Номер 2, страница 206, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

2. Что даёт схематический набросок графика квадратичной функции при решении квадратного неравенства?

Схематический набросок графика квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ является наглядным инструментом для решения квадратных неравенств вида $ax^2 + bx + c > 0$, $ax^2 + bx + c < 0$, $ax^2 + bx + c \ge 0$ или $ax^2 + bx + c \le 0$. Он позволяет визуализировать, на каких промежутках оси $x$ функция принимает положительные, а на каких — отрицательные значения.

Решение неравенства сводится к определению, где парабола (график квадратичной функции) расположена выше или ниже оси абсцисс (оси $Ox$).

1. Привести неравенство к стандартному виду, например, $ax^2 + bx + c > 0$.
2. Ввести в рассмотрение соответствующую квадратичную функцию $y = ax^2 + bx + c$.
3. Определить два ключевых параметра для схематического построения графика:
   • Направление ветвей параболы: если коэффициент $a > 0$, ветви параболы направлены вверх; если $a < 0$, ветви направлены вниз.
   • Точки пересечения с осью $Ox$ (нули функции): для этого нужно решить квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$. Количество корней ($x_1$, $x_2$) зависит от знака дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.
     • Если $D > 0$, парабола пересекает ось $Ox$ в двух точках.
     • Если $D = 0$, парабола касается оси $Ox$ в одной точке (в своей вершине).
     • Если $D < 0$, парабола не имеет точек пересечения с осью $Ox$ и целиком расположена либо выше, либо ниже нее.
4. Сделать схематический набросок параболы, учитывая направление ветвей и точки пересечения с осью $Ox$. Точное положение вершины не требуется, важна лишь общая схема.
5. По наброску определить промежутки, на которых функция удовлетворяет знаку неравенства:
   • Для неравенства $ax^2 + bx + c > 0$ ищут интервалы, где график находится выше оси $Ox$.
   • Для неравенства $ax^2 + bx + c < 0$ ищут интервалы, где график находится ниже оси $Ox$.
   Если неравенство нестрогое ( $\ge$ или $\le$ ), то точки пересечения с осью $Ox$ (нули функции) включаются в ответ.

Решить неравенство $-x^2 - x + 6 > 0$.

1. Рассмотрим функцию $y = -x^2 - x + 6$.
2. Коэффициент $a = -1 < 0$, значит, ветви параболы направлены вниз.
3. Найдем нули функции:

   $-x^2 - x + 6 = 0$

   $x^2 + x - 6 = 0$

   Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 > 0$.

   $x_1 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{-1-5}{2} = -3$

   $x_2 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-1+5}{2} = 2$

4. Схематически изображаем параболу с ветвями вниз, пересекающую ось $Ox$ в точках -3 и 2.
5. Нам нужно решить неравенство $-x^2 - x + 6 > 0$, то есть найти, где $y > 0$. По графику видно, что парабола находится выше оси $Ox$ на интервале между корнями.

Таким образом, решение неравенства — это интервал $(-3; 2)$.

Ответ: Схематический набросок графика квадратичной функции дает наглядное представление о поведении функции. Он позволяет визуально определить интервалы знакопостоянства (где функция положительна, а где отрицательна), что напрямую соответствует решению квадратного неравенства. Этот метод упрощает нахождение решения, особенно в случаях, когда дискриминант равен нулю или отрицателен, и снижает вероятность ошибки по сравнению с чисто алгебраическим методом интервалов.