Страница 185, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

32.46 Разность корней уравнения $2x^2 - 15x + p = 0$ равна 2,5. Найдите значение параметра $p$ и корни уравнения.

Дано квадратное уравнение $2x^2 - 15x + p = 0$. Обозначим его корни как $x_1$ и $x_2$.

По условию задачи, разность корней равна 2,5. Без ограничения общности, предположим, что $x_1 > x_2$, тогда получаем уравнение: $x_1 - x_2 = 2.5$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для квадратного уравнения вида $ax^2+bx+c=0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Для нашего уравнения $2x^2 - 15x + p = 0$ коэффициенты равны $a=2$, $b=-15$, $c=p$. Применим теорему Виета:

• $x_1 + x_2 = -\frac{-15}{2} = \frac{15}{2} = 7.5$
• $x_1 \cdot x_2 = \frac{p}{2}$

Теперь мы имеем систему из двух линейных уравнений для нахождения корней $x_1$ и $x_2$:

$\begin{cases} x_1 + x_2 = 7.5 \\ x_1 - x_2 = 2.5 \end{cases}$

Сложим два уравнения системы, чтобы найти $x_1$:

$(x_1 + x_2) + (x_1 - x_2) = 7.5 + 2.5$

$2x_1 = 10$

$x_1 = \frac{10}{2} = 5$

Теперь подставим найденное значение $x_1=5$ в первое уравнение системы, чтобы найти $x_2$:

$5 + x_2 = 7.5$

$x_2 = 7.5 - 5 = 2.5$

Таким образом, мы нашли корни уравнения: $x_1 = 5$ и $x_2 = 2.5$.

Далее найдем значение параметра $p$, используя второе соотношение из теоремы Виета:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{p}{2}$

Подставим значения найденных корней:

$5 \cdot 2.5 = \frac{p}{2}$

$12.5 = \frac{p}{2}$

$p = 12.5 \cdot 2 = 25$

В качестве проверки подставим значение $p=25$ в исходное уравнение: $2x^2 - 15x + 25 = 0$.

Найдем его корни с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 25 = 225 - 200 = 25$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{15 \pm 5}{4}$

$x_1 = \frac{15 + 5}{4} = \frac{20}{4} = 5$

$x_2 = \frac{15 - 5}{4} = \frac{10}{4} = 2.5$

Корни совпали с найденными ранее, и их разность $5 - 2.5 = 2.5$ соответствует условию задачи. Следовательно, решение верное.

Ответ: значение параметра $p=25$, корни уравнения: 2,5 и 5.

32.47 Один из корней квадратного уравнения $2x^2 - 14x + p = 0$ больше другого в 2,5 раза. Найдите значение параметра $p$ и корни уравнения.

Дано квадратное уравнение $2x^2 - 14x + p = 0$. Обозначим его корни как $x_1$ и $x_2$.

По условию задачи, один корень в 2,5 раза больше другого. Запишем это в виде соотношения: пусть $x_2 = 2.5 \cdot x_1$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$. Согласно этой теореме:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

В нашем уравнении $2x^2 - 14x + p = 0$ коэффициенты равны: $a = 2$, $b = -14$, $c = p$.

Подставим эти значения в формулу для суммы корней:

$x_1 + x_2 = -\frac{-14}{2} = 7$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными, $x_1$ и $x_2$:

1) $x_1 + x_2 = 7$

2) $x_2 = 2.5x_1$

Подставим второе уравнение в первое, чтобы найти $x_1$:

$x_1 + 2.5x_1 = 7$

$3.5x_1 = 7$

$x_1 = \frac{7}{3.5} = 2$

Теперь, зная $x_1$, найдем второй корень $x_2$:

$x_2 = 2.5 \cdot x_1 = 2.5 \cdot 2 = 5$

Итак, мы нашли корни уравнения: 2 и 5.

Для того чтобы найти значение параметра $p$, воспользуемся формулой для произведения корней:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{p}{2}$

Подставим известные значения корней:

$2 \cdot 5 = \frac{p}{2}$

$10 = \frac{p}{2}$

Отсюда находим $p$:

$p = 10 \cdot 2 = 20$

Ответ: значение параметра $p = 20$, корни уравнения 2 и 5.

