2 + 38p + 49 \ge 0$

Проверим выполнение этого неравенства для каждого найденного значения $p$.

1. При $p = 3$:

$-7(3)^2 + 38(3) + 49 = -7 \cdot 9 + 114 + 49 = -63 + 163 = 100$

$100 \ge 0$. Условие выполняется.

2. При $p = 1.5$:

$-7(1.5)^2 + 38(1.5) + 49 = -7(2.25) + 57 + 49 = -15.75 + 106 = 90.25$

$90.25 \ge 0$. Условие также выполняется.

Оба значения параметра $p$ удовлетворяют всем условиям задачи.

Ответ: $p = 3$ или $p = 1.5$.

32.43 При некотором значении параметра $p$ корни квадратного уравнения $2px^2 + (p^2 - 9)x - 5p + 2 = 0$ являются противоположными числами. Найдите эти корни.

Дано квадратное уравнение $2px^2 + (p^2 - 9)x - 5p + 2 = 0$. По условию, его корни являются противоположными числами. Если обозначить корни как $x_1$ и $x_2$, то это означает, что их сумма равна нулю: $x_1 + x_2 = 0$.

Согласно теореме Виета, для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ сумма корней равна $x_1 + x_2 = -b/a$. В данном уравнении коэффициенты равны $a = 2p$ и $b = p^2 - 9$.

Применяя теорему Виета, получаем условие для параметра $p$: $-\frac{p^2 - 9}{2p} = 0$.

Это равенство справедливо, если числитель дроби равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
1. Числитель: $p^2 - 9 = 0 \Rightarrow p^2 = 9 \Rightarrow p = 3$ или $p = -3$.
2. Знаменатель: $2p \ne 0 \Rightarrow p \ne 0$.
Оба найденных значения, $p=3$ и $p=-3$, удовлетворяют условию $p \ne 0$.

Также необходимо, чтобы уравнение имело действительные корни, то есть его дискриминант $D$ должен быть неотрицательным ($D \ge 0$). Поскольку мы рассматриваем случаи, когда коэффициент $b = p^2 - 9 = 0$, дискриминант $D = b^2 - 4ac$ упрощается до $D = -4ac$.

Рассмотрим оба возможных значения $p$.
При $p = 3$, коэффициенты равны $a = 2(3) = 6$ и $c = -5(3) + 2 = -13$. Дискриминант $D = -4(6)(-13) = 312$. Так как $D > 0$, действительные корни существуют. Уравнение принимает вид $6x^2 - 13 = 0$. Отсюда $x^2 = \frac{13}{6}$, и корни равны $x = \pm\sqrt{\frac{13}{6}} = \pm\frac{\sqrt{78}}{6}$.

При $p = -3$, коэффициенты равны $a = 2(-3) = -6$ и $c = -5(-3) + 2 = 17$. Дискриминант $D = -4(-6)(17) = 408$. Так как $D > 0$, действительные корни существуют. Уравнение принимает вид $-6x^2 + 17 = 0$. Отсюда $6x^2 = 17$, $x^2 = \frac{17}{6}$, и корни равны $x = \pm\sqrt{\frac{17}{6}} = \pm\frac{\sqrt{102}}{6}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{78}}{6}$ и $\frac{\sqrt{78}}{6}$ или $-\frac{\sqrt{102}}{6}$ и $\frac{\sqrt{102}}{6}$.

32.44 При некотором значении параметра $p$ корни квадратного уравнения $2px^2 + 5x + p + 1 = 0$ являются взаимно обратными числами. Найдите эти корни.

Дано квадратное уравнение $2px^2 + 5x + p + 1 = 0$.

По условию, корни этого уравнения, обозначим их $x_1$ и $x_2$, являются взаимно обратными числами. Это означает, что их произведение равно 1: $x_1 \cdot x_2 = 1$.

Для приведенного квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ по теореме Виета произведение корней равно $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$.

В нашем уравнении коэффициенты равны: $a = 2p$, $b = 5$, $c = p + 1$. Чтобы уравнение было квадратным, коэффициент при $x^2$ не должен быть равен нулю, то есть $2p \neq 0$, откуда $p \neq 0$.

Применим теорему Виета к нашему уравнению: $x_1 \cdot x_2 = \frac{p+1}{2p}$.

Так как мы знаем, что произведение корней равно 1, мы можем составить уравнение для нахождения параметра $p$: $\frac{p+1}{2p} = 1$.

Решим это уравнение относительно $p$: $p + 1 = 2p$ $2p - p = 1$ $p = 1$.

Это значение удовлетворяет условию $p \neq 0$. Теперь необходимо проверить, имеет ли уравнение действительные корни при $p=1$. Для этого найдем дискриминант $D$: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(2p)(p+1) = 25 - 8p(p+1)$. Подставим $p=1$: $D = 25 - 8(1)(1+1) = 25 - 8 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.

Поскольку $D = 9 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, что соответствует условию задачи.

