Страница 201, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

36.1 Является ли решением неравенства $2a + 3 > 7a - 17$ значение $a$, равное:

а) 2;

б) 6,5;

в) $-\sqrt{2};

г) $\sqrt{18}?$

Для того чтобы определить, является ли указанное значение переменной $a$ решением неравенства, сначала решим это неравенство относительно $a$.

$2a + 3 > 7a - 17$

Перенесем слагаемые, содержащие переменную, в одну часть, а свободные члены — в другую. Чтобы коэффициент при $a$ остался положительным, перенесем $2a$ вправо, а $-17$ влево:

$3 + 17 > 7a - 2a$

Упростим обе части:

$20 > 5a$

Разделим обе части неравенства на 5. Так как 5 — положительное число, знак неравенства сохраняется:

$4 > a$

Это неравенство можно записать как $a < 4$. Таким образом, решением являются все значения $a$, которые строго меньше 4. Теперь проверим каждое из предложенных значений на соответствие этому условию.

а) $a = 2$
Проверяем условие: $2 < 4$. Это верное неравенство. Значит, $a=2$ является решением.
Ответ: да.

б) $a = 6,5$
Проверяем условие: $6,5 < 4$. Это неверное неравенство. Значит, $a=6,5$ не является решением.
Ответ: нет.

в) $a = -\sqrt{2}$
Проверяем условие: $-\sqrt{2} < 4$. Любое отрицательное число меньше любого положительного, поэтому это неравенство верное. Значит, $a=-\sqrt{2}$ является решением.
Ответ: да.

г) $a = \sqrt{18}$
Проверяем условие: $\sqrt{18} < 4$. Чтобы сравнить эти два положительных числа, возведем их в квадрат: $(\sqrt{18})^2 = 18$ и $4^2 = 16$. Так как $18 > 16$, то и $\sqrt{18} > 4$. Следовательно, условие $\sqrt{18} < 4$ неверно. Значит, $a=\sqrt{18}$ не является решением.
Ответ: нет.

36.2 Какое из чисел $-1, 7, \sqrt{5}, \frac{3}{7}$ является решением неравенства $3x > x + 2$?

Для того чтобы определить, какое из предложенных чисел является решением неравенства, сначала необходимо решить само неравенство $3x > x + 2$.

1. Перенесем член, содержащий переменную $x$, из правой части неравенства в левую, изменив его знак на противоположный:

$3x - x > 2$

2. Приведем подобные слагаемые в левой части неравенства:

$2x > 2$

3. Разделим обе части неравенства на 2. Поскольку 2 — положительное число, знак неравенства сохраняется:

$x > 1$

Таким образом, решением данного неравенства является любое число, которое строго больше 1. Теперь проверим каждое из предложенных чисел на соответствие этому условию.

Число -1

Проверяем условие $x > 1$ для $x = -1$. Неравенство $-1 > 1$ является ложным. Следовательно, число -1 не является решением.

Число 7

Проверяем условие $x > 1$ для $x = 7$. Неравенство $7 > 1$ является истинным. Следовательно, число 7 является решением.

Число $\sqrt{5}$

Проверяем условие $x > 1$ для $x = \sqrt{5}$. Чтобы сравнить $\sqrt{5}$ и 1, можно сравнить их квадраты, так как оба числа положительные. $(\sqrt{5})^2 = 5$ и $1^2 = 1$. Поскольку $5 > 1$, то и $\sqrt{5} > 1$. Неравенство является истинным. Следовательно, число $\sqrt{5}$ также является решением.

Число $\frac{3}{7}$

Проверяем условие $x > 1$ для $x = \frac{3}{7}$. Дробь $\frac{3}{7}$ — правильная, ее числитель меньше знаменателя, поэтому ее значение меньше 1. Неравенство $\frac{3}{7} > 1$ является ложным. Следовательно, число $\frac{3}{7}$ не является решением.

Из всех предложенных вариантов два числа удовлетворяют условию $x > 1$.

