Страница 197, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

35.25 Докажите, что если $n < -3$, то:

а) $\frac{n}{7} + \frac{2}{7} < -\frac{1}{7}$;

б) $\frac{n}{6} + \frac{2}{9} < -\frac{5}{18}$;

в) $\frac{n}{2} - \frac{3}{5} < -2\frac{1}{10}$;

г) $-\frac{n}{8} - \frac{1}{4} > \frac{1}{8}$.

а)

Используем исходное неравенство $n < -3$. Чтобы доказать, что $\frac{n}{7} + \frac{2}{7} < -\frac{1}{7}$, выполним следующие преобразования:
1. Разделим обе части неравенства $n < -3$ на 7. Знак неравенства не меняется, так как 7 > 0:
$\frac{n}{7} < -\frac{3}{7}$
2. Прибавим к обеим частям полученного неравенства $\frac{2}{7}$:
$\frac{n}{7} + \frac{2}{7} < -\frac{3}{7} + \frac{2}{7}$
3. Упростим правую часть:
$\frac{n}{7} + \frac{2}{7} < \frac{-3+2}{7}$
$\frac{n}{7} + \frac{2}{7} < -\frac{1}{7}$
Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.

б)

Используем исходное неравенство $n < -3$. Чтобы доказать, что $\frac{n}{6} + \frac{2}{9} < -\frac{5}{18}$, выполним следующие преобразования:
1. Разделим обе части неравенства $n < -3$ на 6. Знак неравенства не меняется:
$\frac{n}{6} < -\frac{3}{6}$
$\frac{n}{6} < -\frac{1}{2}$
2. Прибавим к обеим частям $\frac{2}{9}$:
$\frac{n}{6} + \frac{2}{9} < -\frac{1}{2} + \frac{2}{9}$
3. Приведем дроби в правой части к общему знаменателю 18 и упростим:
$\frac{n}{6} + \frac{2}{9} < -\frac{9}{18} + \frac{4}{18}$
$\frac{n}{6} + \frac{2}{9} < \frac{-9+4}{18}$
$\frac{n}{6} + \frac{2}{9} < -\frac{5}{18}$
Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.

в)

Используем исходное неравенство $n < -3$. Чтобы доказать, что $\frac{n}{2} - \frac{3}{5} < -2\frac{1}{10}$, выполним следующие преобразования. Сначала представим $-2\frac{1}{10}$ в виде неправильной дроби: $-2\frac{1}{10} = -\frac{21}{10}$.
1. Разделим обе части неравенства $n < -3$ на 2:
$\frac{n}{2} < -\frac{3}{2}$
2. Вычтем из обеих частей $\frac{3}{5}$:
$\frac{n}{2} - \frac{3}{5} < -\frac{3}{2} - \frac{3}{5}$
3. Приведем дроби в правой части к общему знаменателю 10 и упростим:
$\frac{n}{2} - \frac{3}{5} < -\frac{15}{10} - \frac{6}{10}$
$\frac{n}{2} - \frac{3}{5} < \frac{-15-6}{10}$
$\frac{n}{2} - \frac{3}{5} < -\frac{21}{10}$
Так как $-\frac{21}{10} = -2\frac{1}{10}$, неравенство доказано.

Ответ: доказано.

г)

Используем исходное неравенство $n < -3$. Чтобы доказать, что $-\frac{n}{8} - \frac{1}{4} > \frac{1}{8}$, выполним следующие преобразования:
1. Умножим обе части неравенства $n < -3$ на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$-n > 3$
2. Разделим обе части на 8:
$-\frac{n}{8} > \frac{3}{8}$
3. Вычтем из обеих частей $\frac{1}{4}$:
$-\frac{n}{8} - \frac{1}{4} > \frac{3}{8} - \frac{1}{4}$
4. Приведем дроби в правой части к общему знаменателю 8 и упростим:
$-\frac{n}{8} - \frac{1}{4} > \frac{3}{8} - \frac{2}{8}$
$-\frac{n}{8} - \frac{1}{4} > \frac{1}{8}$
Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.

35.26 Докажите, что:

а) если $a > 2, b > 3$, то $3a + 5b > 21$;

б) если $a < 2b, b < c$, то $2a < 4c$;

в) если $a > 3, b > 5$, то $2a + 4b > 26$;

г) если $a \ge 5b, b \ge 2c$, то $3a \ge 30c$.