Упростите выражение:

32.48 a) $ \frac{x + 12}{x^3 - 9x} : \left( \frac{x - 3}{2x^2 + 5x - 3} - \frac{9}{9 - x^2} \right); $

б) $ \left( \frac{3a - 1}{a^2 - 4} - \frac{9a}{3a^2 + 5a - 2} \right) \cdot \frac{15a^3 - 60a}{12a + 1}. $

а) Упростим выражение по действиям. Сначала выполним вычитание в скобках, предварительно разложив знаменатели на множители.
1) Разложим знаменатели на множители:
$x^3 - 9x = x(x^2 - 9) = x(x - 3)(x + 3)$
$2x^2 + 5x - 3$. Найдем корни квадратного трехчлена $2x^2 + 5x - 3=0$. Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$. Корни: $x_1 = \frac{-5+7}{4} = \frac{1}{2}$, $x_2 = \frac{-5-7}{4} = -3$. Следовательно, $2x^2 + 5x - 3 = 2(x - \frac{1}{2})(x + 3) = (2x - 1)(x + 3)$.
$9 - x^2 = -(x^2 - 9) = -(x - 3)(x + 3)$.
2) Выполним действие в скобках:
$\frac{x - 3}{2x^2 + 5x - 3} - \frac{9}{9 - x^2} = \frac{x - 3}{(2x - 1)(x + 3)} - \frac{9}{-(x - 3)(x + 3)} = \frac{x - 3}{(2x - 1)(x + 3)} + \frac{9}{(x - 3)(x + 3)}$
Приведем дроби к общему знаменателю $(2x - 1)(x + 3)(x - 3)$:
$\frac{(x - 3)(x - 3) + 9(2x - 1)}{(2x - 1)(x + 3)(x - 3)} = \frac{x^2 - 6x + 9 + 18x - 9}{(2x - 1)(x - 3)(x + 3)} = \frac{x^2 + 12x}{(2x - 1)(x - 3)(x + 3)} = \frac{x(x + 12)}{(2x - 1)(x - 3)(x + 3)}$
3) Теперь выполним деление:
$\frac{x + 12}{x^3 - 9x} : \frac{x(x + 12)}{(2x - 1)(x - 3)(x + 3)} = \frac{x + 12}{x(x - 3)(x + 3)} \cdot \frac{(2x - 1)(x - 3)(x + 3)}{x(x + 12)}$
Сокращаем одинаковые множители в числителе и знаменателе:
$\frac{\cancel{x + 12}}{x\cancel{(x - 3)}\cancel{(x + 3)}} \cdot \frac{(2x - 1)\cancel{(x - 3)}\cancel{(x + 3)}}{x(\cancel{x + 12})} = \frac{2x - 1}{x \cdot x} = \frac{2x - 1}{x^2}$

Ответ: $\frac{2x - 1}{x^2}$

б) Упростим выражение по действиям. Сначала выполним вычитание в скобках, а затем умножение.
1) Разложим на множители знаменатели в скобках и числитель дроби за скобками:
$a^2 - 4 = (a - 2)(a + 2)$
$3a^2 + 5a - 2$. Найдем корни квадратного трехчлена $3a^2 + 5a - 2=0$. Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 = 7^2$. Корни: $a_1 = \frac{-5+7}{6} = \frac{1}{3}$, $a_2 = \frac{-5-7}{6} = -2$. Следовательно, $3a^2 + 5a - 2 = 3(a - \frac{1}{3})(a + 2) = (3a - 1)(a + 2)$.
$15a^3 - 60a = 15a(a^2 - 4) = 15a(a - 2)(a + 2)$.
2) Выполним действие в скобках:
$\frac{3a - 1}{a^2 - 4} - \frac{9a}{3a^2 + 5a - 2} = \frac{3a - 1}{(a - 2)(a + 2)} - \frac{9a}{(3a - 1)(a + 2)}$
Приведем дроби к общему знаменателю $(a - 2)(a + 2)(3a - 1)$:
$\frac{(3a - 1)(3a - 1) - 9a(a - 2)}{(a - 2)(a + 2)(3a - 1)} = \frac{(9a^2 - 6a + 1) - (9a^2 - 18a)}{(a - 2)(a + 2)(3a - 1)} = \frac{9a^2 - 6a + 1 - 9a^2 + 18a}{(a - 2)(a + 2)(3a - 1)} = \frac{12a + 1}{(a - 2)(a + 2)(3a - 1)}$
3) Теперь выполним умножение:
$\frac{12a + 1}{(a - 2)(a + 2)(3a - 1)} \cdot \frac{15a^3 - 60a}{12a + 1} = \frac{12a + 1}{(a - 2)(a + 2)(3a - 1)} \cdot \frac{15a(a - 2)(a + 2)}{12a + 1}$
Сокращаем одинаковые множители:
$\frac{\cancel{12a + 1}}{\cancel{(a - 2)}\cancel{(a + 2)}(3a - 1)} \cdot \frac{15a\cancel{(a - 2)}\cancel{(a + 2)}}{\cancel{12a + 1}} = \frac{15a}{3a - 1}$

