Страница 195, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. Сформулируйте свойства числовых неравенств и запишите их на математическом языке.

Свойство 1 (Антисимметричность)

Если число a больше числа b, то число b меньше числа a. И наоборот, если a меньше b, то b больше a.

На математическом языке: если $a > b$, то $b < a$.

Ответ: Если $a > b$, то $b < a$.

Свойство 2 (Транзитивность)

Если число a больше числа b, а число b больше числа c, то число a больше числа c.

На математическом языке: если $a > b$ и $b > c$, то $a > c$.

Ответ: Если $a > b$ и $b > c$, то $a > c$.

Свойство 3 (Прибавление числа к неравенству)

Если к обеим частям верного неравенства прибавить (или из обеих частей вычесть) одно и то же число, то получится верное неравенство того же знака.

На математическом языке: если $a > b$, то для любого числа $c$ справедливо неравенство $a + c > b + c$.

Ответ: Если $a > b$, то $a + c > b + c$ для любого $c$.

Свойство 4 (Умножение неравенства на число)

Если обе части верного неравенства умножить (или разделить) на одно и то же положительное число, то знак неравенства сохранится. Если обе части верного неравенства умножить (или разделить) на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.

На математическом языке:
- для любого $c > 0$: если $a > b$, то $ac > bc$.
- для любого $c < 0$: если $a > b$, то $ac < bc$.

Ответ: Если $a > b$ и $c > 0$, то $ac > bc$. Если $a > b$ и $c < 0$, то $ac < bc$.

Свойство 5 (Сложение неравенств)

При почленном сложении верных неравенств одного знака получается верное неравенство того же знака.

На математическом языке: если $a > b$ и $c > d$, то $a + c > b + d$.

Ответ: Если $a > b$ и $c > d$, то $a + c > b + d$.

Свойство 6 (Умножение неравенств)

При почленном умножении верных неравенств одного знака, левые и правые части которых являются положительными числами, получается верное неравенство того же знака.

На математическом языке: если $a > b > 0$ и $c > d > 0$, то $ac > bd$.

Ответ: Если $a, b, c, d$ — положительные числа, и $a > b$, $c > d$, то $ac > bd$.

Свойство 7 (Возведение в степень)

Если обе части верного неравенства — положительные числа, то при возведении их в одну и ту же натуральную степень $n$ знак неравенства сохраняется.

На математическом языке: если $a > b > 0$ и $n \in \mathbb{N}$, то $a^n > b^n$.

Ответ: Если $a > b > 0$ и $n \in \mathbb{N}$, то $a^n > b^n$.

Свойство 8 (Для обратных чисел)

Если обе части верного неравенства — положительные числа, то при замене их на обратные числа знак неравенства меняется на противоположный.

На математическом языке: если $a > b > 0$, то $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$.

Ответ: Если $a > b > 0$, то $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$.

2. Если $a > b$ и $b > c$, то какое из утверждений верно:

а) $a < c$;

б) $a > c$;

в) $a = c$?

Данная задача проверяет знание свойства транзитивности для строгих неравенств. Свойство транзитивности гласит, что если для трех чисел $a$, $b$ и $c$ выполняются неравенства $a > b$ и $b > c$, то из этого следует, что $a > c$.

Представим числа на числовой оси. Неравенство $a > b$ означает, что точка, соответствующая числу $a$, находится правее точки, соответствующей числу $b$. Аналогично, неравенство $b > c$ означает, что точка $b$ находится правее точки $c$.

Таким образом, мы имеем следующую последовательность расположения точек на оси (слева направо): сначала $c$, затем $b$, и затем $a$. Это наглядно показывает, что точка $a$ находится правее точки $c$, что соответствует неравенству $a > c$.

Проанализируем каждый из предложенных вариантов.

а) $a < c$

Данное утверждение противоречит свойству транзитивности. Если $a$ больше $b$, а $b$ больше $c$, то $a$ не может быть меньше $c$. Например, если $a=5$, $b=3$, $c=1$, то условие $a > b$ ($5 > 3$) и $b > c$ ($3 > 1$) выполнено, но утверждение $a < c$ ($5 < 1$) является ложным.

Ответ: неверно.

б) $a > c$

Это утверждение является прямым следствием свойства транзитивности для неравенств. Если $a$ больше $b$ и $b$ больше $c$, то $a$ обязательно будет больше $c$. Взяв тот же пример: $a=5$, $b=3$, $c=1$, мы видим, что $5 > 1$, то есть $a > c$ является истинным.