а) Дано, что $a > 2$ и $b > 3$. Для доказательства неравенства $3a + 5b > 21$ воспользуемся свойствами числовых неравенств.
1. Умножим обе части неравенства $a > 2$ на положительное число 3. Знак неравенства при этом сохранится:
$a \cdot 3 > 2 \cdot 3 \implies 3a > 6$.
2. Умножим обе части неравенства $b > 3$ на положительное число 5. Знак неравенства также сохранится:
$b \cdot 5 > 3 \cdot 5 \implies 5b > 15$.
3. Теперь сложим почленно полученные неравенства $3a > 6$ и $5b > 15$. Так как оба неравенства одного знака (строго больше), их можно складывать:
$3a + 5b > 6 + 15$
$3a + 5b > 21$.
Таким образом, утверждение доказано.
Ответ: Доказано.

б) Дано, что $a < 2b$ и $b < c$. Необходимо доказать, что $2a < 4c$.
1. Умножим обе части неравенства $b < c$ на положительное число 2. Знак неравенства сохранится:
$2 \cdot b < 2 \cdot c \implies 2b < 2c$.
2. Теперь у нас есть два неравенства: $a < 2b$ (из условия) и $2b < 2c$ (полученное).
3. Согласно свойству транзитивности неравенств (если $x < y$ и $y < z$, то $x < z$), мы можем заключить:
$a < 2c$.
4. Умножим обе части полученного неравенства $a < 2c$ на положительное число 2:
$2 \cdot a < 2 \cdot (2c) \implies 2a < 4c$.
Утверждение доказано.
Ответ: Доказано.

в) Дано, что $a > 3$ и $b > 5$. Докажем, что $2a + 4b > 26$.
1. Умножим обе части неравенства $a > 3$ на положительное число 2. Знак неравенства сохранится:
$a \cdot 2 > 3 \cdot 2 \implies 2a > 6$.
2. Умножим обе части неравенства $b > 5$ на положительное число 4. Знак неравенства сохранится:
$b \cdot 4 > 5 \cdot 4 \implies 4b > 20$.
3. Сложим почленно полученные неравенства $2a > 6$ и $4b > 20$:
$2a + 4b > 6 + 20$
$2a + 4b > 26$.
Утверждение доказано.
Ответ: Доказано.

г) Дано, что $a \ge 5b$ и $b \ge 2c$. Требуется доказать, что $3a \ge 30c$.
1. Воспользуемся свойством транзитивности для нестрогих неравенств. Сначала подставим второе неравенство в первое. Так как $b \ge 2c$, то $5b \ge 5 \cdot (2c) = 10c$.
2. Теперь у нас есть два неравенства: $a \ge 5b$ и $5b \ge 10c$.
3. По свойству транзитивности (если $x \ge y$ и $y \ge z$, то $x \ge z$), получаем:
$a \ge 10c$.
4. Умножим обе части полученного неравенства $a \ge 10c$ на положительное число 3. Знак неравенства не изменится:
$3 \cdot a \ge 3 \cdot (10c)$
$3a \ge 30c$.
Утверждение доказано.
Ответ: Доказано.

35.27 Верно ли, что:

а) если $a > 3$, $b > 5$, то $ab > 15$;

б) если $a < 2$, $b < 3$, то $ab < 6$;

в) если $a > 4$, то $a^2 > 16$;

г) если $a < 6$, то $a^2 < 36$?

а) если $a > 3$, $b > 5$, то $ab > 15$;

Данное утверждение верно. По условию заданы два неравенства: $a > 3$ и $b > 5$. Из этих условий следует, что числа $a$ и $b$ являются положительными, так как они больше положительных чисел 3 и 5. Согласно свойству числовых неравенств, если обе части двух неравенств одного знака положительны, то их можно почленно перемножить, при этом знак неравенства сохранится.

Перемножим левые и правые части неравенств: $a \cdot b > 3 \cdot 5$ $ab > 15$

Таким образом, из $a > 3$ и $b > 5$ действительно следует, что $ab > 15$.

Ответ: верно.

б) если $a < 2$, $b < 3$, то $ab < 6$;

Данное утверждение неверно. Свойство почленного умножения неравенств справедливо только в том случае, если все части неравенств являются положительными числами. В данном случае $a$ и $b$ могут быть отрицательными, что может привести к нарушению итогового неравенства.

Чтобы доказать ложность утверждения, достаточно привести один контрпример. Возьмем отрицательные значения для $a$ и $b$, удовлетворяющие начальным условиям.

