Номер 6, страница 206, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

6. Известно, что дискриминант $D$ квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$ отрицателен и $a < 0$. Что вы скажете о решении неравенства:

а) $ax^2 + bx + c > 0$;

б) $ax^2 + bx + c < 0$;

в) $ax^2 + bx + c \geq 0$;

г) $ax^2 + bx + c \leq 0$?

Поясните свой ответ с помощью геометрической иллюстрации.

Рассмотрим свойства квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ при заданных условиях.

1. Коэффициент $a < 0$: Это означает, что ветви параболы, которая является графиком данной функции, направлены вниз.

2. Дискриминант $D < 0$: Дискриминант $D = b^2 - 4ac$. Условие $D < 0$ означает, что квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ не имеет действительных корней. Геометрически это значит, что парабола не пересекает ось абсцисс (ось Ox).

Совместив оба условия, мы получаем параболу, ветви которой направлены вниз и которая не имеет точек пересечения с осью Ox. Следовательно, вся парабола целиком расположена под осью Ox.

Это означает, что для любого действительного значения $x$ значение функции $y = ax^2 + bx + c$ всегда будет отрицательным, то есть $ax^2 + bx + c < 0$ при $x \in (-\infty; +\infty)$.

Геометрическая иллюстрация:

На основе этого анализа решим предложенные неравенства.

а) $ax^2 + bx + c > 0$
Неравенство спрашивает, при каких значениях $x$ график функции находится выше оси Ox. Поскольку вся парабола лежит ниже оси Ox, то значение выражения $ax^2 + bx + c$ никогда не бывает положительным. Таким образом, у этого неравенства нет решений.
Ответ: $x \in \emptyset$ (нет решений).

б) $ax^2 + bx + c < 0$
Неравенство спрашивает, при каких значениях $x$ график функции находится ниже оси Ox. Как мы установили, вся парабола целиком расположена ниже оси Ox. Это означает, что данное неравенство выполняется для любого действительного значения $x$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

в) $ax^2 + bx + c \geq 0$
Неравенство спрашивает, при каких значениях $x$ график функции находится на оси Ox или выше нее. Так как парабола не пересекает ось Ox ($D < 0$) и расположена под ней ($a < 0$), значение выражения $ax^2 + bx + c$ никогда не равно нулю и никогда не бывает положительным. Следовательно, у неравенства нет решений.
Ответ: $x \in \emptyset$ (нет решений).

г) $ax^2 + bx + c \leq 0$
Неравенство спрашивает, при каких значениях $x$ график функции находится на оси Ox или ниже нее. Поскольку вся парабола находится строго ниже оси Ox, условие $ax^2 + bx + c < 0$ выполняется для всех $x$. Условие $ax^2 + bx + c = 0$ не выполняется ни при каком $x$. Объединение этих условий ($< $ или $= $) дает множество всех действительных чисел.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.