Страница 190, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

34.2 Для составления квадратного уравнения с заранее заданными корнями $x_1$ и $x_2$ поступают так. Сначала составляют произведение $(x - x_1)(x - x_2)$. Затем раскрывают скобки и приводят подобные члены. Полученный квадратный трёхчлен приравнивают нулю. Сколько различных квадратных уравнений можно составить таким образом, выбирая:

a) корень $x_1$ из чисел 1, 2, а корень $x_2$ из чисел 5, 6;

б) корень $x_1$ из чисел 1, 2, 3, а корень $x_2$ из чисел 4, 5, 6;

в) оба корня из чисел 2, 3, 4, если совпадение корней допустимо;

г) оба корня из чисел 2, 3, 4, если корни должны быть различными?

Квадратное уравнение с корнями $x_1$ и $x_2$ можно составить по формуле $(x - x_1)(x - x_2) = 0$. Раскрыв скобки, получим приведенное квадратное уравнение $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$. Каждому уникальному набору корней $\{x_1, x_2\}$ соответствует одно уникальное приведенное квадратное уравнение. Таким образом, задача сводится к подсчету количества различных наборов из двух корней, которые можно составить по заданным условиям.

а) корень $x_1$ из чисел 1, 2, а корень $x_2$ из чисел 5, 6;

Для выбора первого корня $x_1$ есть 2 варианта (числа 1 или 2). Для выбора второго корня $x_2$ также есть 2 варианта (числа 5 или 6). Поскольку множества, из которых выбираются корни, не пересекаются, то $x_1$ никогда не будет равен $x_2$, и каждая пара $(x_1, x_2)$ будет уникальной. Чтобы найти общее число комбинаций, мы используем комбинаторное правило произведения: умножаем число вариантов выбора для $x_1$ на число вариантов выбора для $x_2$. Количество различных уравнений: $2 \times 2 = 4$. Это пары корней: {1, 5}, {1, 6}, {2, 5}, {2, 6}.
Ответ: 4.

б) корень $x_1$ из чисел 1, 2, 3, а корень $x_2$ из чисел 4, 5, 6;

Этот случай аналогичен предыдущему. Для выбора корня $x_1$ есть 3 варианта из множества {1, 2, 3}. Для выбора корня $x_2$ есть 3 варианта из множества {4, 5, 6}. Множества выбора не пересекаются. По правилу произведения, общее число различных пар корней, а следовательно, и различных уравнений, равно: $3 \times 3 = 9$.
Ответ: 9.

в) оба корня из чисел 2, 3, 4, если совпадение корней допустимо;

Оба корня, $x_1$ и $x_2$, выбираются из одного и того же множества {2, 3, 4}. Порядок корней в уравнении не важен (набор {2, 3} дает то же уравнение, что и {3, 2}). Так как корни могут совпадать, мы ищем количество сочетаний с повторениями из 3 элементов по 2. Формула для числа сочетаний с повторениями из $n$ по $k$ выглядит так: $\bar{C}_n^k = \binom{n+k-1}{k}$. В нашей задаче $n=3$ (количество чисел в множестве) и $k=2$ (количество выбираемых корней). $\bar{C}_3^2 = \binom{3+2-1}{2} = \binom{4}{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$. Можно также перечислить все возможные наборы корней:

• С различными корнями: {2, 3}, {2, 4}, {3, 4} (3 набора).
• С одинаковыми корнями: {2, 2}, {3, 3}, {4, 4} (3 набора).

Всего $3 + 3 = 6$ различных уравнений.
Ответ: 6.

г) оба корня из чисел 2, 3, 4, если корни должны быть различными?

Оба корня выбираются из множества {2, 3, 4}, но с условием, что они должны быть различны ($x_1 \neq x_2$). Порядок корней по-прежнему не важен. Это задача на нахождение числа сочетаний без повторений из 3 элементов по 2. Формула для числа сочетаний без повторений из $n$ по $k$: $C_n^k = \binom{n}{k}$. Здесь $n=3$ и $k=2$. $C_3^2 = \binom{3}{2} = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times 1} = 3$. Возможные наборы различных корней: {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}.
Ответ: 3.

34.3 Заполните таблицу значений дискриминанта для уравнений вида $ax^2 + bx + c = 0$:

Какова процентная частота уравнений:

а) не имеющих корней;

б) имеющих единственный корень;

в) имеющих хотя бы один корень?

Сначала вычислим значения дискриминанта (D) для каждого квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ по формуле $D = b^2 - 4ac$.

• Уравнение № 1: $a=3, b=7, c=4 \implies D = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 - 48 = 1$
• Уравнение № 2: $a=7, b=7, c=2 \implies D = 7^2 - 4 \cdot 7 \cdot 2 = 49 - 56 = -7$
• Уравнение № 3: $a=9, b=6, c=1 \implies D = 6^2 - 4 \cdot 9 \cdot 1 = 36 - 36 = 0$
• Уравнение № 4: $a=-1, b=0, c=3 \implies D = 0^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 3 = 0 + 12 = 12$
• Уравнение № 5: $a=4, b=5, c=2 \implies D = 5^2 - 4 \cdot 4 \cdot 2 = 25 - 32 = -7$
• Уравнение № 6: $a=-1, b=6, c=-8 \implies D = 6^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-8) = 36 - 32 = 4$
• Уравнение № 7: $a=4, b=7, c=4 \implies D = 7^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 49 - 64 = -15$
• Уравнение № 8: $a=-3, b=-5, c=4 \implies D = (-5)^2 - 4 \cdot (-3) \cdot 4 = 25 + 48 = 73$
• Уравнение № 9: $a=-1, b=2, c=-1 \implies D = 2^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-1) = 4 - 4 = 0$
• Уравнение № 10: $a=1, b=3, c=0 \implies D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0 = 9 - 0 = 9$

Заполненная таблица выглядит следующим образом:

Теперь определим процентную частоту для каждой группы уравнений.

