Страница 194, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

Замените символ * знаком < или > так, чтобы получилось верное неравенство:

35.1 а) $5,6 * 5,56;$

б) $-2,4 * -2,39;$

в) $6,79 * 6,8;$

г) $-0,1 * -0,11;$

Чтобы заменить символ * знаком < или >, нужно сравнить числа слева и справа от него.

а) Сравниваем числа 5,6 и 5,56.

При сравнении десятичных дробей сначала сравнивают их целые части. В данном случае целые части обоих чисел равны 5. Далее сравниваем дробные части поразрядно, начиная с десятых. В числе 5,6 в разряде десятых стоит цифра 6, а в числе 5,56 — цифра 5. Так как $6 > 5$, то и число 5,6 больше числа 5,56. Можно также уравнять количество знаков после запятой: $5,6 = 5,60$. Сравнивая 5,60 и 5,56, видим, что $60 > 56$, следовательно, $5,6 > 5,56$.

Ответ: $5,6 > 5,56$

б) Сравниваем числа -2,4 и -2,39.

При сравнении отрицательных чисел большим является то число, модуль (абсолютная величина) которого меньше. Сравним модули данных чисел: $|-2,4| = 2,4$ и $|-2,39| = 2,39$. Чтобы сравнить 2,4 и 2,39, посмотрим на разряд десятых. У числа 2,4 это 4, а у числа 2,39 это 3. Так как $4 > 3$, то $2,4 > 2,39$. Поскольку модуль первого числа больше модуля второго, то само первое отрицательное число меньше второго: $-2,4 < -2,39$.

Ответ: $-2,4 < -2,39$

в) Сравниваем числа 6,79 и 6,8.

Целые части чисел равны 6. Сравниваем дробные части. В разряде десятых у числа 6,79 стоит цифра 7, а у числа 6,8 — цифра 8. Так как $7 < 8$, то число 6,79 меньше числа 6,8. Для наглядности можно представить 6,8 как 6,80. Сравнивая 6,79 и 6,80, очевидно, что $79 < 80$, следовательно, $6,79 < 6,8$.

Ответ: $6,79 < 6,8$

г) Сравниваем числа -0,1 и -0,11.

Это отрицательные числа, поэтому большим будет то, чей модуль меньше. Сравним модули: $|-0,1| = 0,1$ и $|-0,11| = 0,11$. Чтобы сравнить 0,1 и 0,11, уравняем количество знаков после запятой: $0,1 = 0,10$. Теперь сравниваем 0,10 и 0,11. Так как $10 < 11$, то $0,1 < 0,11$. Поскольку модуль первого числа меньше модуля второго, то само первое отрицательное число больше второго: $-0,1 > -0,11$.

Ответ: $-0,1 > -0,11$

35.2 а) $-\frac{4}{5} * -\frac{2}{7};$

б) $\frac{3}{4} * \frac{5}{9};$

в) $\frac{7}{11} * \frac{9}{13};$

г) $-\frac{6}{17} * -\frac{1}{3}.$

а) Чтобы умножить две обыкновенные дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. При умножении двух отрицательных чисел результат будет положительным.

$-\frac{4}{5} * (-\frac{2}{7}) = \frac{4 * 2}{5 * 7} = \frac{8}{35}$

Числители и знаменатели не имеют общих делителей, кроме 1, поэтому дробь несократимая.

Ответ: $\frac{8}{35}$

б) Умножим числитель на числитель, а знаменатель на знаменатель. Перед умножением можно сократить дробь.

$\frac{3}{4} * \frac{5}{9} = \frac{3 * 5}{4 * 9}$

Сократим 3 в числителе и 9 в знаменателе на их общий делитель 3:

$\frac{3 * 5}{4 * 9} = \frac{1 * 5}{4 * 3} = \frac{5}{12}$

Ответ: $\frac{5}{12}$

в) Умножим числитель на числитель, а знаменатель на знаменатель.

$\frac{7}{11} * \frac{9}{13} = \frac{7 * 9}{11 * 13} = \frac{63}{143}$

Проверим, можно ли сократить дробь. Числитель 63 делится на 3, 7, 9. Знаменатель 143 делится на 11 и 13. Общих делителей, кроме 1, нет. Дробь несократимая.

Ответ: $\frac{63}{143}$

г) При умножении двух отрицательных чисел результат будет положительным. Сократим дробь перед умножением.

