Страница 198, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

35.35 Известно, что $2,6 < \sqrt{7} < 2,7$. Оцените значение выражения:

а) $2\sqrt{7}$;

б) $2+2\sqrt{7}$;

в) $-\sqrt{7}$;

г) $3-\sqrt{7}$.

Для решения этой задачи мы будем использовать свойства числовых неравенств. Исходное данное неравенство: $2,6 < \sqrt{7} < 2,7$.

а) Оцените значение выражения $2\sqrt{7}$

Чтобы оценить выражение $2\sqrt{7}$, умножим все части исходного неравенства $2,6 < \sqrt{7} < 2,7$ на 2. Поскольку 2 - положительное число, знаки неравенства сохраняются.
Левая часть: $2,6 \times 2 = 5,2$.
Средняя часть: $\sqrt{7} \times 2 = 2\sqrt{7}$.
Правая часть: $2,7 \times 2 = 5,4$.
В результате получаем: $5,2 < 2\sqrt{7} < 5,4$.
Ответ: $5,2 < 2\sqrt{7} < 5,4$.

б) Оцените значение выражения $2 + 2\sqrt{7}$

Воспользуемся результатом, полученным в пункте а): $5,2 < 2\sqrt{7} < 5,4$. Чтобы оценить выражение $2 + 2\sqrt{7}$, прибавим 2 ко всем частям этого неравенства. При сложении с числом знаки неравенства не изменяются.
Левая часть: $5,2 + 2 = 7,2$.
Средняя часть: $2\sqrt{7} + 2 = 2 + 2\sqrt{7}$.
Правая часть: $5,4 + 2 = 7,4$.
Получаем оценку: $7,2 < 2 + 2\sqrt{7} < 7,4$.
Ответ: $7,2 < 2 + 2\sqrt{7} < 7,4$.

в) Оцените значение выражения $-\sqrt{7}$

Чтобы оценить выражение $-\sqrt{7}$, умножим все части исходного неравенства $2,6 < \sqrt{7} < 2,7$ на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные.
Левая часть: $2,6 \times (-1) = -2,6$.
Средняя часть: $\sqrt{7} \times (-1) = -\sqrt{7}$.
Правая часть: $2,7 \times (-1) = -2,7$.
Получаем неравенство: $-2,6 > -\sqrt{7} > -2,7$.
Для удобства принято записывать неравенства в порядке возрастания, поэтому поменяем местами левую и правую части: $-2,7 < -\sqrt{7} < -2,6$.
Ответ: $-2,7 < -\sqrt{7} < -2,6$.

г) Оцените значение выражения $3 - \sqrt{7}$

Воспользуемся результатом, полученным в пункте в): $-2,7 < -\sqrt{7} < -2,6$. Чтобы оценить выражение $3 - \sqrt{7}$, прибавим 3 ко всем частям этого неравенства.
Левая часть: $-2,7 + 3 = 0,3$.
Средняя часть: $-\sqrt{7} + 3 = 3 - \sqrt{7}$.
Правая часть: $-2,6 + 3 = 0,4$.
В результате получаем: $0,3 < 3 - \sqrt{7} < 0,4$.
Ответ: $0,3 < 3 - \sqrt{7} < 0,4$.

35.36 Известно, что $2,8 < \sqrt{8} < 2,9$ и $3,3 < \sqrt{11} < 3,4$. Оцените значение выражения:

а) $\sqrt{8} + \sqrt{11}$;

б) $\sqrt{8} - \sqrt{11}$;

в) $\sqrt{8} + 2\sqrt{11}$;

г) $3\sqrt{8} - \sqrt{11}$.

Для решения задачи используются исходные неравенства $2,8 < \sqrt{8} < 2,9$ и $3,3 < \sqrt{11} < 3,4$ и свойства числовых неравенств.

а) $\sqrt{8} + \sqrt{11}$

Чтобы оценить сумму, сложим почленно данные неравенства. При сложении неравенств одного знака их знаки сохраняются.