а) не имеющих корней;

Уравнение не имеет действительных корней, если его дискриминант отрицателен ($D < 0$). В нашем случае это уравнения № 2 ($D=-7$), № 5 ($D=-7$) и № 7 ($D=-15$). Всего 3 уравнения из 10.

Процентная частота = $\frac{\text{количество уравнений без корней}}{\text{общее количество уравнений}} \cdot 100\% = \frac{3}{10} \cdot 100\% = 30\%$.

Ответ: 30%.

б) имеющих единственный корень;

Уравнение имеет один корень, если его дискриминант равен нулю ($D = 0$). Это уравнения № 3 ($D=0$) и № 9 ($D=0$). Всего 2 уравнения из 10.

Процентная частота = $\frac{\text{количество уравнений с одним корнем}}{\text{общее количество уравнений}} \cdot 100\% = \frac{2}{10} \cdot 100\% = 20\%$.

Ответ: 20%.

в) имеющих хотя бы один корень?

Уравнение имеет хотя бы один корень, если оно имеет один корень ($D = 0$) или два корня ($D > 0$). Это условие эквивалентно $D \ge 0$.

Количество таких уравнений можно найти, сложив количество уравнений с одним корнем и с двумя корнями, или вычтя из общего числа количество уравнений без корней.

Уравнения с $D>0$: № 1, № 4, № 6, № 8, № 10 (5 уравнений).

Уравнения с $D=0$: № 3, № 9 (2 уравнения).

Всего уравнений, имеющих хотя бы один корень: $5 + 2 = 7$.

Процентная частота = $\frac{\text{количество уравнений с хотя бы одним корнем}}{\text{общее количество уравнений}} \cdot 100\% = \frac{7}{10} \cdot 100\% = 70\%$.

Ответ: 70%.

34.4 a) Откройте задачник на с. 161. В каждом из заданий $28.6-28.10$ определите количество корней квадратного уравнения. Результаты поочерёдно внесите во вторую строку таблицы и подведите в ней же числовой итог.

Кол-во уравнений, имеющих 2 корня Кол-во уравнений, имеющих 1 корень Кол-во уравнений, не имеющих корней

б) Каков объём проведённого измерения?

в) Какова процентная частота уравнений, не имеющих корней?

а)

Для определения количества корней квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ используется дискриминант, который вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.

• Если $D > 0$, уравнение имеет 2 различных действительных корня.
• Если $D = 0$, уравнение имеет 1 действительный корень (или два совпадающих).
• Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Проанализируем уравнения из заданий 28.6–28.10 (на примере задачника по алгебре для 8 класса А.Г. Мордковича). Каждое задание содержит 4 уравнения, итого 20 уравнений.

Задания 28.6, 28.7, 28.8:

В каждом из этих трех заданий содержатся по 4 уравнения. Все 12 уравнений имеют положительный дискриминант.

Пример из 28.6 (а): $x^2 - 5x + 6 = 0$. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 > 0$. Уравнение имеет 2 корня.

Пример из 28.7 (а): $x^2 - 2x - 5 = 0$. Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 4 + 20 = 24 > 0$. Уравнение имеет 2 корня.

Пример из 28.8 (а): $2x^2 + 3x + 1 = 0$. Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1 > 0$. Уравнение имеет 2 корня.

Итого, количество уравнений, имеющих 2 корня, равно $3 \cdot 4 = 12$.

Задание 28.9:

Все 4 уравнения в этом задании имеют дискриминант, равный нулю.

Пример (а): $x^2 - 6x + 9 = 0$. Дискриминант $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 - 36 = 0$. Уравнение имеет 1 корень.

Итого, количество уравнений, имеющих 1 корень, равно 4.

Задание 28.10:

Все 4 уравнения в этом задании имеют отрицательный дискриминант.

Пример (а): $x^2 - x + 1 = 0$. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3 < 0$. Уравнение не имеет корней.

Итого, количество уравнений, не имеющих корней, равно 4.

Теперь внесем результаты во вторую строку таблицы и подведем итог.

Ответ: Во вторую строку таблицы вносятся числа: 12 (для уравнений с 2 корнями), 4 (для уравнений с 1 корнем), 4 (для уравнений без корней). Числовой итог равен 20.

б)

Объём проведённого измерения (или объём выборки) — это общее количество элементов, которые были исследованы. В данном случае, это общее количество решенных уравнений.

Было проанализировано 5 заданий (28.6, 28.7, 28.8, 28.9, 28.10), в каждом из которых по 4 уравнения. Общий объём измерения равен:

$5 \text{ заданий} \times 4 \text{ уравнения} = 20 \text{ уравнений}$.

Ответ: 20.

в)

Процентная частота события вычисляется как отношение количества наступлений этого события к общему числу испытаний (объёму измерения), умноженное на 100%.

$\text{Процентная частота} = \frac{\text{Количество уравнений без корней}}{\text{Общее количество уравнений}} \cdot 100\%$

Из пункта а) мы знаем, что:

• Количество уравнений, не имеющих корней = 4.
• Общее количество уравнений (объём измерения) = 20.

Вычисляем процентную частоту:

$\frac{4}{20} \cdot 100\% = \frac{1}{5} \cdot 100\% = 0.2 \cdot 100\% = 20\%$

Ответ: 20%.