Ответ: верно.

в) $a = c$

Данное утверждение также неверно. Если предположить, что $a = c$, то из условия $b > c$ мы получим $b > a$. Однако, по второму условию, у нас $a > b$. Невозможно, чтобы одновременно выполнялись два противоположных строгих неравенства: $b > a$ и $a > b$. Следовательно, предположение $a=c$ приводит к противоречию.

Ответ: неверно.

3. Если $a > b$, то какое из утверждений верно:

а) $a + c < b + c$;

б) $a + c > b + c$;

в) $a + c = b + c$?

Для решения этой задачи необходимо использовать одно из ключевых свойств числовых неравенств. Свойство гласит: если к обеим частям верного неравенства прибавить (или из обеих частей вычесть) одно и то же число, то знак неравенства не изменится.

Исходное условие задачи — $a > b$. Нам нужно проверить, какое из предложенных утверждений является истинным на основе этого условия. Проанализируем каждый вариант.

а) $a + c < b + c$
Это утверждение неверно. Чтобы доказать это, можно вычесть из обеих частей неравенства число $c$. Знак неравенства при этом сохранится.
$(a + c) - c < (b + c) - c$
$a < b$
Полученное неравенство $a < b$ прямо противоречит исходному условию $a > b$.
Ответ: неверно.

б) $a + c > b + c$
Это утверждение верно. Возьмем исходное верное неравенство $a > b$. Согласно свойству неравенств, мы можем прибавить к обеим его частям одно и то же число $c$, и знак неравенства останется прежним.
$a + c > b + c$
Это в точности совпадает с утверждением из данного пункта.
Ответ: верно.

в) $a + c = b + c$
Это утверждение неверно. Если из обеих частей этого равенства вычесть число $c$, мы получим:
$(a + c) - c = (b + c) - c$
$a = b$
Полученное равенство $a = b$ противоречит исходному условию $a > b$.
Ответ: неверно.

Итак, единственное верное утверждение, которое следует из условия $a > b$, — это б) $a + c > b + c$.

4. Если $a > b$ и $m > 0$, то какое из утверждений верно:

а) $am < bm$;

б) $am > bm$;

в) $am = bm$?

По условию задачи мы имеем верное числовое неравенство $a > b$ и положительное число $m$, то есть $m > 0$.

Воспользуемся одним из основных свойств числовых неравенств: если обе части верного неравенства умножить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство того же знака.

Умножим обе части неравенства $a > b$ на положительное число $m$. Знак неравенства «больше» ($ > $) при этом не изменится.

$a \cdot m > b \cdot m$

Таким образом, мы получаем неравенство $am > bm$.

Теперь сравним полученный результат с предложенными вариантами:

а) $am < bm$ — это утверждение неверно. Знак неравенства должен был сохраниться, а не поменяться на противоположный.

б) $am > bm$ — это утверждение верно, так как оно полностью совпадает с результатом, полученным на основе свойств неравенств.

в) $am = bm$ — это утверждение неверно. Так как $m > 0$, равенство было бы возможно только при $a=b$, что противоречит условию $a > b$.

Для проверки можно взять конкретные числа. Например, пусть $a=5$, $b=3$ (верно, что $5>3$) и $m=2$ (верно, что $2>0$). Тогда $am = 5 \cdot 2 = 10$, а $bm = 3 \cdot 2 = 6$. Неравенство $10 > 6$ является верным, что соответствует варианту $am > bm$.

Ответ: б)

Сравните с нулем значение числового выражения:

35.7 а) $ (-1.21)^2 $;

б) $ (-3.41)^7 $;

в) $ (-5.74)^4 $;

г) $ (-9.85)^3 $.

Для того чтобы сравнить значение числового выражения с нулем, не вычисляя его, необходимо определить знак результата. Знак выражения, возводимого в степень, зависит от двух факторов: знака основания и четности показателя степени.

Существует простое правило:
1. Если отрицательное число возвести в четную степень (например, 2, 4, 6, ...), то результат всегда будет положительным числом, то есть больше нуля ($> 0$).
2. Если отрицательное число возвести в нечетную степень (например, 3, 5, 7, ...), то результат всегда будет отрицательным числом, то есть меньше нуля ($< 0$).