Ответ: решением неравенства являются числа 7 и $\sqrt{5}$.

36.3 Найдите любые два решения неравенства $9x + 1 > 7x$.

36.3

Чтобы найти решения неравенства, сначала нужно его решить, то есть найти все значения переменной $x$, которые удовлетворяют этому неравенству.

Исходное неравенство: $9x + 1 > 7x$

Перенесем слагаемое $7x$ из правой части в левую, изменив его знак на противоположный. А слагаемое 1 перенесем из левой части в правую, также изменив его знак. $9x - 7x > -1$

Приведем подобные слагаемые в левой части: $2x > -1$

Теперь разделим обе части неравенства на 2. Так как 2 — это положительное число, знак неравенства при делении не меняется: $\frac{2x}{2} > \frac{-1}{2}$ $x > -0.5$

Решением неравенства является любое число, которое больше, чем $-0.5$. В задании требуется указать любые два таких числа.

Выберем два произвольных значения $x$, удовлетворяющих условию $x > -0.5$:

• Первое решение: пусть $x = 0$. Проверяем: $0 > -0.5$. Условие выполняется.
• Второе решение: пусть $x = 1$. Проверяем: $1 > -0.5$. Условие также выполняется.

Для проверки можно подставить эти значения в исходное неравенство:

• При $x=0$: $9 \cdot 0 + 1 > 7 \cdot 0 \implies 1 > 0$. Верно.
• При $x=1$: $9 \cdot 1 + 1 > 7 \cdot 1 \implies 10 > 7$. Верно.

Таким образом, числа 0 и 1 являются решениями данного неравенства.

Ответ: 0 и 1.

Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной прямой:

36.4 а) $x + 1 > 0$;

б) $x - 3 \le 0$;

в) $x + 2,5 < 0$;

г) $x - 7 \ge 0$.

а) Дано неравенство $x + 1 > 0$.

Для его решения перенесем число 1 в правую часть, изменив его знак на противоположный:

$x > -1$

Множеством решений являются все числа, строго большие -1. В виде интервала это записывается как $(-1; +\infty)$.

Изобразим множество решений на координатной прямой. Так как неравенство строгое (знак $>$), точка -1 не входит в решение и обозначается "выколотым" (пустым) кружком. Решением является область справа от -1.

Ответ: $x \in (-1; +\infty)$

б) Дано неравенство $x - 3 \le 0$.

Для его решения перенесем число -3 в правую часть, изменив его знак на противоположный:

$x \le 3$

Множеством решений являются все числа, меньшие или равные 3. В виде интервала это записывается как $(-\infty; 3]$.

Изобразим множество решений на координатной прямой. Так как неравенство нестрогое (знак $\le$), точка 3 входит в решение и обозначается закрашенным кружком. Решением является область слева от 3, включая саму точку.

Ответ: $x \in (-\infty; 3]$

в) Дано неравенство $x + 2,5 < 0$.

Для его решения перенесем число 2,5 в правую часть, изменив его знак на противоположный:

$x < -2,5$

Множеством решений являются все числа, строго меньшие -2,5. В виде интервала это записывается как $(-\infty; -2,5)$.

Изобразим множество решений на координатной прямой. Так как неравенство строгое (знак <), точка -2,5 не входит в решение и обозначается "выколотым" кружком. Решением является область слева от -2,5.

Ответ: $x \in (-\infty; -2,5)$

г) Дано неравенство $x - 7 \ge 0$.

Для его решения перенесем число -7 в правую часть, изменив его знак на противоположный:

$x \ge 7$

Множеством решений являются все числа, большие или равные 7. В виде интервала это записывается как $[7; +\infty)$.

Изобразим множество решений на координатной прямой. Так как неравенство нестрогое (знак $\ge$), точка 7 входит в решение и обозначается закрашенным кружком. Решением является область справа от 7, включая саму точку.