$-\frac{6}{17} * (-\frac{1}{3}) = \frac{6 * 1}{17 * 3}$

Сократим 6 в числителе и 3 в знаменателе на их общий делитель 3:

$\frac{6 * 1}{17 * 3} = \frac{2 * 1}{17 * 1} = \frac{2}{17}$

Ответ: $\frac{2}{17}$

35.3 a) $ \frac{2}{5} * 0,41; $

б) $ -2\frac{1}{4} * 2,2; $

в) $ -1,7 * -1\frac{3}{4}; $

г) $ \frac{6}{25} * 0,25. $

а)

Чтобы найти произведение, преобразуем обыкновенную дробь $\frac{2}{5}$ в десятичную. Для этого разделим числитель на знаменатель:
$\frac{2}{5} = 2 \div 5 = 0,4$.
Теперь задача сводится к умножению двух десятичных дробей:
$0,4 \cdot 0,41$
Выполним умножение, игнорируя запятые: $4 \cdot 41 = 164$.
В первом множителе ($0,4$) одна цифра после запятой, во втором ($0,41$) - две. Суммарно $1 + 2 = 3$ цифры. В результате нужно отделить запятой три цифры справа.
$0,4 \cdot 0,41 = 0,164$.
Ответ: $0,164$.

б)

Для удобства вычислений преобразуем оба множителя в десятичные дроби. Смешанное число $-2\frac{1}{4}$ можно представить в виде десятичной дроби, так как $\frac{1}{4} = 0,25$.
$-2\frac{1}{4} = -2,25$.
Теперь выполним умножение:
$-2,25 \cdot 2,2$
Произведение чисел с разными знаками — число отрицательное. Умножим их модули: $2,25 \cdot 2,2$.
Умножим числа, не обращая внимания на запятые: $225 \cdot 22 = 4950$.
В первом множителе ($2,25$) две цифры после запятой, во втором ($2,2$) — одна. Суммарно $2 + 1 = 3$ цифры. Отделяем в произведении три цифры справа: $4,950$.
Конечный ноль в дробной части можно отбросить: $4,950 = 4,95$.
Так как один из множителей был отрицательным, результат будет отрицательным.
$-2,25 \cdot 2,2 = -4,95$.
Ответ: $-4,95$.

в)

Преобразуем оба множителя в десятичные дроби. Смешанное число $-1\frac{3}{4}$ равно $-1,75$, так как $\frac{3}{4} = 0,75$.
Теперь задача выглядит так:
$-1,7 \cdot (-1,75)$
Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом. Поэтому найдем произведение их модулей: $1,7 \cdot 1,75$.
Умножим числа, игнорируя запятые: $17 \cdot 175 = 2975$.
В первом множителе ($1,7$) одна цифра после запятой, во втором ($1,75$) — две. Суммарно $1 + 2 = 3$ цифры. Отделяем в произведении три цифры справа.
$1,7 \cdot 1,75 = 2,975$.
Ответ: $2,975$.

г)

Для решения этого примера можно работать как с десятичными, так и с обыкновенными дробями. Рассмотрим оба способа.
Способ 1: Преобразование в десятичные дроби.
Переведем дробь $\frac{6}{25}$ в десятичную, домножив числитель и знаменатель на 4:
$\frac{6}{25} = \frac{6 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{24}{100} = 0,24$.
Теперь умножим десятичные дроби:
$0,24 \cdot 0,25 = 0,06$.
Способ 2: Преобразование в обыкновенные дроби.
Переведем десятичную дробь $0,25$ в обыкновенную:
$0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$.
Теперь умножим обыкновенные дроби:
$\frac{6}{25} \cdot \frac{1}{4} = \frac{6 \cdot 1}{25 \cdot 4} = \frac{6}{100}$.
Результат можно записать в виде десятичной дроби: $0,06$.
Оба способа дают одинаковый результат.
Ответ: $0,06$.

35.4 a) $0.4 * \frac{1}{3}$;

б) $-1\frac{5}{6} * -1.82$;

в) $2.56 * 2\frac{7}{11}$;

г) $-0.13 * -\frac{1}{9}$.

