Номер 2, страница 199, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

2. Какие неравенства называют линейными неравенствами с одной переменной?

Линейным неравенством с одной переменной называется неравенство, которое после тождественных преобразований можно свести к одному из следующих видов:

• $ax > b$
• $ax < b$
• $ax \ge b$
• $ax \le b$

В этих неравенствах:

• $x$ — это переменная.
• $a$ и $b$ — это некоторые действительные числа (коэффициенты).
• Важным условием является то, что коэффициент при переменной не равен нулю, то есть $a \ne 0$. Если $a = 0$, то неравенство либо не имеет решений (например, $0 \cdot x > 5$), либо его решением является любое число (например, $0 \cdot x < 5$), и в таких случаях оно не считается линейным в стандартном понимании, так как не содержит переменной в явном виде.

Любое неравенство с одной переменной, которое можно привести к одному из указанных выше видов с помощью алгебраических операций (раскрытие скобок, перенос слагаемых из одной части в другую, приведение подобных членов), является линейным.

Пример:

Рассмотрим неравенство $4(x-1) > 7x + 5$. На первый взгляд оно не имеет стандартного вида, но его можно преобразовать:

1. Раскроем скобки: $4x - 4 > 7x + 5$.

2. Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую: $4x - 7x > 5 + 4$.

3. Приведем подобные слагаемые: $-3x > 9$.

Полученное неравенство $-3x > 9$ имеет вид $ax > b$, где $a = -3$ и $b = 9$. Следовательно, исходное неравенство является линейным.

Ответ: Линейным неравенством с одной переменной называют неравенство, которое можно представить в виде $ax > b$, $ax < b$, $ax \ge b$ или $ax \le b$, где $x$ — переменная, а $a$ и $b$ — некоторые числа, причём $a \ne 0$.