Номер 7, страница 196, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

7. Если $a, b, c, d$ — положительные числа и $a > b$ и $c > d$, то

какое из утверждений верно:

а) $ac < bd$;

б) $ac > bd$;

в) $ac = bd$?

По условию задачи, $a, b, c, d$ — положительные числа, для которых выполняются два строгих неравенства: $a > b$ и $c > d$. Нам нужно определить, какое соотношение между произведениями $ac$ и $bd$ является верным.

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами числовых неравенств.

1. Возьмем первое неравенство $a > b$. Так как по условию $c$ — положительное число ($c > 0$), мы можем умножить обе части неравенства $a > b$ на $c$. Знак неравенства при умножении на положительное число сохраняется:
$a \cdot c > b \cdot c$
то есть, $ac > bc$.

2. Теперь возьмем второе неравенство $c > d$. Так как по условию $b$ — положительное число ($b > 0$), мы можем умножить обе части неравенства $c > d$ на $b$. Знак неравенства также сохранится:
$c \cdot b > d \cdot b$
то есть, $bc > bd$.

3. Мы получили два неравенства: $ac > bc$ и $bc > bd$.
Используя свойство транзитивности для неравенств (если $X > Y$ и $Y > Z$, то $X > Z$), мы можем объединить эти два результата в одну цепочку и сделать вывод:
$ac > bd$.

Теперь проанализируем каждый из предложенных вариантов на основе нашего вывода.

а) $ac < bd$
Это утверждение прямо противоречит полученному нами результату $ac > bd$. Для наглядности можно рассмотреть пример: пусть $a=5, b=4, c=3, d=2$. Условия $5>4$ и $3>2$ выполнены. Тогда $ac = 5 \cdot 3 = 15$, а $bd = 4 \cdot 2 = 8$. Неравенство $15 < 8$ ложно. Следовательно, это утверждение неверно.
Ответ: неверно.

б) $ac > bd$
Это утверждение полностью совпадает с результатом, который мы получили строго математически, исходя из свойств неравенств. Оно верно для любых положительных чисел $a, b, c, d$, удовлетворяющих условиям $a > b$ и $c > d$.
Ответ: верно.

в) $ac = bd$
Это утверждение также неверно, поскольку мы доказали, что имеет место строгое неравенство $ac > bd$. Равенство в общем случае невозможно. В приведенном выше примере $15 \neq 8$.
Ответ: неверно.