а) Чтобы умножить десятичную дробь на обыкновенную, удобнее всего представить десятичную дробь в виде обыкновенной.
Переведем $0,4$ в обыкновенную дробь:
$0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$
Теперь выполним умножение дробей:
$0,4 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 1}{5 \cdot 3} = \frac{2}{15}$
Ответ: $\frac{2}{15}$

б) Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом. Для вычисления представим оба множителя в виде неправильных дробей.
Переведем смешанное число в неправильную дробь:
$-1\frac{5}{6} = -\frac{1 \cdot 6 + 5}{6} = -\frac{11}{6}$
Переведем десятичную дробь в обыкновенную:
$-1,82 = -\frac{182}{100} = -\frac{91}{50}$ (сократили на 2)
Теперь выполним умножение:
$-1\frac{5}{6} \cdot (-1,82) = \frac{11}{6} \cdot \frac{91}{50} = \frac{11 \cdot 91}{6 \cdot 50} = \frac{1001}{300}$
Выделим целую часть из полученной неправильной дроби:
$\frac{1001}{300} = 3\frac{101}{300}$
Ответ: $3\frac{101}{300}$

в) Для выполнения умножения представим десятичную дробь и смешанное число в виде неправильных дробей.
$2,56 = \frac{256}{100} = \frac{64}{25}$ (сократили на 4)
$2\frac{7}{11} = \frac{2 \cdot 11 + 7}{11} = \frac{29}{11}$
Теперь перемножим полученные дроби:
$2,56 \cdot 2\frac{7}{11} = \frac{64}{25} \cdot \frac{29}{11} = \frac{64 \cdot 29}{25 \cdot 11} = \frac{1856}{275}$
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число, выделив целую часть:
$1856 \div 275 = 6$ (остаток $1856 - 275 \cdot 6 = 1856 - 1650 = 206$)
$\frac{1856}{275} = 6\frac{206}{275}$
Ответ: $6\frac{206}{275}$

г) Произведение двух отрицательных чисел положительно. Представим десятичную дробь в виде обыкновенной для удобства вычислений.
$-0,13 = -\frac{13}{100}$
Теперь выполним умножение:
$-0,13 \cdot (-\frac{1}{9}) = \frac{13}{100} \cdot \frac{1}{9} = \frac{13 \cdot 1}{100 \cdot 9} = \frac{13}{900}$
Эта дробь является несократимой, так как 13 — простое число, а 900 на 13 не делится.
Ответ: $\frac{13}{900}$

35.5 a) $3,7 + 1,02 * 4,26 + 0,5;$

б) $-3,1 + 3,5 * 2,1 - 2,59;$

в) $5,9 - 1,45 * 2,8 + 1,9;$

г) $7,31 - 2,33 * 3,11 + 1,88.$

а) $3,7 + 1,02 * 4,26 + 0,5$

Для решения примера необходимо соблюдать порядок действий: сначала выполняется умножение, затем сложение.

1. Выполним умножение: $1,02 * 4,26 = 4,3452$.

2. Теперь выражение выглядит так: $3,7 + 4,3452 + 0,5$. Выполним сложение слева направо.

3. Первое сложение: $3,7 + 4,3452 = 8,0452$.

4. Второе сложение: $8,0452 + 0,5 = 8,5452$.

Ответ: $8,5452$.

б) $-3,1 + 3,5 * 2,1 - 2,59$

Порядок действий: сначала умножение, затем сложение и вычитание по порядку слева направо.

1. Выполним умножение: $3,5 * 2,1 = 7,35$.

2. Теперь выражение имеет вид: $-3,1 + 7,35 - 2,59$.

3. Выполним сложение: $-3,1 + 7,35 = 4,25$.

4. Выполним вычитание: $4,25 - 2,59 = 1,66$.

Ответ: $1,66$.

в) $5,9 - 1,45 * 2,8 + 1,9$

Сначала выполняется умножение, затем действия вычитания и сложения в порядке их следования.

1. Выполним умножение: $1,45 * 2,8 = 4,06$.

2. Теперь выражение выглядит следующим образом: $5,9 - 4,06 + 1,9$.

3. Выполним вычитание: $5,9 - 4,06 = 1,84$.

4. Выполним сложение: $1,84 + 1,9 = 3,74$.

Ответ: $3,74$.

г) $7,31 - 2,33 * 3,11 + 1,88$

Сначала выполняем умножение, затем вычитание и сложение слева направо.

1. Выполним умножение: $2,33 * 3,11 = 7,2463$.

2. Теперь выражение примет вид: $7,31 - 7,2463 + 1,88$.

3. Выполним вычитание: $7,31 - 7,2463 = 0,0637$.

4. Выполним сложение: $0,0637 + 1,88 = 1,9437$.

Ответ: $1,9437$.