Ответ: $x \in [7; +\infty)$

36.5 a) $2x \ge 8$;

б) $4x < 12$;

в) $5x > 25$;

г) $7x \le 42$.

а) Решим неравенство $2x \ge 8$.

Чтобы найти $x$, нужно разделить обе части неравенства на коэффициент при $x$, то есть на 2. Так как мы делим на положительное число (2 > 0), знак неравенства не меняется.

$ \frac{2x}{2} \ge \frac{8}{2} $

$ x \ge 4 $

Решением является числовой промежуток $[4; +\infty)$.

Ответ: $x \ge 4$

б) Решим неравенство $4x < 12$.

Разделим обе части неравенства на 4. Знак неравенства не меняется, так как 4 - положительное число.

$ \frac{4x}{4} < \frac{12}{4} $

$ x < 3 $

Решением является числовой промежуток $(-\infty; 3)$.

Ответ: $x < 3$

в) Решим неравенство $5x > 25$.

Разделим обе части неравенства на 5. Так как 5 > 0, знак неравенства сохраняется.

$ \frac{5x}{5} > \frac{25}{5} $

$ x > 5 $

Решением является числовой промежуток $(5; +\infty)$.

Ответ: $x > 5$

г) Решим неравенство $7x \le 42$.

Разделим обе части неравенства на 7. Знак неравенства не меняется, потому что 7 - положительное число.

$ \frac{7x}{7} \le \frac{42}{7} $

$ x \le 6 $

Решением является числовой промежуток $(-\infty; 6]$.

Ответ: $x \le 6$

36.6 а) $11x > -33$;

б) $-8x \ge 24$;

в) $-6x > -12$;

г) $13x \le -65$.

а) Решим неравенство $11x > -33$.

Для того чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на 11. Так как 11 — положительное число, знак неравенства `>` сохраняется.

$ \frac{11x}{11} > \frac{-33}{11} $

$ x > -3 $

Ответ: $x > -3$.

б) Решим неравенство $-8x \geq 24$.

Разделим обе части неравенства на -8. При делении на отрицательное число знак неравенства $\geq$ необходимо изменить на противоположный, то есть на $\leq$.

$ \frac{-8x}{-8} \leq \frac{24}{-8} $

$ x \leq -3 $

Ответ: $x \leq -3$.

в) Решим неравенство $-6x > -12$.

Разделим обе части неравенства на -6. Так как мы делим на отрицательное число, знак неравенства `>` меняется на `<`.

$ \frac{-6x}{-6} < \frac{-12}{-6} $

$ x < 2 $

Ответ: $x < 2$.

г) Решим неравенство $13x \leq -65$.

Разделим обе части неравенства на 13. Поскольку 13 — это положительное число, знак неравенства $\leq$ не изменяется.

$ \frac{13x}{13} \leq \frac{-65}{13} $

$ x \leq -5 $

Ответ: $x \leq -5$.

36.7 a) $3x + 2 > 0;$

б) $-5x - 1 \leq 0;$

в) $4x - 5 < 0;$

г) $-6x + 12 \geq 0.$

а) $3x + 2 > 0$

Для решения данного линейного неравенства необходимо изолировать переменную $x$. Сначала перенесем свободный член (2) из левой части в правую, при этом изменив его знак на противоположный:

$3x > -2$

Теперь разделим обе части неравенства на коэффициент при $x$, то есть на 3. Так как мы делим на положительное число, знак неравенства $(>)$ сохраняется:

$x > -\frac{2}{3}$

Множество решений можно записать в виде числового промежутка.

Ответ: $x \in (-\frac{2}{3}; +\infty)$

б) $-5x - 1 \le 0$

Перенесем свободный член (-1) в правую часть неравенства, изменив его знак:

$-5x \le 1$

Разделим обе части неравенства на коэффициент при $x$, то есть на -5. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (знак $\le$ меняется на $\ge$):

$x \ge \frac{1}{-5}$

$x \ge -\frac{1}{5}$

Запишем решение в виде числового промежутка.