Ответ: $\frac{15a}{3a - 1}$

32.49 a) $\left(\frac{4}{5a^2 + a - 4} - \frac{a + 1}{9(5a - 4)}\right) \cdot \frac{15a - 12}{a + 7};$

б) $\frac{5(a + 4)}{a - 1} : \left(\frac{9(a - 1)}{3a + 4} - \frac{(2a - 7)^2}{3a^2 + a - 4}\right).$

а)

Упростим выражение $(\frac{4}{5a^2 + a - 4} - \frac{a+1}{9(5a-4)}) \cdot \frac{15a-12}{a+7}$.

1. Разложим на множители знаменатель первой дроби в скобках $5a^2 + a - 4$.
Для этого решим квадратное уравнение $5a^2 + a - 4 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 1 + 80 = 81 = 9^2$.
Корни уравнения: $a_1 = \frac{-1 - 9}{2 \cdot 5} = \frac{-10}{10} = -1$ и $a_2 = \frac{-1 + 9}{2 \cdot 5} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$.
Следовательно, $5a^2 + a - 4 = 5(a - (-1))(a - \frac{4}{5}) = 5(a+1)(a - \frac{4}{5}) = (a+1)(5a-4)$.

2. Подставим разложенный знаменатель в исходное выражение:

$(\frac{4}{(a+1)(5a-4)} - \frac{a+1}{9(5a-4)}) \cdot \frac{15a-12}{a+7}$

3. Выполним вычитание в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $9(a+1)(5a-4)$:

$\frac{4 \cdot 9 - (a+1)(a+1)}{9(a+1)(5a-4)} = \frac{36 - (a+1)^2}{9(a+1)(5a-4)}$

4. Упростим числитель, используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$ (здесь $36=6^2$):

$36 - (a+1)^2 = (6 - (a+1))(6 + (a+1)) = (6-a-1)(6+a+1) = (5-a)(a+7)$.

Теперь выражение в скобках имеет вид:

$\frac{(5-a)(a+7)}{9(a+1)(5a-4)}$

5. Выполним умножение. Разложим числитель $15a-12$ на множители: $15a-12 = 3(5a-4)$.

$\frac{(5-a)(a+7)}{9(a+1)(5a-4)} \cdot \frac{3(5a-4)}{a+7}$

6. Сократим одинаковые множители $(a+7)$, $(5a-4)$, а также 3 и 9:

$\frac{(5-a)\cancel{(a+7)}}{_3\cancel{9}(a+1)\cancel{(5a-4)}} \cdot \frac{\cancel{3}\cancel{(5a-4)}}{\cancel{a+7}} = \frac{5-a}{3(a+1)}$

Ответ: $\frac{5-a}{3(a+1)}$

б)

Упростим выражение $\frac{5(a+4)}{a-1} : (\frac{9(a-1)}{3a+4} - \frac{(2a-7)^2}{3a^2+a-4})$.

1. Сначала выполним действие в скобках. Для этого разложим на множители знаменатель второй дроби $3a^2+a-4$.
Решим квадратное уравнение $3a^2+a-4 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 1 + 48 = 49 = 7^2$.
Корни уравнения: $a_1 = \frac{-1 - 7}{2 \cdot 3} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$ и $a_2 = \frac{-1 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$.
Следовательно, $3a^2+a-4 = 3(a-1)(a-(-\frac{4}{3})) = 3(a-1)(a+\frac{4}{3}) = (a-1)(3a+4)$.

2. Подставим разложение в выражение в скобках и приведем дроби к общему знаменателю $(a-1)(3a+4)$:

$\frac{9(a-1)}{3a+4} - \frac{(2a-7)^2}{(a-1)(3a+4)} = \frac{9(a-1)(a-1) - (2a-7)^2}{(a-1)(3a+4)} = \frac{9(a-1)^2 - (2a-7)^2}{(a-1)(3a+4)}$

3. Упростим числитель, используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$. Заметим, что $9(a-1)^2 = (3(a-1))^2$.