$+\begin{cases} 2,8 < \sqrt{8} < 2,9 \\ 3,3 < \sqrt{11} < 3,4 \end{cases}$

Получаем:

$2,8 + 3,3 < \sqrt{8} + \sqrt{11} < 2,9 + 3,4$

$6,1 < \sqrt{8} + \sqrt{11} < 6,3$

Ответ: $6,1 < \sqrt{8} + \sqrt{11} < 6,3$.

б) $\sqrt{8} - \sqrt{11}$

Чтобы оценить разность, представим ее в виде суммы $\sqrt{8} + (-\sqrt{11})$. Сначала найдем оценку для $-\sqrt{11}$. Для этого умножим все части неравенства $3,3 < \sqrt{11} < 3,4$ на -1, изменив знаки неравенства на противоположные.

$-3,4 < -\sqrt{11} < -3,3$

Теперь сложим полученное неравенство с неравенством для $\sqrt{8}$:

$+\begin{cases} 2,8 < \sqrt{8} < 2,9 \\ -3,4 < -\sqrt{11} < -3,3 \end{cases}$

Получаем:

$2,8 - 3,4 < \sqrt{8} - \sqrt{11} < 2,9 - 3,3$

$-0,6 < \sqrt{8} - \sqrt{11} < -0,4$

Ответ: $-0,6 < \sqrt{8} - \sqrt{11} < -0,4$.

в) $\sqrt{8} + 2\sqrt{11}$

Сначала оценим выражение $2\sqrt{11}$. Умножим неравенство $3,3 < \sqrt{11} < 3,4$ на 2. Так как 2 > 0, знаки неравенства сохраняются.

$2 \cdot 3,3 < 2\sqrt{11} < 2 \cdot 3,4$

$6,6 < 2\sqrt{11} < 6,8$

Теперь сложим это неравенство с неравенством для $\sqrt{8}$:

$+\begin{cases} 2,8 < \sqrt{8} < 2,9 \\ 6,6 < 2\sqrt{11} < 6,8 \end{cases}$

Получаем:

$2,8 + 6,6 < \sqrt{8} + 2\sqrt{11} < 2,9 + 6,8$

$9,4 < \sqrt{8} + 2\sqrt{11} < 9,7$

Ответ: $9,4 < \sqrt{8} + 2\sqrt{11} < 9,7$.

г) $3\sqrt{8} - \sqrt{11}$

Для оценки этого выражения сначала найдем оценки для $3\sqrt{8}$ и $-\sqrt{11}$.

1. Оценим $3\sqrt{8}$. Умножим неравенство $2,8 < \sqrt{8} < 2,9$ на 3:

$3 \cdot 2,8 < 3\sqrt{8} < 3 \cdot 2,9$

$8,4 < 3\sqrt{8} < 8,7$

2. Оценка для $-\sqrt{11}$ была найдена в пункте б):

$-3,4 < -\sqrt{11} < -3,3$

3. Теперь сложим полученные неравенства:

$+\begin{cases} 8,4 < 3\sqrt{8} < 8,7 \\ -3,4 < -\sqrt{11} < -3,3 \end{cases}$

Получаем:

$8,4 - 3,4 < 3\sqrt{8} - \sqrt{11} < 8,7 - 3,3$

$5 < 3\sqrt{8} - \sqrt{11} < 5,4$

Ответ: $5 < 3\sqrt{8} - \sqrt{11} < 5,4$.

35.37 Известно, что $8 < a < 10$ и $1 < b < 2$. Оцените значение выражения:

а) $\frac{1}{4}a + b;$

б) $a - \frac{1}{2}b;$

в) $ab;$

г) $\frac{a}{b}. $

а) $\frac{1}{4}a + b$

Сначала оценим значение выражения $\frac{1}{4}a$. Нам дано неравенство $8 < a < 10$. Умножим все части этого неравенства на положительное число $\frac{1}{4}$, знаки неравенства при этом сохраняются:
$\frac{1}{4} \cdot 8 < \frac{1}{4}a < \frac{1}{4} \cdot 10$
$2 < \frac{1}{4}a < 2.5$
Теперь у нас есть два неравенства:
1) $2 < \frac{1}{4}a < 2.5$
2) $1 < b < 2$
Чтобы оценить сумму $\frac{1}{4}a + b$, мы можем сложить соответствующие части этих неравенств:
$2 + 1 < \frac{1}{4}a + b < 2.5 + 2$
$3 < \frac{1}{4}a + b < 4.5$