Пусть $a = -3$ и $b = -4$. Проверим начальные условия: $-3 < 2$ (верно) $-4 < 3$ (верно)

Теперь вычислим произведение $ab$: $ab = (-3) \cdot (-4) = 12$

Проверим конечное утверждение: $12 < 6$ (неверно)

Поскольку мы нашли контрпример, исходное утверждение является ложным.

Ответ: неверно.

в) если $a > 4$, то $a^2 > 16$;

Данное утверждение верно. Из условия $a > 4$ следует, что $a$ — положительное число. Для неравенств, обе части которых положительны, можно выполнить операцию возведения в квадрат, сохранив знак неравенства.

Возведем обе части неравенства $a > 4$ в квадрат: $a^2 > 4^2$ $a^2 > 16$

Также можно отметить, что функция $f(x) = x^2$ является строго возрастающей для всех $x > 0$. Так как $a > 4$, и оба числа находятся в области возрастания функции, то из $a > 4$ следует $f(a) > f(4)$, то есть $a^2 > 16$.

Ответ: верно.

г) если $a < 6$, то $a^2 < 36$?

Данное утверждение неверно. Условие $a < 6$ допускает, что $a$ может быть отрицательным числом. Функция $f(x) = x^2$ не является монотонной на всей числовой оси (она убывает при $x < 0$ и возрастает при $x > 0$), поэтому простое возведение в квадрат частей неравенства недопустимо без дополнительного анализа.

Рассмотрим контрпример. Выберем значение $a$, удовлетворяющее условию $a < 6$, но такое, чтобы его квадрат не был меньше 36.

Пусть $a = -7$. Проверим начальное условие: $-7 < 6$ (верно)

Теперь вычислим квадрат $a$: $a^2 = (-7)^2 = 49$

Проверим конечное утверждение: $49 < 36$ (неверно)

Неравенство $a^2 < 36$ равносильно $|a| < 6$, что означает $-6 < a < 6$. Условие $a < 6$ является более широким и включает значения, для которых $|a| \ge 6$ (например, $a = -6, a = -7$ и т.д.), поэтому утверждение неверно.

Ответ: неверно.

35.28 Верно ли, что:

а) если $a > 1$, то $\frac{6}{a} < 6$;

б) если $a < 2$, то $\frac{4}{a} > 2$;

в) если $a < 5$, то $\frac{15}{a} > 3$;

г) если $a > 7$, то $\frac{14}{a} < 2?

а) Дано условие $a > 1$. Это означает, что $a$ является положительным числом. Рассмотрим неравенство, истинность которого нужно проверить: $\frac{6}{a} < 6$. Поскольку $a$ — положительное число ($a > 1 > 0$), мы можем умножить обе части неравенства на $a$, при этом знак неравенства не изменится: $a \cdot \frac{6}{a} < 6 \cdot a$ $6 < 6a$ Теперь разделим обе части на 6. Так как 6 — положительное число, знак неравенства снова не изменится: $\frac{6}{6} < \frac{6a}{6}$ $1 < a$ Мы получили исходное условие $a > 1$. Так как преобразования были равносильными, исходное утверждение верно.

Ответ: Верно.

б) Дано условие $a < 2$. В отличие от предыдущего пункта, здесь $a$ может быть как положительным, так и отрицательным (или равным нулю, но в знаменателе ноль быть не может). Рассмотрим неравенство $\frac{4}{a} > 2$. Чтобы проверить, верно ли утверждение, попробуем найти контрпример. Выберем такое значение $a$, которое удовлетворяет условию $a < 2$, но для которого неравенство $\frac{4}{a} > 2$ не выполняется. Рассмотрим случай, когда $a$ — отрицательное число. Например, пусть $a = -1$. Условие $a < 2$ выполняется, так как $-1 < 2$. Подставим $a = -1$ в проверяемое неравенство: $\frac{4}{-1} > 2$ $-4 > 2$ Полученное неравенство ложно. Так как мы нашли хотя бы одно значение $a$, при котором условие выполняется, а заключение — нет, то всё утверждение является неверным.

Ответ: Неверно.