а) В выражении $(-1,21)^2$ основание степени $-1,21$ является отрицательным числом, а показатель степени $2$ — четным числом. При возведении отрицательного числа в четную степень результат всегда положителен. Следовательно, значение выражения больше нуля.
Ответ: $(-1,21)^2 > 0$.

б) В выражении $(-3,41)^7$ основание степени $-3,41$ является отрицательным числом, а показатель степени $7$ — нечетным числом. При возведении отрицательного числа в нечетную степень результат всегда отрицателен. Следовательно, значение выражения меньше нуля.
Ответ: $(-3,41)^7 < 0$.

в) В выражении $(-5,74)^4$ основание степени $-5,74$ является отрицательным числом, а показатель степени $4$ — четным числом. Возведение отрицательного числа в четную степень дает положительный результат. Следовательно, значение выражения больше нуля.
Ответ: $(-5,74)^4 > 0$.

г) В выражении $(-9,85)^3$ основание степени $-9,85$ является отрицательным числом, а показатель степени $3$ — нечетным числом. Возведение отрицательного числа в нечетную степень дает отрицательный результат. Следовательно, значение выражения меньше нуля.
Ответ: $(-9,85)^3 < 0$.

35.8 a) $-\frac{2}{5} \cdot (-45,14);$

б) $-2\frac{1}{4} \cdot 54,235;$

в) $-1,7 : \left( -\frac{12}{91} \right);$

г) $\frac{6}{17} \cdot (-21,489).$

а) Чтобы умножить обыкновенную дробь на десятичную, преобразуем один из множителей так, чтобы оба числа были одного вида. В данном случае удобнее представить обыкновенную дробь в виде десятичной.
$ - \frac{2}{5} = - \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 2} = - \frac{4}{10} = -0,4 $
Теперь выполним умножение. Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом.
$ -\frac{2}{5} \cdot (-45,14) = (-0,4) \cdot (-45,14) = 0,4 \cdot 45,14 $
Умножим числа:
$ 45,14 \cdot 0,4 = 18,056 $
Ответ: $18,056$.

б) Для выполнения умножения смешанного числа на десятичную дробь, представим смешанное число в виде десятичной дроби.
$ -2\frac{1}{4} = -(2 + \frac{1}{4}) = -(2 + 0,25) = -2,25 $
Произведение отрицательного и положительного чисел является отрицательным числом. Найдем произведение их модулей:
$ 2,25 \cdot 54,235 = 122,02875 $
Поскольку один из множителей отрицательный, результат также будет отрицательным.
$ -2\frac{1}{4} \cdot 54,235 = -122,02875 $
Ответ: $-122,02875$.

в) Чтобы выполнить деление, представим десятичную дробь в виде обыкновенной неправильной дроби.
$ -1,7 = -1\frac{7}{10} = -\frac{17}{10} $
Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную (перевернутую) дробь. Результат деления двух отрицательных чисел будет положительным.
$ -1,7 : \left(-\frac{12}{91}\right) = \left(-\frac{17}{10}\right) : \left(-\frac{12}{91}\right) = \frac{17}{10} \cdot \frac{91}{12} $
Перемножим числители и знаменатели дробей:
$ \frac{17 \cdot 91}{10 \cdot 12} = \frac{1547}{120} $
Теперь выделим целую часть из неправильной дроби, разделив числитель на знаменатель:
$ 1547 : 120 = 12 $ с остатком $107$.
Таким образом, результат в виде смешанного числа:
$ \frac{1547}{120} = 12\frac{107}{120} $
Ответ: $12\frac{107}{120}$.

г) В данном примере, скорее всего, допущена опечатка в условии, так как число $21,489$ не делится нацело на $17$, что обычно предполагается в таких задачах для получения "красивого" ответа. Наиболее вероятным является число $-21,488$. Решим задачу с этим исправлением.
Предположим, что пример имеет вид: $\frac{6}{17} \cdot (-21,488)$.
Произведение положительного числа на отрицательное дает отрицательный результат.
Найдем произведение модулей. Для этого сначала разделим десятичную дробь на знаменатель $17$:
$ 21,488 : 17 = 1,264 $
Теперь умножим полученный результат на числитель $6$:
$ 1,264 \cdot 6 = 7,584 $
Так как исходные множители имели разные знаки, конечный ответ будет отрицательным.
$ \frac{6}{17} \cdot (-21,488) = -7,584 $
Ответ: $-7,584$ (при условии исправления опечатки в задании).