Ответ: $3 < \frac{1}{4}a + b < 4.5$

б) $a - \frac{1}{2}b$

Чтобы оценить разность, представим ее в виде суммы $a + (-\frac{1}{2}b)$.
Сначала оценим значение выражения $-\frac{1}{2}b$. Известно, что $1 < b < 2$. Умножим все части этого неравенства на отрицательное число $-\frac{1}{2}$. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$-\frac{1}{2} \cdot 2 < -\frac{1}{2}b < -\frac{1}{2} \cdot 1$
$-1 < -\frac{1}{2}b < -0.5$
Теперь сложим почленно неравенства $8 < a < 10$ и $-1 < -\frac{1}{2}b < -0.5$:
$8 + (-1) < a + (-\frac{1}{2}b) < 10 + (-0.5)$
$7 < a - \frac{1}{2}b < 9.5$

Ответ: $7 < a - \frac{1}{2}b < 9.5$

в) $ab$

Нам даны неравенства $8 < a < 10$ и $1 < b < 2$. Поскольку все части этих неравенств являются положительными числами, мы можем их почленно перемножить, сохранив знак неравенства:
$8 \cdot 1 < a \cdot b < 10 \cdot 2$
$8 < ab < 20$

Ответ: $8 < ab < 20$

г) $\frac{a}{b}$

Чтобы оценить частное $\frac{a}{b}$, представим его в виде произведения $a \cdot \frac{1}{b}$.
Сначала оценим значение выражения $\frac{1}{b}$. Известно, что $1 < b < 2$. Так как все части неравенства положительны, при взятии обратной величины знаки неравенства меняются на противоположные:
$\frac{1}{2} < \frac{1}{b} < \frac{1}{1}$
$0.5 < \frac{1}{b} < 1$
Теперь у нас есть два неравенства с положительными членами: $8 < a < 10$ и $0.5 < \frac{1}{b} < 1$. Перемножим их почленно:
$8 \cdot 0.5 < a \cdot \frac{1}{b} < 10 \cdot 1$
$4 < \frac{a}{b} < 10$

Ответ: $4 < \frac{a}{b} < 10$

35.38 Известно, что $a > b + 3$, $b + 1 > 7$. Докажите, что $a > 9$.

Согласно условию задачи, нам даны два неравенства: $a > b + 3$ и $b + 1 > 7$. Нам нужно доказать, что $a > 9$.

Шаг 1: Работа со вторым неравенством.
Рассмотрим неравенство $b + 1 > 7$. Чтобы выразить $b$, вычтем из обеих частей неравенства число 1. Знак неравенства при этом не изменится.
$b + 1 - 1 > 7 - 1$
$b > 6$
Таким образом, мы установили, что $b$ строго больше 6.

Шаг 2: Использование результата в первом неравенстве.
Теперь рассмотрим первое неравенство $a > b + 3$. Мы знаем, что $b > 6$. Используем это, чтобы найти нижнюю границу для выражения $b+3$. Прибавим к обеим частям неравенства $b > 6$ число 3:
$b + 3 > 6 + 3$
$b + 3 > 9$

Шаг 3: Применение свойства транзитивности.
Теперь у нас есть система из двух неравенств:
1) $a > b + 3$ (из условия)
2) $b + 3 > 9$ (получено в Шаге 2)
Согласно свойству транзитивности для строгих неравенств (если $x > y$ и $y > z$, то $x > z$), мы можем объединить эти два неравенства. В нашем случае $x=a$, $y=b+3$, $z=9$.
Из $a > b + 3$ и $b + 3 > 9$ напрямую следует, что $a > 9$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение, что $a > 9$, доказано.