Теперь, зная значение $p=1$, подставим его в исходное уравнение, чтобы найти корни: $2(1)x^2 + 5x + 1 + 1 = 0$ $2x^2 + 5x + 2 = 0$.

Решим получившееся квадратное уравнение, используя формулу для корней: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm 3}{4}$.

Найдем оба корня: $x_1 = \frac{-5 + 3}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$ $x_2 = \frac{-5 - 3}{4} = \frac{-8}{4} = -2$.

Корни уравнения равны $-2$ и $-\frac{1}{2}$. Они действительно являются взаимно обратными числами, так как $(-2) \cdot (-\frac{1}{2}) = 1$.

Ответ: $-2$ и $-\frac{1}{2}$.

32.45 Дано уравнение $x^2 + (3p - 5)x + (3p^2 - 11p - 6) = 0$. Известно, что сумма квадратов его корней равна 65. Найдите значение параметра $p$ и корни уравнения.

Дано квадратное уравнение $x^2 + (3p - 5)x + (3p^2 - 11p - 6) = 0$.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни этого уравнения. Согласно теореме Виета, для приведенного квадратного уравнения ($a=1$):

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(3p - 5) = 5 - 3p$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 3p^2 - 11p - 6$.

Из условия задачи известно, что сумма квадратов корней равна 65, то есть $x_1^2 + x_2^2 = 65$.

Выразим сумму квадратов корней через их сумму и произведение, используя тождество: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.

Теперь подставим выражения из теоремы Виета в это тождество и приравняем к 65:

$(5 - 3p)^2 - 2(3p^2 - 11p - 6) = 65$.

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно параметра $p$:

$(25 - 30p + 9p^2) - (6p^2 - 22p - 12) = 65$

$25 - 30p + 9p^2 - 6p^2 + 22p + 12 = 65$

Приведем подобные слагаемые:

$3p^2 - 8p + 37 = 65$

$3p^2 - 8p - 28 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $p$. Найдем его корни с помощью дискриминанта:

$D_p = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-28) = 64 + 336 = 400 = 20^2$.

Корни уравнения для $p$:

$p_1 = \frac{-b - \sqrt{D_p}}{2a} = \frac{8 - 20}{2 \cdot 3} = \frac{-12}{6} = -2$.

$p_2 = \frac{-b + \sqrt{D_p}}{2a} = \frac{8 + 20}{2 \cdot 3} = \frac{28}{6} = \frac{14}{3}$.

Получили два возможных значения для параметра $p$. Для каждого из этих значений найдем соответствующие корни исходного уравнения. Предварительно убедимся, что для этих значений $p$ исходное уравнение имеет действительные корни, то есть его дискриминант $D_x \ge 0$.

$D_x = (3p - 5)^2 - 4(3p^2 - 11p - 6) = 9p^2 - 30p + 25 - 12p^2 + 44p + 24 = -3p^2 + 14p + 49$.

При $p = -2$: $D_x = -3(-2)^2 + 14(-2) + 49 = -12 - 28 + 49 = 9 > 0$. Корни действительные.

При $p = \frac{14}{3}$: $D_x = -3(\frac{14}{3})^2 + 14(\frac{14}{3}) + 49 = -3 \cdot \frac{196}{9} + \frac{196}{3} + 49 = -\frac{196}{3} + \frac{196}{3} + 49 = 49 > 0$. Корни действительные.

Оба значения $p$ являются решениями задачи.

1. Случай при $p = -2$

Подставим $p = -2$ в исходное уравнение:

$x^2 + (3(-2) - 5)x + (3(-2)^2 - 11(-2) - 6) = 0$

$x^2 + (-6 - 5)x + (12 + 22 - 6) = 0$

$x^2 - 11x + 28 = 0$

Найдем корни этого приведенного квадратного уравнения. По теореме Виета, $x_1 + x_2 = 11$ и $x_1 \cdot x_2 = 28$. Методом подбора находим корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = 7$.

Проверим условие: $4^2 + 7^2 = 16 + 49 = 65$. Условие выполняется.

Ответ: при $p = -2$ корни уравнения равны 4 и 7.

2. Случай при $p = \frac{14}{3}$

Подставим $p = \frac{14}{3}$ в исходное уравнение:

$x^2 + (3 \cdot \frac{14}{3} - 5)x + (3(\frac{14}{3})^2 - 11 \cdot \frac{14}{3} - 6) = 0$

$x^2 + (14 - 5)x + (3 \cdot \frac{196}{9} - \frac{154}{3} - 6) = 0$

$x^2 + 9x + (\frac{196}{3} - \frac{154}{3} - \frac{18}{3}) = 0$

$x^2 + 9x + \frac{24}{3} = 0$

$x^2 + 9x + 8 = 0$

Найдем корни. По теореме Виета, $x_1 + x_2 = -9$ и $x_1 \cdot x_2 = 8$. Корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = -8$.

Проверим условие: $(-1)^2 + (-8)^2 = 1 + 64 = 65$. Условие выполняется.

Ответ: при $p = \frac{14}{3}$ корни уравнения равны -1 и -8.