Номер 4, страница 199, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

4. В каком случае неравенства $f(x) > g(x)$ и $r(x) < s(x)$ называют равносильными?

Два неравенства, в данном случае $f(x) > g(x)$ и $r(x) < s(x)$, называют равносильными (или эквивалентными), если множества их решений полностью совпадают.

Это означает, что любое значение переменной $x$, которое является решением первого неравенства, также является решением и второго неравенства, и наоборот — любое решение второго неравенства является решением первого.

Более формально, если мы обозначим множество решений неравенства $f(x) > g(x)$ как $M_1$, а множество решений неравенства $r(x) < s(x)$ как $M_2$, то эти неравенства будут равносильными тогда и только тогда, когда $M_1 = M_2$.

Важно отметить, что это определение включает в себя и случай, когда оба неравенства не имеют решений. В такой ситуации множество решений для каждого из них является пустым множеством ($\emptyset$). Поскольку пустые множества равны друг другу ($M_1 = \emptyset$ и $M_2 = \emptyset$), то такие неравенства также считаются равносильными.

Пример:
Рассмотрим неравенства $x - 3 > 2$ и $2x > 10$.
1. Решением первого неравенства $x - 3 > 2$ является $x > 5$. Множество решений: $(5; +\infty)$.
2. Решением второго неравенства $2x > 10$ является $x > 5$. Множество решений: $(5; +\infty)$.
Поскольку множества решений обоих неравенств совпадают, эти неравенства являются равносильными.

Ответ: Неравенства $f(x) > g(x)$ и $r(x) < s(x)$ называют равносильными, если множество решений первого неравенства в точности совпадает с множеством решений второго неравенства.