Докажите, что при любых значениях переменных справедливо неравенство:

35.39 a) $3(x + 1) + x < 4(2 + x);$

б) $m(m + n) \geq mn;$

в) $2y^2 - 6y + 1 > 2y(y - 3);$

г) $c^2 - d^2 \geq -2d^2 - 1.$

а) Чтобы доказать неравенство $3(x + 1) + x < 4(2 + x)$, выполним тождественные преобразования.
Раскроем скобки в обеих частях неравенства:
$3x + 3 + x < 8 + 4x$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$4x + 3 < 8 + 4x$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числа — в правую:
$4x - 4x < 8 - 3$
Упростим выражение:
$0 < 5$
Мы получили верное числовое неравенство, которое не зависит от значения переменной $x$. Следовательно, исходное неравенство справедливо при любых значениях $x$.
Ответ: Доказано.

б) Чтобы доказать неравенство $m(m + n) \ge mn$, преобразуем его левую часть.
Раскроем скобки:
$m^2 + mn \ge mn$
Перенесем слагаемое $mn$ из правой части в левую с противоположным знаком:
$m^2 + mn - mn \ge 0$
Упростим выражение:
$m^2 \ge 0$
Квадрат любого действительного числа $m$ всегда является неотрицательным числом (то есть больше или равен нулю). Полученное неравенство справедливо при любом значении $m$ и не зависит от $n$. Следовательно, исходное неравенство верно при любых значениях переменных.
Ответ: Доказано.

в) Чтобы доказать неравенство $2y^2 - 6y + 1 > 2y(y - 3)$, преобразуем его.
Раскроем скобки в правой части:
$2y^2 - 6y + 1 > 2y^2 - 6y$
Перенесем все слагаемые из правой части в левую:
$2y^2 - 6y + 1 - 2y^2 + 6y > 0$
Приведем подобные слагаемые:
$(2y^2 - 2y^2) + (-6y + 6y) + 1 > 0$
$0 + 0 + 1 > 0$
$1 > 0$
Мы получили верное числовое неравенство, которое не зависит от значения переменной $y$. Следовательно, исходное неравенство справедливо при любых значениях $y$.
Ответ: Доказано.

г) Чтобы доказать неравенство $c^2 - d^2 \ge -2d^2 - 1$, перенесем все слагаемые в левую часть.
$c^2 - d^2 + 2d^2 + 1 \ge 0$
Приведем подобные слагаемые:
$c^2 + d^2 + 1 \ge 0$
Рассмотрим левую часть полученного неравенства. Выражение $c^2$ всегда неотрицательно, то есть $c^2 \ge 0$ для любого $c$. Аналогично, $d^2 \ge 0$ для любого $d$. Сумма двух неотрицательных чисел также неотрицательна: $c^2 + d^2 \ge 0$.
Если к неотрицательному выражению $c^2 + d^2$ прибавить 1, результат будет строго положительным:
$c^2 + d^2 + 1 \ge 0 + 1$, то есть $c^2 + d^2 + 1 \ge 1$.
Так как $1 > 0$, то неравенство $c^2 + d^2 + 1 \ge 0$ справедливо при любых значениях переменных $c$ и $d$.
Ответ: Доказано.

35.40 a) $x^2 + 2xy + y^2 \ge 0;$

б) $9m^2 + 6mn \ge -n^2;$

в) $2pq \le p^2 + q^2;$

г) $4c^2 + 9d^2 \ge 12cd.$

а) Исходное неравенство: $x^2 + 2xy + y^2 \ge 0$.
Левая часть этого неравенства представляет собой формулу сокращенного умножения — квадрат суммы. Вспомним формулу: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Применив эту формулу к нашему выражению, где $a=x$ и $b=y$, получаем:
$x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$.
Таким образом, исходное неравенство можно переписать в виде:
$(x+y)^2 \ge 0$.
Квадрат любого действительного числа (в данном случае, числа $x+y$) всегда является неотрицательной величиной, то есть больше или равен нулю. Следовательно, данное неравенство верно для любых действительных значений $x$ и $y$.
Ответ: Доказано.

б) Исходное неравенство: $9m^2 + 6mn \ge -n^2$.
Для доказательства перенесем все слагаемые в левую часть неравенства, изменив знак у $-n^2$ на противоположный:
$9m^2 + 6mn + n^2 \ge 0$.
Заметим, что левая часть полученного неравенства является полным квадратом суммы. Представим $9m^2$ как $(3m)^2$ и $6mn$ как $2 \cdot (3m) \cdot n$.
Выражение принимает вид $(3m)^2 + 2 \cdot (3m) \cdot n + n^2$, что соответствует формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a=3m$ и $b=n$.
Сворачиваем левую часть по формуле:
$(3m+n)^2 \ge 0$.
Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, поэтому полученное неравенство верно для любых действительных значений $m$ и $n$.
Ответ: Доказано.