в) Дано условие $a < 5$. Как и в пункте б), $a$ может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Рассмотрим неравенство $\frac{15}{a} > 3$. Проверим утверждение, подобрав контрпример. Возьмем отрицательное значение $a$, например, $a = -1$. Условие $a < 5$ выполняется, так как $-1 < 5$. Подставим $a = -1$ в неравенство $\frac{15}{a} > 3$: $\frac{15}{-1} > 3$ $-15 > 3$ Это неравенство очевидно ложно. Таким образом, утверждение неверно. Стоит отметить, что если бы было дано дополнительное условие $a > 0$, то утверждение было бы верным, так как из $0 < a < 5$ следовало бы, что $\frac{15}{a} > \frac{15}{5}$, то есть $\frac{15}{a} > 3$.

Ответ: Неверно.

г) Дано условие $a > 7$. Из этого следует, что $a$ — положительное число. Рассмотрим неравенство $\frac{14}{a} < 2$. Так как $a > 7$, то $a$ строго положительно. Мы можем умножить обе части неравенства на $a$, сохранив знак неравенства: $a \cdot \frac{14}{a} < 2 \cdot a$ $14 < 2a$ Теперь разделим обе части на положительное число 2, знак неравенства также не изменится: $\frac{14}{2} < \frac{2a}{2}$ $7 < a$ Полученное неравенство $a > 7$ полностью совпадает с исходным условием. Следовательно, утверждение верно.

Ответ: Верно.

35.29 Известно, что $k > 3, l > 7$. Оцените значение выражения:

а) $2k + 3l$;

б) $-k - l$;

в) $k + 1.5l$;

г) $-4k - 5l$.

Для решения этой задачи мы будем использовать свойства числовых неравенств. Нам даны два исходных неравенства: $k > 3$ и $l > 7$.

а) $2k + 3l$

1. Умножим обе части неравенства $k > 3$ на положительное число 2. Знак неравенства при этом не изменится:
$2 \cdot k > 2 \cdot 3$
$2k > 6$
2. Умножим обе части неравенства $l > 7$ на положительное число 3. Знак неравенства также не изменится:
$3 \cdot l > 3 \cdot 7$
$3l > 21$
3. Теперь сложим почленно полученные неравенства $2k > 6$ и $3l > 21$, так как они одного знака:
$2k + 3l > 6 + 21$
$2k + 3l > 27$
Ответ: $2k + 3l > 27$

б) $-k - l$

Это выражение можно представить как сумму $(-k) + (-l)$.
1. Умножим обе части неравенства $k > 3$ на отрицательное число -1. Знак неравенства при этом изменится на противоположный:
$-1 \cdot k < -1 \cdot 3$
$-k < -3$
2. Умножим обе части неравенства $l > 7$ на отрицательное число -1. Знак неравенства также изменится на противоположный:
$-1 \cdot l < -1 \cdot 7$
$-l < -7$
3. Сложим почленно полученные неравенства $-k < -3$ и $-l < -7$, так как они одного знака:
$-k + (-l) < -3 + (-7)$
$-k - l < -10$
Ответ: $-k - l < -10$

в) $k + 1,5l$

1. Первое неравенство у нас уже есть: $k > 3$.
2. Умножим обе части неравенства $l > 7$ на положительное число 1,5. Знак неравенства не изменится:
$1,5 \cdot l > 1,5 \cdot 7$
$1,5l > 10,5$
3. Сложим почленно неравенства $k > 3$ и $1,5l > 10,5$:
$k + 1,5l > 3 + 10,5$
$k + 1,5l > 13,5$
Ответ: $k + 1,5l > 13,5$

г) $-4k - 5l$

Это выражение можно представить как сумму $(-4k) + (-5l)$.
1. Умножим обе части неравенства $k > 3$ на отрицательное число -4. Знак неравенства изменится на противоположный:
$-4 \cdot k < -4 \cdot 3$
$-4k < -12$
2. Умножим обе части неравенства $l > 7$ на отрицательное число -5. Знак неравенства также изменится на противоположный:
$-5 \cdot l < -5 \cdot 7$
$-5l < -35$
3. Сложим почленно полученные неравенства $-4k < -12$ и $-5l < -35$:
$-4k + (-5l) < -12 + (-35)$
$-4k - 5l < -47$
Ответ: $-4k - 5l < -47$

35.30 Известно, что $p > 2$, $s < 5$. Оцените значение выражения:

а) $p - 2s$;

б) $4s - 2p$;

в) $s - 3p$;

г) $3p - 6s$.