$(3(a-1))^2 - (2a-7)^2 = (3(a-1) - (2a-7))(3(a-1) + (2a-7))$
$= (3a-3-2a+7)(3a-3+2a-7)$
$= (a+4)(5a-10) = 5(a+4)(a-2)$

4. Таким образом, выражение в скобках равно:

$\frac{5(a+4)(a-2)}{(a-1)(3a+4)}$

5. Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$\frac{5(a+4)}{a-1} : \frac{5(a+4)(a-2)}{(a-1)(3a+4)} = \frac{5(a+4)}{a-1} \cdot \frac{(a-1)(3a+4)}{5(a+4)(a-2)}$

6. Сократим одинаковые множители $5$, $(a+4)$ и $(a-1)$:

$\frac{\cancel{5}\cancel{(a+4)}}{\cancel{a-1}} \cdot \frac{\cancel{(a-1)}(3a+4)}{\cancel{5}\cancel{(a+4)}(a-2)} = \frac{3a+4}{a-2}$

Ответ: $\frac{3a+4}{a-2}$

32.50 Докажите тождество:

а) $(\frac{2x}{x+2} + \frac{4}{x^2+5x+6} - \frac{3}{x+3}) : \frac{2x-1}{3} + \frac{x}{3+x} = 1;$

б) $(\frac{2x}{x-3} + \frac{1}{x+1} + \frac{4}{x^2-2x-3}) \cdot \frac{x}{2x+1} + \frac{3}{3-x} = 1.$

Чтобы доказать тождество $ \left( \frac{2x}{x+2} + \frac{4}{x^2+5x+6} - \frac{3}{x+3} \right) : \frac{2x-1}{3} + \frac{x}{3+x} = 1 $, преобразуем его левую часть по действиям.

1. Упростим выражение в скобках. Для этого разложим знаменатель квадратного трехчлена на множители. Корнями уравнения $ x^2+5x+6=0 $ являются $ x_1=-2 $ и $ x_2=-3 $. Таким образом, $ x^2+5x+6 = (x+2)(x+3) $. Теперь приведем дроби к общему знаменателю:

$ \frac{2x}{x+2} + \frac{4}{(x+2)(x+3)} - \frac{3}{x+3} = \frac{2x(x+3)}{(x+2)(x+3)} + \frac{4}{(x+2)(x+3)} - \frac{3(x+2)}{(x+2)(x+3)} $

Сложим числители:

$ \frac{2x^2+6x+4-3x-6}{(x+2)(x+3)} = \frac{2x^2+3x-2}{(x+2)(x+3)} $

2. Разложим на множители числитель полученной дроби $ 2x^2+3x-2 $. Найдем корни уравнения $ 2x^2+3x-2=0 $. Дискриминант $ D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9+16=25 $. Корни: $ x_1 = \frac{-3+5}{4} = \frac{1}{2} $ и $ x_2 = \frac{-3-5}{4} = -2 $. Тогда $ 2x^2+3x-2 = 2(x-\frac{1}{2})(x+2) = (2x-1)(x+2) $.

Подставим это в дробь и сократим:

$ \frac{(2x-1)(x+2)}{(x+2)(x+3)} = \frac{2x-1}{x+3} $

3. Выполним деление:

$ \frac{2x-1}{x+3} : \frac{2x-1}{3} = \frac{2x-1}{x+3} \cdot \frac{3}{2x-1} = \frac{3}{x+3} $

4. Выполним сложение:

$ \frac{3}{x+3} + \frac{x}{3+x} = \frac{3}{x+3} + \frac{x}{x+3} = \frac{3+x}{x+3} = 1 $

В результате преобразования левой части мы получили 1, что равно правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

Чтобы доказать тождество $ \left( \frac{2x}{x-3} + \frac{1}{x+1} + \frac{4}{x^2-2x-3} \right) \cdot \frac{x}{2x+1} + \frac{3}{3-x} = 1 $, преобразуем его левую часть по действиям.