в) Исходное неравенство: $2pq \le p^2 + q^2$.
Перенесем $2pq$ из левой части в правую, изменив знак на противоположный:
$0 \le p^2 - 2pq + q^2$.
Это неравенство эквивалентно следующему:
$p^2 - 2pq + q^2 \ge 0$.
Левая часть является формулой квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Применив эту формулу, где $a=p$ и $b=q$, получим:
$(p-q)^2 \ge 0$.
Квадрат любого действительного числа всегда больше или равен нулю. Следовательно, неравенство справедливо для любых действительных значений $p$ и $q$.
Ответ: Доказано.

г) Исходное неравенство: $4c^2 + 9d^2 \ge 12cd$.
Перенесем слагаемое $12cd$ из правой части в левую с противоположным знаком:
$4c^2 - 12cd + 9d^2 \ge 0$.
Рассмотрим левую часть неравенства. Представим $4c^2$ как $(2c)^2$ и $9d^2$ как $(3d)^2$. Тогда слагаемое $12cd$ можно записать как $2 \cdot (2c) \cdot (3d)$.
Выражение в левой части принимает вид: $(2c)^2 - 2 \cdot (2c) \cdot (3d) + (3d)^2$.
Это соответствует формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a=2c$ и $b=3d$.
Свернем выражение по формуле:
$(2c-3d)^2 \ge 0$.
Так как квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, данное неравенство выполняется для любых действительных значений $c$ и $d$.
Ответ: Доказано.

35.41 а) $2x > 2(x - 4) - a^2$;

б) $z(z + 1) + 5 \ge 1 - 3z$;

в) $4y^2 - 3y \ge 9(y - 1)$;

г) $t(t + 5) - 3 \ge 3t - 4$.

а) Раскроем скобки в правой части неравенства $2x > 2(x - 4) - a^2$:
$2x > 2x - 8 - a^2$
Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а остальные — в правую. В данном случае слагаемые с $x$ взаимно уничтожаются:
$2x - 2x > -8 - a^2$
$0 > -8 - a^2$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить более наглядное выражение:
$a^2 + 8 > 0$
Так как квадрат любого действительного числа $a$ неотрицателен ($a^2 \ge 0$), то сумма $a^2 + 8$ всегда будет больше или равна 8 ($a^2 + 8 \ge 8$). Поскольку $8 > 0$, неравенство $a^2 + 8 > 0$ справедливо при любых значениях параметра $a$.
Следовательно, исходное неравенство верно для любого действительного числа $x$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

б) Решим неравенство $z(z + 1) + 5 \ge 1 - 3z$.
Раскроем скобки и перенесем все слагаемые в левую часть:
$z^2 + z + 5 - 1 + 3z \ge 0$
Приведем подобные слагаемые:
$z^2 + 4z + 4 \ge 0$
Заметим, что левая часть является полным квадратом суммы:
$(z + 2)^2 \ge 0$
Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (больше или равен нулю). Таким образом, это неравенство выполняется при любом действительном значении $z$.
Ответ: $z \in (-\infty; +\infty)$.

в) Решим неравенство $4y^2 - 3y \ge 9(y - 1)$.
Раскроем скобки и перенесем все слагаемые в левую часть:
$4y^2 - 3y - 9(y-1) \ge 0$
$4y^2 - 3y - 9y + 9 \ge 0$
Приведем подобные слагаемые:
$4y^2 - 12y + 9 \ge 0$
Левая часть представляет собой полный квадрат разности:
$(2y)^2 - 2 \cdot (2y) \cdot 3 + 3^2 \ge 0$
$(2y - 3)^2 \ge 0$
Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Следовательно, это неравенство выполняется при любом действительном значении $y$.
Ответ: $y \in (-\infty; +\infty)$.