Ответ: $x \in [-\frac{1}{5}; +\infty)$

в) $4x - 5 < 0$

Перенесем свободный член (-5) из левой части в правую, изменив его знак:

$4x < 5$

Разделим обе части неравенства на положительный коэффициент 4. Знак неравенства $(<)$ при этом не меняется:

$x < \frac{5}{4}$

Это неравенство можно также записать в виде десятичной дроби $x < 1.25$. Представим решение в виде интервала.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{5}{4})$

г) $-6x + 12 \ge 0$

Перенесем число 12 в правую часть неравенства с противоположным знаком:

$-6x \ge -12$

Разделим обе части неравенства на отрицательный коэффициент -6. При этом знак неравенства $\ge$ необходимо поменять на противоположный, то есть на $\le$:

$x \le \frac{-12}{-6}$

$x \le 2$

Запишем множество решений в виде числового промежутка.

Ответ: $x \in (-\infty; 2]$

36.8 а) $2x + 3 \ge 7;$

б) $-3x + 4 < 13;$

в) $-5x - 1 > 24;$

г) $-x - 8 \le 19.$

а) $2x + 3 \geq 7$

Для решения данного линейного неравенства необходимо изолировать переменную $x$.

1. Вычтем 3 из обеих частей неравенства, чтобы перенести свободный член в правую часть:

$2x + 3 - 3 \geq 7 - 3$

$2x \geq 4$

2. Разделим обе части неравенства на коэффициент при $x$, то есть на 2. Поскольку 2 — положительное число, знак неравенства не изменяется:

$\frac{2x}{2} \geq \frac{4}{2}$

$x \geq 2$

Решение можно также представить в виде числового промежутка: $x \in [2, +\infty)$.

Ответ: $x \geq 2$.

б) $-3x + 4 < 13$

Решим это неравенство пошагово.

1. Перенесем 4 в правую часть, вычитая это число из обеих частей:

$-3x + 4 - 4 < 13 - 4$

$-3x < 9$

2. Разделим обе части на -3. Важно помнить, что при делении или умножении обеих частей неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный (в данном случае знак «меньше» < меняется на знак «больше» $>$):

$\frac{-3x}{-3} > \frac{9}{-3}$

$x > -3$

Решение в виде числового промежутка: $x \in (-3, +\infty)$.

Ответ: $x > -3$.

в) $-5x - 1 > 24$

Выполним следующие действия для нахождения решения.

1. Прибавим 1 к обеим частям неравенства, чтобы перенести свободный член в правую часть:

$-5x - 1 + 1 > 24 + 1$

$-5x > 25$

2. Разделим обе части на -5. Так как мы делим на отрицательное число, знак неравенства «больше» $>$ меняется на знак «меньше» <:

$\frac{-5x}{-5} < \frac{25}{-5}$

$x < -5$

Решение в виде числового промежутка: $x \in (-\infty, -5)$.

Ответ: $x < -5$.

г) $-x - 8 \leq 19$

Найдем решение этого неравенства.

1. Прибавим 8 к обеим частям, чтобы переместить свободный член вправо:

$-x - 8 + 8 \leq 19 + 8$

$-x \leq 27$

2. Умножим обе части неравенства на -1. Это эквивалентно делению на -1. Знак неравенства «меньше или равно» $\leq$ изменится на «больше или равно» $\geq$:

$(-x) \cdot (-1) \geq 27 \cdot (-1)$

$x \geq -27$

Решение в виде числового промежутка: $x \in [-27, +\infty)$.

Ответ: $x \geq -27$.

36.9 а) $5(x + 2) \ge 4;$

б) $-2(x - 3) \le 5;$

в) $6(x - 1) \le 11;$

г) $-3(x + 4) \ge -2.$

а)

Решим линейное неравенство $5(x + 2) \ge 4$.