а) Чтобы оценить выражение $p - 2s$, воспользуемся известными неравенствами.
Из условия мы знаем, что $p > 2$.
Также нам дано, что $s < 5$. Чтобы получить выражение $-2s$, умножим это неравенство на $-2$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$s \cdot (-2) > 5 \cdot (-2)$
$-2s > -10$
Теперь мы можем сложить два неравенства одного знака: $p > 2$ и $-2s > -10$.
$p + (-2s) > 2 + (-10)$
$p - 2s > -8$
Ответ: $p - 2s > -8$.

б) Чтобы оценить выражение $4s - 2p$, оценим сначала $4s$ и $-2p$ по отдельности.
Из условия $s < 5$. Умножим обе части на $4$ (положительное число), знак неравенства не изменится:
$4s < 4 \cdot 5$
$4s < 20$
Из условия $p > 2$. Умножим обе части на $-2$ (отрицательное число), знак неравенства изменится на противоположный:
$-2p < -2 \cdot 2$
$-2p < -4$
Теперь сложим полученные неравенства одного знака: $4s < 20$ и $-2p < -4$.
$4s + (-2p) < 20 + (-4)$
$4s - 2p < 16$
Ответ: $4s - 2p < 16$.

в) Чтобы оценить выражение $s - 3p$, нам нужно неравенство для $-3p$.
Мы знаем, что $s < 5$.
Из условия $p > 2$ следует, что при умножении на $-3$ знак неравенства изменится:
$-3p < -3 \cdot 2$
$-3p < -6$
Теперь сложим два неравенства с одинаковым знаком: $s < 5$ и $-3p < -6$.
$s + (-3p) < 5 + (-6)$
$s - 3p < -1$
Ответ: $s - 3p < -1$.

г) Чтобы оценить выражение $3p - 6s$, оценим $3p$ и $-6s$.
Из условия $p > 2$. Умножим на $3$, знак неравенства не изменится:
$3p > 3 \cdot 2$
$3p > 6$
Из условия $s < 5$. Умножим на $-6$, знак неравенства изменится на противоположный:
$-6s > -6 \cdot 5$
$-6s > -30$
Теперь сложим полученные неравенства с одинаковым знаком: $3p > 6$ и $-6s > -30$.
$3p + (-6s) > 6 + (-30)$
$3p - 6s > -24$
Ответ: $3p - 6s > -24$.

35.31 Известно, что $m > 1$, $n > 4$. Оцените значение выражения:

а) $m + n + 4;$

б) $12 - 4n - 3m;$

в) $3 - 2m - 5n;$

г) $7m + 6n + 1.$

Для решения задачи воспользуемся свойствами числовых неравенств. Нам даны два исходных неравенства: $m > 1$ и $n > 4$.

а) $m + n + 4$

Согласно свойству о сложении неравенств одного знака, мы можем сложить левые и правые части неравенств $m > 1$ и $n > 4$:

$m + n > 1 + 4$

$m + n > 5$

Теперь, согласно свойству о прибавлении числа к обеим частям неравенства, прибавим 4:

$(m + n) + 4 > 5 + 4$

$m + n + 4 > 9$

Ответ: $m + n + 4 > 9$.

б) $12 - 4n - 3m$

Сначала оценим выражение $3m + 4n$. Для этого умножим исходные неравенства на положительные коэффициенты 3 и 4 соответственно:

Из $m > 1$ следует, что $3m > 3 \cdot 1$, то есть $3m > 3$.

Из $n > 4$ следует, что $4n > 4 \cdot 4$, то есть $4n > 16$.

Сложим полученные неравенства:

$3m + 4n > 3 + 16$

$3m + 4n > 19$

Теперь преобразуем искомое выражение: $12 - 4n - 3m = 12 - (3m + 4n)$.

Так как $3m + 4n > 19$, то при умножении на -1 знак неравенства меняется на противоположный: $-(3m + 4n) < -19$.

Прибавим 12 к обеим частям последнего неравенства:

$12 - (3m + 4n) < 12 - 19$

$12 - 3m - 4n < -7$

Ответ: $12 - 4n - 3m < -7$.

в) $3 - 2m - 5n$

Оценим выражение $2m + 5n$. Умножим исходные неравенства на 2 и 5:

Из $m > 1$ следует, что $2m > 2 \cdot 1$, то есть $2m > 2$.

Из $n > 4$ следует, что $5n > 5 \cdot 4$, то есть $5n > 20$.