1. Упростим выражение в скобках. Разложим знаменатель $ x^2-2x-3 $ на множители. Корнями уравнения $ x^2-2x-3=0 $ являются $ x_1=3 $ и $ x_2=-1 $. Таким образом, $ x^2-2x-3=(x-3)(x+1) $. Приведем дроби к общему знаменателю:

$ \frac{2x(x+1)}{(x-3)(x+1)} + \frac{1(x-3)}{(x-3)(x+1)} + \frac{4}{(x-3)(x+1)} $

Сложим числители:

$ \frac{2x^2+2x+x-3+4}{(x-3)(x+1)} = \frac{2x^2+3x+1}{(x-3)(x+1)} $

2. Разложим на множители числитель $ 2x^2+3x+1 $. Найдем корни уравнения $ 2x^2+3x+1=0 $. Дискриминант $ D=3^2-4 \cdot 2 \cdot 1 = 9-8=1 $. Корни: $ x_1=\frac{-3+1}{4}=-\frac{1}{2} $ и $ x_2=\frac{-3-1}{4}=-1 $. Тогда $ 2x^2+3x+1=2(x+\frac{1}{2})(x+1)=(2x+1)(x+1) $.

Подставим это в дробь и сократим:

$ \frac{(2x+1)(x+1)}{(x-3)(x+1)} = \frac{2x+1}{x-3} $

3. Выполним умножение:

$ \frac{2x+1}{x-3} \cdot \frac{x}{2x+1} = \frac{x}{x-3} $

4. Выполним сложение. Заметим, что $ 3-x = -(x-3) $:

$ \frac{x}{x-3} + \frac{3}{3-x} = \frac{x}{x-3} - \frac{3}{x-3} = \frac{x-3}{x-3} = 1 $

В результате преобразования левой части мы получили 1, что равно правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

Решите уравнение:

32.51 a) $\frac{x^2}{x^2 - 7x + 10} + \frac{16}{3x^2 - 12} = 1;$

б) $\frac{2x^2}{2x^2 + x - 3} - \frac{8}{2x^2 - 3x - 9} = 1.$

a)

Решим уравнение $\frac{x^2}{x^2 - 7x + 10} + \frac{16}{3x^2 - 12} = 1$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не должны равняться нулю.

1. $x^2 - 7x + 10 \neq 0$. Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 7x + 10 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а произведение равно 10. Корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 5$. Следовательно, $x \neq 2$ и $x \neq 5$.

2. $3x^2 - 12 \neq 0$. $3(x^2 - 4) \neq 0$, $x^2 \neq 4$. Следовательно, $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Итак, ОДЗ: $x \in \mathbb{R} \setminus \{-2, 2, 5\}$.

Преобразуем левую часть уравнения. Представим первую дробь в виде:

$\frac{x^2}{x^2 - 7x + 10} = \frac{x^2 - 7x + 10 + 7x - 10}{x^2 - 7x + 10} = 1 + \frac{7x - 10}{x^2 - 7x + 10}$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$1 + \frac{7x - 10}{x^2 - 7x + 10} + \frac{16}{3x^2 - 12} = 1$.

Вычтем 1 из обеих частей уравнения:

$\frac{7x - 10}{x^2 - 7x + 10} + \frac{16}{3x^2 - 12} = 0$.

Разложим знаменатели на множители:

$x^2 - 7x + 10 = (x-2)(x-5)$;

$3x^2 - 12 = 3(x^2-4) = 3(x-2)(x+2)$.

Уравнение принимает вид:

$\frac{7x - 10}{(x-2)(x-5)} + \frac{16}{3(x-2)(x+2)} = 0$.

Приведем дроби к общему знаменателю $3(x-2)(x-5)(x+2)$:

$\frac{3(x+2)(7x - 10) + 16(x-5)}{3(x-2)(x-5)(x+2)} = 0$.

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю (что учтено в ОДЗ).

$3(x+2)(7x-10) + 16(x-5) = 0$.

$3(7x^2 + 14x - 10x - 20) + 16x - 80 = 0$.

$3(7x^2 + 4x - 20) + 16x - 80 = 0$.

$21x^2 + 12x - 60 + 16x - 80 = 0$.

$21x^2 + 28x - 140 = 0$.

Разделим все уравнение на 7:

$3x^2 + 4x - 20 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-20) = 16 + 240 = 256 = 16^2$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-4 + 16}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$.

$x_2 = \frac{-4 - 16}{2 \cdot 3} = \frac{-20}{6} = -\frac{10}{3}$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \neq -2, 2, 5$).

Корень $x_1 = 2$ не входит в ОДЗ, так как при этом значении знаменатели обращаются в ноль. Это посторонний корень.

Корень $x_2 = -\frac{10}{3}$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $-\frac{10}{3}$.

б)

Решим уравнение $\frac{2x^2}{2x^2 + x - 3} - \frac{8}{2x^2 - 3x - 9} = 1$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ).

