Номер 1, страница 195, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

1. Сформулируйте свойства числовых неравенств и запишите их на математическом языке.

Свойство 1 (Антисимметричность)

Если число a больше числа b, то число b меньше числа a. И наоборот, если a меньше b, то b больше a.

На математическом языке: если $a > b$, то $b < a$.

Ответ: Если $a > b$, то $b < a$.

Свойство 2 (Транзитивность)

Если число a больше числа b, а число b больше числа c, то число a больше числа c.

На математическом языке: если $a > b$ и $b > c$, то $a > c$.

Ответ: Если $a > b$ и $b > c$, то $a > c$.

Свойство 3 (Прибавление числа к неравенству)

Если к обеим частям верного неравенства прибавить (или из обеих частей вычесть) одно и то же число, то получится верное неравенство того же знака.

На математическом языке: если $a > b$, то для любого числа $c$ справедливо неравенство $a + c > b + c$.

Ответ: Если $a > b$, то $a + c > b + c$ для любого $c$.

Свойство 4 (Умножение неравенства на число)

Если обе части верного неравенства умножить (или разделить) на одно и то же положительное число, то знак неравенства сохранится. Если обе части верного неравенства умножить (или разделить) на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.

На математическом языке:
- для любого $c > 0$: если $a > b$, то $ac > bc$.
- для любого $c < 0$: если $a > b$, то $ac < bc$.

Ответ: Если $a > b$ и $c > 0$, то $ac > bc$. Если $a > b$ и $c < 0$, то $ac < bc$.

Свойство 5 (Сложение неравенств)

При почленном сложении верных неравенств одного знака получается верное неравенство того же знака.

На математическом языке: если $a > b$ и $c > d$, то $a + c > b + d$.

Ответ: Если $a > b$ и $c > d$, то $a + c > b + d$.

Свойство 6 (Умножение неравенств)

При почленном умножении верных неравенств одного знака, левые и правые части которых являются положительными числами, получается верное неравенство того же знака.

На математическом языке: если $a > b > 0$ и $c > d > 0$, то $ac > bd$.

Ответ: Если $a, b, c, d$ — положительные числа, и $a > b$, $c > d$, то $ac > bd$.

Свойство 7 (Возведение в степень)

Если обе части верного неравенства — положительные числа, то при возведении их в одну и ту же натуральную степень $n$ знак неравенства сохраняется.

На математическом языке: если $a > b > 0$ и $n \in \mathbb{N}$, то $a^n > b^n$.

Ответ: Если $a > b > 0$ и $n \in \mathbb{N}$, то $a^n > b^n$.

Свойство 8 (Для обратных чисел)

Если обе части верного неравенства — положительные числа, то при замене их на обратные числа знак неравенства меняется на противоположный.

На математическом языке: если $a > b > 0$, то $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$.

Ответ: Если $a > b > 0$, то $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$.