35.9 a) $ -\frac{2}{5}+\frac{3}{4}; $

б) $ 2,35-2\frac{1}{4}; $

в) $ \frac{5}{13}-\frac{1}{2}; $

г) $ -\frac{4}{11}+\frac{3}{7}. $

а) Чтобы сложить дроби $-\frac{2}{5}$ и $\frac{3}{4}$, нужно привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для чисел 5 и 4 равен их произведению, так как они являются взаимно простыми. НОЗ(5, 4) = $5 \times 4 = 20$.

Теперь приведем каждую дробь к знаменателю 20, умножив числитель и знаменатель на соответствующий дополнительный множитель.

Для дроби $-\frac{2}{5}$ дополнительный множитель равен $20 \div 5 = 4$:

$-\frac{2}{5} = -\frac{2 \times 4}{5 \times 4} = -\frac{8}{20}$

Для дроби $\frac{3}{4}$ дополнительный множитель равен $20 \div 4 = 5$:

$\frac{3}{4} = \frac{3 \times 5}{4 \times 5} = \frac{15}{20}$

Теперь выполним сложение полученных дробей:

$-\frac{8}{20} + \frac{15}{20} = \frac{-8 + 15}{20} = \frac{7}{20}$

Ответ: $\frac{7}{20}$

б) В выражении $2,35 - 2\frac{1}{4}$ представлены десятичная дробь и смешанное число. Для выполнения вычитания необходимо привести оба числа к единому виду. Удобнее всего перевести смешанное число в десятичную дробь.

Переведем дробную часть смешанного числа $2\frac{1}{4}$ в десятичную дробь: $\frac{1}{4} = 1 \div 4 = 0,25$.

Таким образом, смешанное число $2\frac{1}{4}$ равно $2 + 0,25 = 2,25$.

Теперь выполним вычитание десятичных дробей:

$2,35 - 2,25 = 0,1$

Ответ: $0,1$

в) Чтобы найти разность дробей $\frac{5}{13}$ и $\frac{1}{2}$, их нужно привести к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 13 и 2 равен их произведению, так как 13 — простое число, а 2 не является его делителем. НОЗ(13, 2) = $13 \times 2 = 26$.

Приведем дроби к знаменателю 26.

Для дроби $\frac{5}{13}$ дополнительный множитель равен $26 \div 13 = 2$:

$\frac{5}{13} = \frac{5 \times 2}{13 \times 2} = \frac{10}{26}$

Для дроби $\frac{1}{2}$ дополнительный множитель равен $26 \div 2 = 13$:

$\frac{1}{2} = \frac{1 \times 13}{2 \times 13} = \frac{13}{26}$

Теперь выполним вычитание:

$\frac{10}{26} - \frac{13}{26} = \frac{10 - 13}{26} = -\frac{3}{26}$

Ответ: $-\frac{3}{26}$

г) Чтобы сложить дроби $-\frac{4}{11}$ и $\frac{3}{7}$, их нужно привести к общему знаменателю. Так как 11 и 7 — простые числа, их наименьший общий знаменатель равен их произведению: НОЗ(11, 7) = $11 \times 7 = 77$.

Приведем дроби к знаменателю 77.

Для дроби $-\frac{4}{11}$ дополнительный множитель равен $77 \div 11 = 7$:

$-\frac{4}{11} = -\frac{4 \times 7}{11 \times 7} = -\frac{28}{77}$

Для дроби $\frac{3}{7}$ дополнительный множитель равен $77 \div 7 = 11$:

$\frac{3}{7} = \frac{3 \times 11}{7 \times 11} = \frac{33}{77}$

Теперь сложим полученные дроби:

$-\frac{28}{77} + \frac{33}{77} = \frac{-28 + 33}{77} = \frac{5}{77}$

Ответ: $\frac{5}{77}$

Запишите на математическом языке следующее высказывание:

35.10 а) Сумма чисел a и b больше их произведения;

б) квадрат числа m меньше числа n;

в) полусумма чисел k и l меньше их утроенной разности;

г) утроенное число p больше, чем куб числа p.