г) Решим неравенство $t(t + 5) - 3 \ge 3t - 4$.
Раскроем скобки и перенесем все слагаемые в левую часть:
$t^2 + 5t - 3 - 3t + 4 \ge 0$
Приведем подобные слагаемые:
$t^2 + 2t + 1 \ge 0$
Левая часть является полным квадратом суммы:
$(t + 1)^2 \ge 0$
Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Следовательно, это неравенство выполняется при любом действительном значении $t$.
Ответ: $t \in (-\infty; +\infty)$.

35.42 a) $(x+1)(x-4) > (x+2)(x-5);$

б) $(t-3)(t+4) < (t-1)(t+2);$

в) $(a+2)(a+6) < (a+5)(a+3);$

г) $(b-4)(b+6) < (b-3)(b-1).$

а) Решим неравенство $(x + 1)(x - 4) > (x + 2)(x - 5)$.
Сначала раскроем скобки в левой и правой частях неравенства:
Левая часть: $(x + 1)(x - 4) = x^2 - 4x + x - 4 = x^2 - 3x - 4$
Правая часть: $(x + 2)(x - 5) = x^2 - 5x + 2x - 10 = x^2 - 3x - 10$
Теперь неравенство имеет вид:
$x^2 - 3x - 4 > x^2 - 3x - 10$
Перенесем все члены в левую часть:
$x^2 - 3x - 4 - x^2 + 3x + 10 > 0$
Приведем подобные слагаемые:
$(x^2 - x^2) + (-3x + 3x) + (-4 + 10) > 0$
$6 > 0$
Мы получили верное числовое неравенство, которое не зависит от переменной $x$. Это означает, что исходное неравенство справедливо для любого значения $x$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

б) Решим неравенство $(t - 3)(t + 4) < (t - 1)(t + 2)$.
Раскроем скобки:
$t^2 + 4t - 3t - 12 < t^2 + 2t - t - 2$
Приведем подобные слагаемые в обеих частях:
$t^2 + t - 12 < t^2 + t - 2$
Вычтем из обеих частей $t^2$ и $t$:
$t^2 + t - 12 - t^2 - t < t^2 + t - 2 - t^2 - t$
$-12 < -2$
Получилось верное числовое неравенство. Следовательно, исходное неравенство выполняется при любом значении переменной $t$.
Ответ: $t \in (-\infty; +\infty)$.

в) Решим неравенство $(a + 2)(a + 6) < (a + 5)(a + 3)$.
Раскроем скобки:
$a^2 + 6a + 2a + 12 < a^2 + 3a + 5a + 15$
Приведем подобные слагаемые:
$a^2 + 8a + 12 < a^2 + 8a + 15$
Вычтем из обеих частей $a^2$ и $8a$:
$a^2 + 8a + 12 - a^2 - 8a < a^2 + 8a + 15 - a^2 - 8a$
$12 < 15$
Это верное числовое неравенство, не зависящее от $a$. Значит, исходное неравенство справедливо при любом значении $a$.
Ответ: $a \in (-\infty; +\infty)$.

г) Решим неравенство $(b - 4)(b + 6) < (b - 3)(b - 1)$.
Раскроем скобки в обеих частях:
$b^2 + 6b - 4b - 24 < b^2 - b - 3b + 3$
Приведем подобные слагаемые:
$b^2 + 2b - 24 < b^2 - 4b + 3$
Перенесем члены с переменной $b$ в левую часть, а числовые члены (константы) - в правую. При переносе через знак неравенства знак члена меняется на противоположный.
$b^2 + 2b - b^2 + 4b < 3 + 24$
Приведем подобные слагаемые:
$6b < 27$
Разделим обе части неравенства на положительное число 6 (знак неравенства при этом не меняется):
$b < \frac{27}{6}$
Сократим дробь:
$b < \frac{9}{2}$
Или в виде десятичной дроби:
$b < 4.5$
Решение можно записать в виде интервала $(-\infty; 4.5)$.
Ответ: $b \in (-\infty; 4.5)$.

35.43 a) $(7 + 2d)(7 - 2d) < 49 - d(4d + 1), \text{ где } d < 0;$

б) $(2q - 3)(q - 3) > (q - 1)(q - 8).$

a)

Решим неравенство $(7 + 2d)(7 - 2d) < 49 - d(4d + 1)$ при условии $d < 0$.