Сложим их:

$2m + 5n > 2 + 20$

$2m + 5n > 22$

Преобразуем выражение: $3 - 2m - 5n = 3 - (2m + 5n)$.

Так как $2m + 5n > 22$, то $-(2m + 5n) < -22$.

Прибавим 3 к обеим частям:

$3 - (2m + 5n) < 3 - 22$

$3 - 2m - 5n < -19$

Ответ: $3 - 2m - 5n < -19$.

г) $7m + 6n + 1$

Оценим сумму $7m + 6n$. Умножим исходные неравенства на 7 и 6:

Из $m > 1$ следует, что $7m > 7 \cdot 1$, то есть $7m > 7$.

Из $n > 4$ следует, что $6n > 6 \cdot 4$, то есть $6n > 24$.

Сложим полученные неравенства:

$7m + 6n > 7 + 24$

$7m + 6n > 31$

Прибавим 1 к обеим частям:

$(7m + 6n) + 1 > 31 + 1$

$7m + 6n + 1 > 32$

Ответ: $7m + 6n + 1 > 32$.

35.32 Известно, что $x > 6, y < 12$. Оцените значение выражения:

а) $x - 5 - 2y$;

б) $14 - 2x + 3y$;

в) $5x - y + 10$;

г) $16 - 3y + 4x$.

а) Для оценки выражения $x - 5 - 2y$, используя исходные неравенства $x > 6$ и $y < 12$, выполним следующие действия:

1. Оценим слагаемое $-2y$. Для этого умножим обе части неравенства $y < 12$ на $-2$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$-2 \cdot y > -2 \cdot 12$

$-2y > -24$

2. Теперь у нас есть два неравенства, направленные в одну сторону: $x > 6$ и $-2y > -24$. Мы можем их почленно сложить:

$x + (-2y) > 6 + (-24)$

$x - 2y > -18$

3. Наконец, вычтем 5 из обеих частей полученного неравенства:

$(x - 2y) - 5 > -18 - 5$

$x - 5 - 2y > -23$

Ответ: $x - 5 - 2y > -23$.

б) Для оценки выражения $14 - 2x + 3y$ при $x > 6$ и $y < 12$:

1. Оценим слагаемое $-2x$. Умножим неравенство $x > 6$ на $-2$, изменив знак неравенства на противоположный:

$-2x < -2 \cdot 6$

$-2x < -12$

2. Оценим слагаемое $3y$. Умножим неравенство $y < 12$ на $3$. Знак неравенства не меняется, так как множитель положителен:

$3y < 3 \cdot 12$

$3y < 36$

3. Теперь сложим два полученных неравенства одного знака: $-2x < -12$ и $3y < 36$.

$-2x + 3y < -12 + 36$

$-2x + 3y < 24$

4. Прибавим 14 к обеим частям:

$14 + (-2x + 3y) < 14 + 24$

$14 - 2x + 3y < 38$

Ответ: $14 - 2x + 3y < 38$.

в) Для оценки выражения $5x - y + 10$ при $x > 6$ и $y < 12$:

1. Оценим $5x$. Умножим неравенство $x > 6$ на $5$:

$5x > 5 \cdot 6$

$5x > 30$

2. Оценим $-y$. Умножим неравенство $y < 12$ на $-1$ и поменяем знак неравенства:

$-y > -12$

3. Сложим неравенства $5x > 30$ и $-y > -12$:

$5x + (-y) > 30 + (-12)$

$5x - y > 18$

4. Прибавим 10 к обеим частям:

$(5x - y) + 10 > 18 + 10$

$5x - y + 10 > 28$

Ответ: $5x - y + 10 > 28$.

г) Для оценки выражения $16 - 3y + 4x$ при $x > 6$ и $y < 12$:

1. Оценим $4x$. Умножим неравенство $x > 6$ на $4$:

$4x > 4 \cdot 6$

$4x > 24$

2. Оценим $-3y$. Умножим неравенство $y < 12$ на $-3$, изменив знак на противоположный:

$-3y > -3 \cdot 12$

$-3y > -36$

3. Сложим полученные неравенства $4x > 24$ и $-3y > -36$:

$4x + (-3y) > 24 + (-36)$

$4x - 3y > -12$

4. Прибавим 16 к обеим частям. Для наглядности можно переписать исходное выражение как $4x - 3y + 16$:

$(4x - 3y) + 16 > -12 + 16$

$16 - 3y + 4x > 4$

Ответ: $16 - 3y + 4x > 4$.