1. $2x^2 + x - 3 \neq 0$. Решим $2x^2 + x - 3 = 0$. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25 = 5^2$. Корни: $x_1 = \frac{-1+5}{4} = 1$, $x_2 = \frac{-1-5}{4} = -\frac{3}{2}$. Значит, $x \neq 1$ и $x \neq -\frac{3}{2}$.

2. $2x^2 - 3x - 9 \neq 0$. Решим $2x^2 - 3x - 9 = 0$. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 9 + 72 = 81 = 9^2$. Корни: $x_1 = \frac{3+9}{4} = 3$, $x_2 = \frac{3-9}{4} = -\frac{3}{2}$. Значит, $x \neq 3$ и $x \neq -\frac{3}{2}$.

Итак, ОДЗ: $x \in \mathbb{R} \setminus \{-\frac{3}{2}, 1, 3\}$.

Разложим знаменатели на множители, используя найденные корни:

$2x^2 + x - 3 = 2(x-1)(x+\frac{3}{2}) = (x-1)(2x+3)$.

$2x^2 - 3x - 9 = 2(x-3)(x+\frac{3}{2}) = (x-3)(2x+3)$.

Перенесем 1 в левую часть и преобразуем первую дробь:

$\frac{2x^2}{2x^2 + x - 3} - 1 = \frac{8}{2x^2 - 3x - 9}$.

$\frac{2x^2 - (2x^2 + x - 3)}{2x^2 + x - 3} = \frac{8}{2x^2 - 3x - 9}$.

$\frac{-x + 3}{2x^2 + x - 3} = \frac{8}{2x^2 - 3x - 9}$.

Подставим разложенные на множители знаменатели:

$\frac{-(x - 3)}{(x-1)(2x+3)} = \frac{8}{(x-3)(2x+3)}$.

В области допустимых значений можно умножить обе части уравнения на $(x-3)(2x+3)$, так как эти множители не равны нулю. Получим:

$\frac{-(x-3)}{x-1} = 8$.

$-(x-3) = 8(x-1)$.

$-x + 3 = 8x - 8$.

Перенесем члены с $x$ в одну сторону, а константы в другую:

$3 + 8 = 8x + x$.

$11 = 9x$.

$x = \frac{11}{9}$.

Повторная проверка решения:

$\frac{-(x - 3)}{(x-1)(2x+3)} = \frac{8}{(x-3)(2x+3)}$

Умножим обе части на общий знаменатель $(x-1)(x-3)(2x+3)$:

$-(x-3)(x-3) = 8(x-1)$

$-(x^2 - 6x + 9) = 8x - 8$

$-x^2 + 6x - 9 = 8x - 8$

$0 = x^2 + 8x - 6x - 8 + 9$

$0 = x^2 + 2x + 1$

$(x+1)^2 = 0$

$x = -1$.

Проверим корень на соответствие ОДЗ ($x \neq -\frac{3}{2}, 1, 3$).

Корень $x = -1$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $-1$.

32.52 a) $\frac{10x + 5}{21x - 14} - \frac{x - 1}{2x + 3} = \frac{21}{6x^2 + 5x - 6}$;

б) $\frac{4}{6x^2 - 13x + 6} + \frac{x - 2}{6x - 4} = \frac{2x + 1}{10x - 15}$.

Решим уравнение: $ \frac{10x + 5}{21x - 14} - \frac{x - 1}{2x + 3} = \frac{21}{6x^2 + 5x - 6} $

1. Для начала разложим знаменатели на множители, чтобы найти общий знаменатель. Также упростим числитель первой дроби.

$10x + 5 = 5(2x + 1)$

$21x - 14 = 7(3x - 2)$

Чтобы разложить $6x^2 + 5x - 6$, найдем его корни через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-6) = 25 + 144 = 169 = 13^2$

$x_1 = \frac{-5 - 13}{2 \cdot 6} = \frac{-18}{12} = -\frac{3}{2}$

$x_2 = \frac{-5 + 13}{2 \cdot 6} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$

Таким образом, $6x^2 + 5x - 6 = 6(x + \frac{3}{2})(x - \frac{2}{3}) = 2(x + \frac{3}{2}) \cdot 3(x - \frac{2}{3}) = (2x + 3)(3x - 2)$.