а) Сумма чисел $a$ и $b$ на математическом языке записывается как выражение $a + b$. Их произведение записывается как $a \cdot b$ или просто $ab$. Условие "больше" означает, что левая часть неравенства превышает правую, и обозначается знаком $>$. Соединив все части, получаем математическую запись высказывания.

Ответ: $a + b > ab$

б) Квадрат числа $m$ — это число $m$, возведенное во вторую степень, что записывается как $m^2$. Условие "меньше" означает, что левая часть неравенства меньше правой, и обозначается знаком <. Таким образом, высказывание "квадрат числа $m$ меньше числа $n$" записывается в виде неравенства.

Ответ: $m^2 < n$

в) Полусумма чисел $k$ и $l$ — это их сумма, деленная на 2, что записывается как $\frac{k + l}{2}$. Разность чисел $k$ и $l$ записывается как $k - l$. "Утроенная разность" означает, что разность нужно умножить на 3, то есть $3(k - l)$. Условие "меньше" обозначается знаком <. Объединяя эти элементы, мы получаем искомое неравенство.

Ответ: $\frac{k + l}{2} < 3(k - l)$

г) "Утроенное число $p$" означает, что число $p$ умножается на 3, что дает $3p$. Куб числа $p$ — это число $p$, возведенное в третью степень, то есть $p^3$. Условие "больше, чем" обозначается знаком $>$. Следовательно, мы можем записать данное высказывание как неравенство.

Ответ: $3p > p^3$

35.11 a) Разность чисел $t$ и $s$ больше их отношения;

б) квадрат суммы чисел $m$ и $n$ не больше их разности;

в) разность квадратов чисел $k$ и $l$ меньше их удвоенной суммы;

г) произведение двух последовательных натуральных чисел не меньше квадрата большего из них.

а) Чтобы записать данное утверждение в виде неравенства, разберем его по частям. "Разность чисел $t$ и $s$" записывается как $t - s$. "Их отношение" — это частное от деления $t$ на $s$, то есть $\frac{t}{s}$. Условие "больше" соответствует знаку $>$. Соединив все части, получаем неравенство.
Ответ: $t - s > \frac{t}{s}$

б) Рассмотрим утверждение "квадрат суммы чисел $m$ и $n$ не больше их разности". "Сумма чисел $m$ и $n$" — это $m + n$. "Квадрат суммы" — это $(m + n)^2$. "Их разность" — это $m - n$. Выражение "не больше" означает "меньше или равно", что соответствует знаку $\le$. Таким образом, составляем неравенство.
Ответ: $(m + n)^2 \le m - n$

в) Разберем утверждение "разность квадратов чисел $k$ и $l$ меньше их удвоенной суммы". "Разность квадратов чисел $k$ и $l$" — это $k^2 - l^2$. "Их сумма" — это $k + l$, а "удвоенная сумма" — это $2(k + l)$. Условие "меньше" соответствует знаку <. Сопоставив части, получаем итоговое неравенство.
Ответ: $k^2 - l^2 < 2(k + l)$

г) Переведем в математическую форму утверждение "произведение двух последовательных натуральных чисел не меньше квадрата большего из них". Обозначим меньшее из натуральных чисел через $n$, тогда следующее за ним (большее) будет $n+1$. "Их произведение" равно $n(n+1)$. "Квадрат большего из них" — это $(n+1)^2$. Выражение "не меньше" означает "больше или равно", что соответствует знаку $\ge$. Таким образом, получаем неравенство.
Ответ: $n(n + 1) \ge (n + 1)^2$, где $n$ — меньшее из двух последовательных натуральных чисел.

Известно, что $a < b$. Замените символ $*$ знаком $<$ или $>$ так, чтобы получилось верное неравенство:

35.12 а) $-5a * -5b;$

б) $\frac{a}{6} * \frac{b}{6};$

в) $0,1a * 0,1b;$

г) $-\frac{a}{7} * -\frac{b}{7}.$

а) Дано неравенство $a < b$. Чтобы сравнить выражения $-5a$ и $-5b$, нужно умножить обе части исходного неравенства на $-5$. Так как мы умножаем на отрицательное число, знак неравенства необходимо изменить на противоположный (с «<» на «>»).
$a < b \quad|\cdot(-5)$
$-5a > -5b$
Ответ: $-5a > -5b$