35.33 Подберите какое-либо число, которое было бы больше числа $a$ и меньше числа $b$. Полученное утверждение запишите в виде двойного неравенства:

а) $a = 3, b = 8;$

б) $a = -5, b = -3;$

в) $a = -2.5, b = 7.8;$

г) $a = -6, b = -2.$

а) Даны числа $a = 3$ и $b = 8$. Необходимо найти число $x$, которое удовлетворяет двойному неравенству $a < x < b$. Подставив значения $a$ и $b$, получим $3 < x < 8$. Мы можем выбрать любое число, находящееся в этом промежутке. Например, возьмем целое число 5. Проверим: $3 < 5$ (верно) и $5 < 8$ (верно). Таким образом, число 5 удовлетворяет условию.
Ответ: $3 < 5 < 8$.

б) Даны числа $a = -5$ и $b = -3$. Искомое число $x$ должно удовлетворять неравенству $-5 < x < -3$. Между числами -5 и -3 на числовой прямой находится, например, число -4. Проверим: $-5 < -4$ (верно, так как -4 находится правее -5 на числовой оси) и $-4 < -3$ (верно, так как -4 находится левее -3). Следовательно, число -4 подходит.
Ответ: $-5 < -4 < -3$.

в) Даны числа $a = -2,5$ и $b = 7,8$. Нужно найти число $x$, такое что $-2,5 < x < 7,8$. В этот интервал попадает множество чисел, включая целые, дробные, положительные, отрицательные и ноль. В качестве примера можно взять число 0. Проверим: $-2,5 < 0$ (верно) и $0 < 7,8$ (верно). Число 0 удовлетворяет условию.
Ответ: $-2,5 < 0 < 7,8$.

г) Даны числа $a = -6$ и $b = -2$. Искомое число $x$ должно находиться в интервале $-6 < x < -2$. Выберем любое число из этого промежутка, например, -3. Проверим: $-6 < -3$ (верно) и $-3 < -2$ (верно). Условие выполняется.
Ответ: $-6 < -3 < -2$.

35.34 Известно, что $10 < a < 16$. Оцените значение выражения:

а) $0,5a$;

б) $a - 16$;

в) $-3a$;

г) $2a + 1$.

а)

Чтобы оценить значение выражения $0.5a$, необходимо все части исходного двойного неравенства $10 < a < 16$ умножить на $0.5$.

Поскольку мы умножаем на положительное число ($0.5 > 0$), знаки неравенства сохраняются:

$10 \cdot 0.5 < a \cdot 0.5 < 16 \cdot 0.5$

Выполняем вычисления:

$5 < 0.5a < 8$

Ответ: $5 < 0.5a < 8$

б)

Чтобы оценить значение выражения $a - 16$, необходимо из всех частей исходного неравенства $10 < a < 16$ вычесть $16$.

При сложении или вычитании числа знаки неравенства сохраняются:

$10 - 16 < a - 16 < 16 - 16$

Выполняем вычисления:

$-6 < a - 16 < 0$

Ответ: $-6 < a - 16 < 0$

в)

Чтобы оценить значение выражения $-3a$, необходимо все части исходного неравенства $10 < a < 16$ умножить на $-3$.

Поскольку мы умножаем на отрицательное число ($-3 < 0$), знаки неравенства меняются на противоположные:

$10 \cdot (-3) > a \cdot (-3) > 16 \cdot (-3)$

Выполняем вычисления:

$-30 > -3a > -48$

Для удобства принято записывать двойные неравенства в порядке возрастания чисел, поэтому поменяем местами левую и правую части, изменив знаки неравенства еще раз:

$-48 < -3a < -30$

Ответ: $-48 < -3a < -30$

г)

Оценка выражения $2a + 1$ выполняется в два шага. Сначала оценим $2a$, а затем $2a+1$.

1. Умножим все части исходного неравенства $10 < a < 16$ на $2$. Так как $2 > 0$, знаки неравенства сохраняются:

$10 \cdot 2 < a \cdot 2 < 16 \cdot 2$

$20 < 2a < 32$

2. Теперь к каждой части полученного неравенства $20 < 2a < 32$ прибавим $1$. Знаки неравенства сохраняются:

$20 + 1 < 2a + 1 < 32 + 1$

Выполняем вычисления:

$21 < 2a + 1 < 33$

Ответ: $21 < 2a + 1 < 33$