35.6 a) $ \frac{1}{2} + \frac{2}{3} * 1\frac{1}{5}; $

б) $ -1\frac{5}{6} * -\frac{3}{4} - \frac{2}{5}; $

в) $ 2\frac{1}{7} * \frac{1}{14} + 1\frac{1}{2}; $

г) $ -\frac{2}{5} - 2\frac{1}{6} * -2\frac{1}{2}. $

а) $\frac{1}{2} + \frac{2}{3} \cdot 1\frac{1}{5}$

Согласно порядку действий, сначала выполняем умножение, а затем сложение.
1. Преобразуем смешанное число $1\frac{1}{5}$ в неправильную дробь:
$1\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{6}{5}$.
2. Выполним умножение:
$\frac{2}{3} \cdot \frac{6}{5} = \frac{2 \cdot 6}{3 \cdot 5} = \frac{12}{15}$.
3. Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для 12 и 15 равен 3:
$\frac{12 \div 3}{15 \div 3} = \frac{4}{5}$.
4. Теперь выполним сложение:
$\frac{1}{2} + \frac{4}{5}$.
5. Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 2 и 5 это 10:
$\frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} + \frac{4 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{5}{10} + \frac{8}{10}$.
6. Сложим дроби:
$\frac{5 + 8}{10} = \frac{13}{10}$.
7. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$\frac{13}{10} = 1\frac{3}{10}$.

Ответ: $1\frac{3}{10}$.

б) $-1\frac{5}{6} \cdot (-\frac{3}{4}) - \frac{2}{5}$

Сначала выполняем умножение, затем вычитание.
1. Преобразуем смешанное число $-1\frac{5}{6}$ в неправильную дробь:
$-1\frac{5}{6} = -\frac{1 \cdot 6 + 5}{6} = -\frac{11}{6}$.
2. Выполним умножение. Произведение двух отрицательных чисел положительно:
$-\frac{11}{6} \cdot (-\frac{3}{4}) = \frac{11 \cdot 3}{6 \cdot 4} = \frac{33}{24}$.
3. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:
$\frac{33 \div 3}{24 \div 3} = \frac{11}{8}$.
4. Теперь выполним вычитание:
$\frac{11}{8} - \frac{2}{5}$.
5. Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 8 и 5 это 40:
$\frac{11 \cdot 5}{8 \cdot 5} - \frac{2 \cdot 8}{5 \cdot 8} = \frac{55}{40} - \frac{16}{40}$.
6. Вычтем дроби:
$\frac{55 - 16}{40} = \frac{39}{40}$.

Ответ: $\frac{39}{40}$.

в) $2\frac{1}{7} \cdot \frac{1}{14} + 1\frac{1}{2}$

Сначала выполняем умножение, затем сложение.
1. Преобразуем смешанное число $2\frac{1}{7}$ в неправильную дробь:
$2\frac{1}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{15}{7}$.
2. Выполним умножение:
$\frac{15}{7} \cdot \frac{1}{14} = \frac{15 \cdot 1}{7 \cdot 14} = \frac{15}{98}$.
3. Теперь выполним сложение. Преобразуем второе смешанное число $1\frac{1}{2}$ в неправильную дробь $\frac{3}{2}$:
$\frac{15}{98} + \frac{3}{2}$.
4. Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 98 и 2 это 98:
$\frac{15}{98} + \frac{3 \cdot 49}{2 \cdot 49} = \frac{15}{98} + \frac{147}{98}$.
5. Сложим дроби:
$\frac{15 + 147}{98} = \frac{162}{98}$.
6. Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:
$\frac{162 \div 2}{98 \div 2} = \frac{81}{49}$.
7. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$\frac{81}{49} = 1\frac{32}{49}$.

Ответ: $1\frac{32}{49}$.

г) $-\frac{2}{5} - 2\frac{1}{6} \cdot (-2\frac{1}{2})$

Сначала выполняем умножение, затем вычитание.
1. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
$2\frac{1}{6} = \frac{2 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{13}{6}$;
$-2\frac{1}{2} = -\frac{2 \cdot 2 + 1}{2} = -\frac{5}{2}$.
2. Выполним умножение:
$\frac{13}{6} \cdot (-\frac{5}{2}) = -\frac{13 \cdot 5}{6 \cdot 2} = -\frac{65}{12}$.
3. Теперь выполним вычитание:
$-\frac{2}{5} - (-\frac{65}{12})$.
4. Вычитание отрицательного числа равносильно сложению:
$-\frac{2}{5} + \frac{65}{12}$.
5. Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 5 и 12 это 60:
$-\frac{2 \cdot 12}{5 \cdot 12} + \frac{65 \cdot 5}{12 \cdot 5} = -\frac{24}{60} + \frac{325}{60}$.
6. Сложим дроби:
$\frac{-24 + 325}{60} = \frac{301}{60}$.
7. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$\frac{301}{60} = 5\frac{1}{60}$.

Ответ: $5\frac{1}{60}$.