б) Дано неравенство $a < b$. Чтобы сравнить выражения $\frac{a}{6}$ и $\frac{b}{6}$, нужно разделить обе части исходного неравенства на $6$. Так как мы делим на положительное число, знак неравенства сохраняется.
$a < b \quad|:6$
$\frac{a}{6} < \frac{b}{6}$
Ответ: $\frac{a}{6} < \frac{b}{6}$

в) Дано неравенство $a < b$. Чтобы сравнить выражения $0,1a$ и $0,1b$, нужно умножить обе части исходного неравенства на $0,1$. Так как мы умножаем на положительное число, знак неравенства сохраняется.
$a < b \quad|\cdot(0,1)$
$0,1a < 0,1b$
Ответ: $0,1a < 0,1b$

г) Дано неравенство $a < b$. Чтобы сравнить выражения $-\frac{a}{7}$ и $-\frac{b}{7}$, нужно умножить обе части исходного неравенства на $-\frac{1}{7}$ (или разделить на $-7$). Так как мы умножаем на отрицательное число, знак неравенства необходимо изменить на противоположный (с «<» на «>»).
$a < b \quad|\cdot(-\frac{1}{7})$
$-\frac{a}{7} > -\frac{b}{7}$
Ответ: $-\frac{a}{7} > -\frac{b}{7}$

35.13 а) $a - 4 * b - 4;$

б) $a + 7,3 * b + 7,3;$

в) $a + 1,8 * b + 1,8;$

г) $a - 125 * b - 125.$

Чтобы сравнить выражения $a - 4$ и $b - 4$, необходимо определить, какой знак ($>, <$ или $=$) следует поставить вместо звездочки в записи $a - 4 \ * \ b - 4$.

Воспользуемся свойством числовых неравенств: если из обеих частей верного неравенства вычесть одно и то же число, то знак неравенства не изменится. Это же свойство справедливо и для равенств.

Таким образом, результат сравнения $a - 4$ и $b - 4$ полностью зависит от исходного соотношения между $a$ и $b$:
1. Если $a > b$, то, вычитая 4, получаем $a - 4 > b - 4$.
2. Если $a < b$, то, вычитая 4, получаем $a - 4 < b - 4$.
3. Если $a = b$, то, вычитая 4, получаем $a - 4 = b - 4$.

Ответ: Знак сравнения в выражении $a - 4 \ * \ b - 4$ будет таким же, как и знак сравнения между $a$ и $b$.

Сравниваем выражения $a + 7,3$ и $b + 7,3$.

Согласно свойству числовых неравенств, если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то знак неравенства сохранится.

Прибавим число $7,3$ к обеим частям исходного соотношения между $a$ и $b$:
1. Если $a > b$, то $a + 7,3 > b + 7,3$.
2. Если $a < b$, то $a + 7,3 < b + 7,3$.
3. Если $a = b$, то $a + 7,3 = b + 7,3$.

Ответ: Знак сравнения в выражении $a + 7,3 \ * \ b + 7,3$ будет таким же, как и знак сравнения между $a$ и $b$.

Сравниваем выражения $a + 1,8$ и $b + 1,8$.

К обеим частям исходного соотношения между $a$ и $b$ прибавляется одно и то же число $1,8$. По свойству числовых неравенств, это не меняет знак сравнения.

1. Если $a > b$, то $a + 1,8 > b + 1,8$.
2. Если $a < b$, то $a + 1,8 < b + 1,8$.
3. Если $a = b$, то $a + 1,8 = b + 1,8$.

Ответ: Знак сравнения в выражении $a + 1,8 \ * \ b + 1,8$ будет таким же, как и знак сравнения между $a$ и $b$.

Сравниваем выражения $a - 125$ и $b - 125$.

Из обеих частей исходного соотношения между $a$ и $b$ вычитается одно и то же число $125$. Это не изменяет знак сравнения.

1. Если $a > b$, то $a - 125 > b - 125$.
2. Если $a < b$, то $a - 125 < b - 125$.
3. Если $a = b$, то $a - 125 = b - 125$.

Ответ: Знак сравнения в выражении $a - 125 \ * \ b - 125$ будет таким же, как и знак сравнения между $a$ и $b$.

35.14 Какое из двух чисел — m или n — больше, если известно, что:

а) $m + 12 < n + 12$;

б) $3,5 - m > 3,5 - n$;

в) $-0,3 - m > -0,3 - n$;

г) $4,9 + m < 4,9 + n$.

а)

Дано исходное неравенство $m + 12 < n + 12$.