Сначала раскроем скобки в левой части:

$5 \cdot x + 5 \cdot 2 \ge 4$

$5x + 10 \ge 4$

Теперь перенесем слагаемое 10 из левой части в правую, изменив его знак:

$5x \ge 4 - 10$

$5x \ge -6$

Разделим обе части неравенства на 5. Так как 5 - положительное число, знак неравенства сохраняется:

$x \ge -\frac{6}{5}$

Преобразуем дробь в десятичную:

$x \ge -1.2$

Решение можно записать в виде числового промежутка: $[-1.2; +\infty)$.

Ответ: $x \in [-1.2; +\infty)$.

б)

Решим неравенство $-2(x - 3) \le 5$.

Раскроем скобки, умножив -2 на каждый член в скобках:

$-2 \cdot x - 2 \cdot (-3) \le 5$

$-2x + 6 \le 5$

Перенесем 6 в правую часть с противоположным знаком:

$-2x \le 5 - 6$

$-2x \le -1$

Разделим обе части неравенства на -2. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (с $\le$ на $\ge$):

$x \ge \frac{-1}{-2}$

$x \ge 0.5$

Решение в виде числового промежутка: $[0.5; +\infty)$.

Ответ: $x \in [0.5; +\infty)$.

в)

Решим неравенство $6(x - 1) \le 11$.

Раскроем скобки в левой части:

$6x - 6 \le 11$

Перенесем -6 в правую часть, изменив знак:

$6x \le 11 + 6$

$6x \le 17$

Разделим обе части на 6. Знак неравенства не меняется:

$x \le \frac{17}{6}$

Выделим целую часть в дроби:

$x \le 2\frac{5}{6}$

Решение в виде числового промежутка: $(-\infty; 2\frac{5}{6}]$.

Ответ: $x \in (-\infty; 2\frac{5}{6}]$.

г)

Решим неравенство $-3(x + 4) \ge -2$.

Раскроем скобки:

$-3x - 12 \ge -2$

Перенесем -12 в правую часть с противоположным знаком:

$-3x \ge -2 + 12$

$-3x \ge 10$

Разделим обе части неравенства на -3. Так как мы делим на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный (с $\ge$ на $\le$):

$x \le \frac{10}{-3}$

$x \le - \frac{10}{3}$

Выделим целую часть:

$x \le -3\frac{1}{3}$

Решение в виде числового промежутка: $(-\infty; -3\frac{1}{3}]$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3\frac{1}{3}]$.

36.10 a) При каких значениях $a$ двучлен $5a - 3$ принимает положительные значения?

б) При каких значениях $b$ двучлен $23b + 11$ принимает отрицательные значения?

а) Чтобы двучлен $5a - 3$ принимал положительные значения, он должен быть строго больше нуля. Это условие можно записать в виде неравенства:

$5a - 3 > 0$

Для решения этого неравенства, сначала перенесем свободный член ($-3$) в правую часть, изменив его знак:

$5a > 3$

Теперь разделим обе части неравенства на коэффициент при переменной $a$, то есть на 5. Так как 5 - положительное число, знак неравенства не меняется:

$a > \frac{3}{5}$

Представим дробь в виде десятичного числа:

$a > 0.6$

Таким образом, двучлен принимает положительные значения при всех значениях $a$, больших 0.6.

Ответ: $a > 0.6$

б) Чтобы двучлен $23b + 11$ принимал отрицательные значения, он должен быть строго меньше нуля. Запишем это в виде неравенства:

$23b + 11 < 0$

Перенесем свободный член ($11$) в правую часть неравенства, изменив его знак:

$23b < -11$

Теперь разделим обе части неравенства на коэффициент при переменной $b$, то есть на 23. Так как 23 - положительное число, знак неравенства сохраняется:

$b < -\frac{11}{23}$

Таким образом, двучлен принимает отрицательные значения при всех значениях $b$, меньших $-\frac{11}{23}$.

Ответ: $b < -\frac{11}{23}$