Сначала преобразуем левую часть неравенства, используя формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$(7 + 2d)(7 - 2d) = 7^2 - (2d)^2 = 49 - 4d^2$.

Теперь преобразуем правую часть неравенства, раскрыв скобки:

$49 - d(4d + 1) = 49 - d \cdot 4d - d \cdot 1 = 49 - 4d^2 - d$.

Подставим преобразованные части обратно в исходное неравенство:

$49 - 4d^2 < 49 - 4d^2 - d$.

Прибавим к обеим частям неравенства выражение $4d^2$:

$49 - 4d^2 + 4d^2 < 49 - 4d^2 - d + 4d^2$.

$49 < 49 - d$.

Вычтем из обеих частей число 49:

$49 - 49 < 49 - d - 49$.

$0 < -d$.

Умножим обе части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$0 \cdot (-1) > -d \cdot (-1)$.

$0 > d$, или $d < 0$.

Полученное решение $d < 0$ полностью совпадает с условием, данным в задаче. Это означает, что исходное неравенство верно для всех значений $d$, удовлетворяющих этому условию.

Ответ: $d \in (-\infty; 0)$.

б)

Решим неравенство $(2q - 3)(q - 3) > (q - 1)(q - 8)$.

Раскроем скобки в левой части неравенства:

$(2q - 3)(q - 3) = 2q \cdot q + 2q \cdot (-3) - 3 \cdot q - 3 \cdot (-3) = 2q^2 - 6q - 3q + 9 = 2q^2 - 9q + 9$.

Раскроем скобки в правой части неравенства:

$(q - 1)(q - 8) = q \cdot q + q \cdot (-8) - 1 \cdot q - 1 \cdot (-8) = q^2 - 8q - q + 8 = q^2 - 9q + 8$.

Подставим полученные выражения в исходное неравенство:

$2q^2 - 9q + 9 > q^2 - 9q + 8$.

Перенесем все члены из правой части в левую, меняя их знаки на противоположные:

$2q^2 - 9q + 9 - q^2 + 9q - 8 > 0$.

Приведем подобные слагаемые:

$(2q^2 - q^2) + (-9q + 9q) + (9 - 8) > 0$.

$q^2 + 0q + 1 > 0$.

$q^2 + 1 > 0$.

Проанализируем полученное неравенство. Квадрат любого действительного числа $q$ является неотрицательным, то есть $q^2 \ge 0$.

Если к неотрицательному числу прибавить 1, результат всегда будет положительным:

$q^2 + 1 \ge 0 + 1$, следовательно $q^2 + 1 \ge 1$.

Так как $1 > 0$, то неравенство $q^2 + 1 > 0$ выполняется для любого действительного значения $q$.

Ответ: $q \in (-\infty; +\infty)$.

35.44 а) $\frac{a^2 + b^2}{2ab} \ge 1$, если $ab > 0$;

б) $25r + \frac{1}{r} \le -10$, если $r < 0$;

в) $y + \frac{9}{y} \ge 6$, если $y > 0$;

г) $n + \frac{16}{n} \le -8$, если $n < 0$.

а) Чтобы доказать неравенство $\frac{a^2 + b^2}{2ab} \geq 1$ при условии $ab > 0$, выполним следующие преобразования.
Поскольку по условию $ab > 0$, то и знаменатель $2ab$ также положителен. Следовательно, мы можем умножить обе части неравенства на $2ab$, сохранив знак неравенства:
$a^2 + b^2 \geq 2ab$
Перенесем все члены в левую часть неравенства:
$a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$
Выражение в левой части представляет собой формулу квадрата разности:
$(a - b)^2 \geq 0$
Квадрат любого действительного числа всегда является неотрицательной величиной (т.е. больше или равен нулю). Таким образом, последнее неравенство верно для любых $a$ и $b$. Поскольку все преобразования были равносильными, исходное неравенство также верно при заданном условии.
Ответ: Что и требовалось доказать.