2. Перепишем уравнение с разложенными на множители знаменателями:

$$ \frac{5(2x + 1)}{7(3x - 2)} - \frac{x - 1}{2x + 3} = \frac{21}{(3x - 2)(2x + 3)} $$

3. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, что знаменатели не равны нулю:

$3x - 2 \neq 0 \implies x \neq \frac{2}{3}$

$2x + 3 \neq 0 \implies x \neq -\frac{3}{2}$

4. Общий знаменатель для всех дробей: $7(3x - 2)(2x + 3)$. Умножим обе части уравнения на этот знаменатель, чтобы избавиться от дробей:

$5(2x + 1)(2x + 3) - 7(x - 1)(3x - 2) = 21 \cdot 7$

5. Раскроем скобки и упростим полученное выражение:

$5(4x^2 + 6x + 2x + 3) - 7(3x^2 - 2x - 3x + 2) = 147$

$5(4x^2 + 8x + 3) - 7(3x^2 - 5x + 2) = 147$

$20x^2 + 40x + 15 - 21x^2 + 35x - 14 = 147$

6. Приведем подобные слагаемые и решим квадратное уравнение:

$-x^2 + 75x + 1 = 147$

$-x^2 + 75x - 146 = 0$

$x^2 - 75x + 146 = 0$

Используем дискриминант для нахождения корней:

$D = (-75)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 146 = 5625 - 584 = 5041 = 71^2$

$x_1 = \frac{75 - 71}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$x_2 = \frac{75 + 71}{2} = \frac{146}{2} = 73$

7. Проверяем, входят ли корни в ОДЗ. Оба корня (2 и 73) не равны $2/3$ и $-3/2$, следовательно, они являются решениями уравнения.

Ответ: 2; 73.

Решим уравнение: $ \frac{4}{6x^2 - 13x + 6} + \frac{x - 2}{6x - 4} = \frac{2x + 1}{10x - 15} $

1. Разложим знаменатели на множители.

Для $6x^2 - 13x + 6$ найдем корни:

$D = (-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 6 = 169 - 144 = 25 = 5^2$

$x_1 = \frac{13 - 5}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$

$x_2 = \frac{13 + 5}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$

Следовательно, $6x^2 - 13x + 6 = 6(x - \frac{2}{3})(x - \frac{3}{2}) = (3x - 2)(2x - 3)$.

$6x - 4 = 2(3x - 2)$

$10x - 15 = 5(2x - 3)$

2. Перепишем уравнение:

$$ \frac{4}{(3x - 2)(2x - 3)} + \frac{x - 2}{2(3x - 2)} = \frac{2x + 1}{5(2x - 3)} $$

3. ОДЗ: $3x - 2 \neq 0 \implies x \neq \frac{2}{3}$ и $2x - 3 \neq 0 \implies x \neq \frac{3}{2}$.

4. Общий знаменатель: $10(3x - 2)(2x - 3)$. Умножим на него обе части уравнения:

$10 \cdot 4 + 5(x - 2)(2x - 3) = 2(2x + 1)(3x - 2)$

5. Раскроем скобки:

$40 + 5(2x^2 - 3x - 4x + 6) = 2(6x^2 - 4x + 3x - 2)$

$40 + 5(2x^2 - 7x + 6) = 2(6x^2 - x - 2)$

$40 + 10x^2 - 35x + 30 = 12x^2 - 2x - 4$

6. Сгруппируем все члены в одной части уравнения:

$10x^2 - 35x + 70 = 12x^2 - 2x - 4$

$0 = 12x^2 - 10x^2 - 2x + 35x - 4 - 70$

$2x^2 + 33x - 74 = 0$

7. Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = 33^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-74) = 1089 + 592 = 1681 = 41^2$

$x_1 = \frac{-33 - 41}{2 \cdot 2} = \frac{-74}{4} = -\frac{37}{2} = -18,5$

$x_2 = \frac{-33 + 41}{4} = \frac{8}{4} = 2$

8. Оба корня (-18,5 и 2) удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: -18,5; 2.

32.53 a) $\frac{2x+1}{6x-4} + \frac{13}{6x^2+5x-6} = \frac{2x+1}{4x+6};$

б) $\frac{8x-1}{10x^2-19x+6} + \frac{x-1}{10x-4} = \frac{2x+1}{4x-6}.$

а) Решим уравнение $ \frac{2x + 1}{6x - 4} + \frac{13}{6x^2 + 5x - 6} = \frac{2x + 1}{4x + 6} $.