Чтобы сравнить числа $m$ и $n$, воспользуемся свойством неравенств: если к обеим частям верного неравенства прибавить (или из обеих частей вычесть) одно и то же число, то получится верное неравенство.

Вычтем из обеих частей неравенства число 12:

$m + 12 - 12 < n + 12 - 12$

После выполнения вычитания получаем:

$m < n$

Из полученного неравенства следует, что число $n$ больше числа $m$.

Ответ: $n$ больше $m$.

б)

Дано исходное неравенство $3,5 - m > 3,5 - n$.

Сначала вычтем из обеих частей неравенства число 3,5:

$3,5 - m - 3,5 > 3,5 - n - 3,5$

Это приводит нас к неравенству:

$-m > -n$

Теперь воспользуемся другим свойством неравенств: если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.

Умножим обе части неравенства $-m > -n$ на -1 и поменяем знак `>` на `<`:

$(-m) \cdot (-1) < (-n) \cdot (-1)$

В результате получаем:

$m < n$

Следовательно, число $n$ больше числа $m$.

Ответ: $n$ больше $m$.

в)

Дано исходное неравенство $-0,3 - m > -0,3 - n$.

Прибавим к обеим частям неравенства число 0,3:

$-0,3 - m + 0,3 > -0,3 - n + 0,3$

После упрощения получаем:

$-m > -n$

Как и в предыдущем пункте, умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства на противоположный:

$(-m) \cdot (-1) < (-n) \cdot (-1)$

Это дает нам:

$m < n$

Таким образом, число $n$ больше числа $m$.

Ответ: $n$ больше $m$.

г)

Дано исходное неравенство $4,9 + m < 4,9 + n$.

Вычтем из обеих частей неравенства число 4,9:

$4,9 + m - 4,9 < 4,9 + n - 4,9$

После упрощения получаем:

$m < n$

Из этого неравенства следует, что число $n$ больше числа $m$.

Ответ: $n$ больше $m$.

35.15 Какой знак имеет число $x$, если известно, что:

а) $5x < 3x$;

б) $-4x < 4x$;

в) $9x > 2x$;

г) $-45x > -3x$?

а) Чтобы определить знак числа $x$, решим неравенство $5x < 3x$.

Перенесем все члены с переменной $x$ в одну сторону. Для этого вычтем $3x$ из обеих частей неравенства:

$5x - 3x < 3x - 3x$

$2x < 0$

Теперь разделим обе части неравенства на 2. Поскольку 2 — положительное число, знак неравенства сохраняется:

$\frac{2x}{2} < \frac{0}{2}$

$x < 0$

Неравенство $x < 0$ означает, что число $x$ является отрицательным.

Ответ: число $x$ отрицательное (имеет знак «минус»).

б) Решим неравенство $-4x < 4x$.

Перенесем все члены с переменной $x$ в одну сторону. Прибавим $4x$ к обеим частям неравенства:

$-4x + 4x < 4x + 4x$

$0 < 8x$

Разделим обе части неравенства на 8. Поскольку 8 — положительное число, знак неравенства не меняется:

$\frac{0}{8} < \frac{8x}{8}$

$0 < x$

Неравенство $x > 0$ означает, что число $x$ является положительным.

Ответ: число $x$ положительное (имеет знак «плюс»).

в) Решим неравенство $9x > 2x$.

Перенесем все члены с переменной $x$ в одну сторону. Вычтем $2x$ из обеих частей неравенства:

$9x - 2x > 2x - 2x$

$7x > 0$

Разделим обе части неравенства на 7. Поскольку 7 — положительное число, знак неравенства сохраняется:

$\frac{7x}{7} > \frac{0}{7}$

$x > 0$

Неравенство $x > 0$ означает, что число $x$ является положительным.

Ответ: число $x$ положительное (имеет знак «плюс»).

г) Решим неравенство $-45x > -3x$.

Перенесем все члены с переменной $x$ в одну сторону. Прибавим $3x$ к обеим частям неравенства:

$-45x + 3x > -3x + 3x$

$-42x > 0$

Теперь разделим обе части неравенства на -42. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$\frac{-42x}{-42} < \frac{0}{-42}$

$x < 0$

Неравенство $x < 0$ означает, что число $x$ является отрицательным.

Ответ: число $x$ отрицательное (имеет знак «минус»).