б) Чтобы доказать неравенство $25r + \frac{1}{r} \leq -10$ при условии $r < 0$, выполним преобразования.
Поскольку по условию $r < 0$, при умножении обеих частей неравенства на $r$ необходимо изменить знак неравенства на противоположный:
$r \cdot (25r + \frac{1}{r}) \geq r \cdot (-10)$
$25r^2 + 1 \geq -10r$
Перенесем все члены в левую часть:
$25r^2 + 10r + 1 \geq 0$
Выражение в левой части является полным квадратом суммы:
$(5r + 1)^2 \geq 0$
Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, поэтому полученное неравенство верно для любого $r$. Так как все преобразования были равносильными (с учетом смены знака), исходное неравенство также верно при $r < 0$.
Ответ: Что и требовалось доказать.

в) Чтобы доказать неравенство $y + \frac{9}{y} \geq 6$ при условии $y > 0$, преобразуем его.
Поскольку по условию $y > 0$, мы можем умножить обе части неравенства на $y$, сохранив знак неравенства:
$y \cdot (y + \frac{9}{y}) \geq y \cdot 6$
$y^2 + 9 \geq 6y$
Перенесем все члены в левую часть:
$y^2 - 6y + 9 \geq 0$
В левой части находится формула квадрата разности:
$(y - 3)^2 \geq 0$
Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Следовательно, данное неравенство верно при любом $y$. Поскольку все преобразования были равносильными, исходное неравенство также верно при $y > 0$.
Ответ: Что и требовалось доказать.

г) Чтобы доказать неравенство $n + \frac{16}{n} \leq -8$ при условии $n < 0$, выполним преобразования.
Поскольку по условию $n < 0$, при умножении обеих частей неравенства на $n$ необходимо изменить знак неравенства на противоположный:
$n \cdot (n + \frac{16}{n}) \geq n \cdot (-8)$
$n^2 + 16 \geq -8n$
Перенесем все члены в левую часть:
$n^2 + 8n + 16 \geq 0$
Выражение в левой части является полным квадратом суммы:
$(n + 4)^2 \geq 0$
Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, поэтому полученное неравенство верно при любом $n$. Так как все преобразования были равносильными (с учетом смены знака), исходное неравенство также верно при $n < 0$.
Ответ: Что и требовалось доказать.

35.45 a) $\frac{p}{q} + \frac{q}{p} \le -2$, если $pq < 0$;

б) $\frac{(m+n)^2}{2} \le m^2 + n^2$.

а) Чтобы доказать неравенство $\frac{p}{q} + \frac{q}{p} \le -2$ при условии $pq < 0$, выполним следующие преобразования.

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $pq$: $\frac{p^2}{pq} + \frac{q^2}{pq} \le -2$

$\frac{p^2 + q^2}{pq} \le -2$

По условию $pq < 0$, поэтому при умножении обеих частей неравенства на $pq$ знак неравенства изменится на противоположный: $p^2 + q^2 \ge -2pq$

Перенесем член $-2pq$ в левую часть неравенства: $p^2 + 2pq + q^2 \ge 0$

Свернем левую часть по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: $(p+q)^2 \ge 0$

Полученное неравенство является верным для любых действительных чисел $p$ и $q$, так как квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (больше либо равен нулю). Поскольку все выполненные преобразования были равносильными, исходное неравенство также верно.

Ответ: Неравенство доказано.

б) Чтобы доказать неравенство $\frac{(m+n)^2}{2} \le m^2 + n^2$, преобразуем его.

Умножим обе части неравенства на 2. Так как 2 - положительное число, знак неравенства не изменится: $(m+n)^2 \le 2(m^2 + n^2)$

Раскроем скобки в левой и правой частях неравенства: $m^2 + 2mn + n^2 \le 2m^2 + 2n^2$

Перенесем все члены в правую часть: $0 \le 2m^2 + 2n^2 - m^2 - 2mn - n^2$

Приведем подобные слагаемые в правой части: $0 \le m^2 - 2mn + n^2$

Свернем правую часть по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $0 \le (m-n)^2$

Данное неравенство справедливо для любых действительных чисел $m$ и $n$, поскольку квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Так как все преобразования были равносильными, то и исходное неравенство верно.

Ответ: Неравенство доказано.