1. Разложим знаменатели дробей на множители. Для этого найдем корни квадратного трехчлена $6x^2 + 5x - 6 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-6) = 25 + 144 = 169 = 13^2$.
Корни: $x_1 = \frac{-5 - 13}{2 \cdot 6} = \frac{-18}{12} = -\frac{3}{2}$; $x_2 = \frac{-5 + 13}{2 \cdot 6} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$.
Тогда $6x^2 + 5x - 6 = 6(x - \frac{2}{3})(x + \frac{3}{2}) = (3x - 2)(2x + 3)$.
Также разложим на множители линейные знаменатели:
$6x - 4 = 2(3x - 2)$
$4x + 6 = 2(2x + 3)$

2. Перепишем уравнение с разложенными на множители знаменателями:
$ \frac{2x + 1}{2(3x - 2)} + \frac{13}{(3x - 2)(2x + 3)} = \frac{2x + 1}{2(2x + 3)} $.

3. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю:
$3x - 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{2}{3}$
$2x + 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -\frac{3}{2}$

4. Общий знаменатель дробей: $2(3x - 2)(2x + 3)$. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель, чтобы избавиться от дробей:
$(2x + 1)(2x + 3) + 13 \cdot 2 = (2x + 1)(3x - 2)$

5. Раскроем скобки и решим полученное уравнение:
$4x^2 + 6x + 2x + 3 + 26 = 6x^2 - 4x + 3x - 2$
$4x^2 + 8x + 29 = 6x^2 - x - 2$
Перенесем все члены в правую часть:
$6x^2 - 4x^2 - x - 8x - 2 - 29 = 0$
$2x^2 - 9x - 31 = 0$

6. Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-31) = 81 + 248 = 329$
$x_{1,2} = \frac{9 \pm \sqrt{329}}{4}$

7. Полученные корни не совпадают с ограничениями ОДЗ ($x \neq \frac{2}{3}$ и $x \neq -\frac{3}{2}$), следовательно, оба корня являются решениями уравнения.
Ответ: $x = \frac{9 \pm \sqrt{329}}{4}$.

б) Решим уравнение $ \frac{8x - 1}{10x^2 - 19x + 6} + \frac{x - 1}{10x - 4} = \frac{2x + 1}{4x - 6} $.

1. Разложим знаменатели на множители. Найдем корни квадратного трехчлена $10x^2 - 19x + 6 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-19)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 6 = 361 - 240 = 121 = 11^2$.
Корни: $x_1 = \frac{19 - 11}{2 \cdot 10} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$; $x_2 = \frac{19 + 11}{2 \cdot 10} = \frac{30}{20} = \frac{3}{2}$.
Тогда $10x^2 - 19x + 6 = 10(x - \frac{2}{5})(x - \frac{3}{2}) = (5x - 2)(2x - 3)$.
Также разложим на множители линейные знаменатели:
$10x - 4 = 2(5x - 2)$
$4x - 6 = 2(2x - 3)$

2. Перепишем уравнение с разложенными на множители знаменателями:
$ \frac{8x - 1}{(5x - 2)(2x - 3)} + \frac{x - 1}{2(5x - 2)} = \frac{2x + 1}{2(2x - 3)} $.

3. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$5x - 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{2}{5}$
$2x - 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{3}{2}$

4. Общий знаменатель дробей: $2(5x - 2)(2x - 3)$. Умножим обе части уравнения на него:
$(8x - 1) \cdot 2 + (x - 1)(2x - 3) = (2x + 1)(5x - 2)$

5. Раскроем скобки и решим полученное уравнение:
$16x - 2 + 2x^2 - 3x - 2x + 3 = 10x^2 - 4x + 5x - 2$
$2x^2 + 11x + 1 = 10x^2 + x - 2$
Перенесем все члены в правую часть:
$10x^2 - 2x^2 + x - 11x - 2 - 1 = 0$
$8x^2 - 10x - 3 = 0$

6. Решим полученное квадратное уравнение:
$D = (-10)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-3) = 100 + 96 = 196 = 14^2$
$x_1 = \frac{10 + 14}{2 \cdot 8} = \frac{24}{16} = \frac{3}{2}$
$x_2 = \frac{10 - 14}{2 \cdot 8} = \frac{-4}{16} = -\frac{1}{4}$

7. Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ. Корень $x_1 = \frac{3}{2}$ является посторонним, так как он не входит в ОДЗ. Корень $x_2 = -\frac{1}{4}$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $x = -\frac{1}{4}$.