Номер 11, страница 196, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

11. Какая связь существует между средним арифметическим и средним геометрическим двух неотрицательных чисел $a$ и $b$?

Для двух неотрицательных чисел $a \ge 0$ и $b \ge 0$ существуют следующие определения:

• Среднее арифметическое — это полусумма этих чисел, которая вычисляется по формуле: $M_A = \frac{a+b}{2}$.

• Среднее геометрическое — это квадратный корень из произведения этих чисел, который вычисляется по формуле: $M_G = \sqrt{ab}$.

Связь между этими двумя величинами описывается неравенством о средних (также известным как неравенство Коши для двух чисел). Оно утверждает, что среднее арифметическое двух неотрицательных чисел всегда больше или равно их среднему геометрическому.

В виде формулы это записывается так:

$\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$

При этом равенство в этом выражении достигается тогда и только тогда, когда числа $a$ и $b$ равны между собой ($a=b$).

Доказательство:

Для доказательства этого утверждения рассмотрим разность между средним арифметическим и средним геометрическим:

$\frac{a+b}{2} - \sqrt{ab}$

Наша задача — доказать, что эта разность всегда неотрицательна (то есть больше или равна нулю). Приведём выражение к общему знаменателю:

$\frac{a+b - 2\sqrt{ab}}{2}$

Поскольку по условию числа $a$ и $b$ неотрицательны, мы можем представить их в виде квадратов их корней: $a = (\sqrt{a})^2$ и $b = (\sqrt{b})^2$. Подставим это в числитель:

$\frac{(\sqrt{a})^2 - 2\sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2}{2}$

Выражение в числителе является полным квадратом разности двух чисел $(\sqrt{a})$ и $(\sqrt{b})$. Свернём его по формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$\frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2}{2}$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, поэтому $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \ge 0$. Знаменатель (число 2) положителен. Следовательно, вся дробь также является неотрицательной:

$\frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2}{2} \ge 0$

Таким образом, мы доказали, что разность $\frac{a+b}{2} - \sqrt{ab}$ всегда больше или равна нулю. Отсюда следует и само неравенство:

$\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$

Случай равенства:

Равенство $\frac{a+b}{2} = \sqrt{ab}$ будет выполняться только в том случае, когда рассмотренная нами разность равна нулю:

$\frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2}{2} = 0$

Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю:

$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = 0$

Это возможно, только если выражение в скобках равно нулю:

$\sqrt{a} - \sqrt{b} = 0$

$\sqrt{a} = \sqrt{b}$

Так как $a$ и $b$ — неотрицательные числа, то равенство их квадратных корней означает и равенство самих чисел:

$a = b$

Доказательство завершено.

Ответ: Среднее арифметическое двух неотрицательных чисел $a$ и $b$ всегда больше или равно их среднему геометрическому. Это выражается неравенством $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$. Равенство в этом неравенстве достигается тогда и только тогда, когда $a=b$.