Страница 206, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. Сформулируйте определение квадратного неравенства с одной переменной.

Квадратным неравенством с одной переменной называют неравенство, которое можно свести к одному из следующих видов, где левая часть является многочленом второй степени (квадратным трёхчленом), а правая — нулём:

$ax^2 + bx + c > 0$

$ax^2 + bx + c < 0$

$ax^2 + bx + c \ge 0$

$ax^2 + bx + c \le 0$

В данных неравенствах:
- $x$ — это переменная, значение которой нужно найти.
- $a, b, c$ — это числовые коэффициенты, которые являются действительными числами.
- Ключевое условие, которое делает неравенство именно квадратным, заключается в том, что старший коэффициент $a$ не должен быть равен нулю, то есть $a \ne 0$. Если $a=0$, то слагаемое $ax^2$ обращается в ноль, и неравенство становится линейным. Коэффициенты $b$ (второй коэффициент) и $c$ (свободный член) могут быть любыми действительными числами, включая ноль.

Ответ: Квадратным неравенством с одной переменной называется неравенство вида $ax^2 + bx + c > 0$, $ax^2 + bx + c < 0$, $ax^2 + bx + c \ge 0$ или $ax^2 + bx + c \le 0$, где $x$ — переменная, $a, b, c$ — действительные числа, причём $a \ne 0$.

2. Что даёт схематический набросок графика квадратичной функции при решении квадратного неравенства?

Схематический набросок графика квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ является наглядным инструментом для решения квадратных неравенств вида $ax^2 + bx + c > 0$, $ax^2 + bx + c < 0$, $ax^2 + bx + c \ge 0$ или $ax^2 + bx + c \le 0$. Он позволяет визуализировать, на каких промежутках оси $x$ функция принимает положительные, а на каких — отрицательные значения.

Решение неравенства сводится к определению, где парабола (график квадратичной функции) расположена выше или ниже оси абсцисс (оси $Ox$).

1. Привести неравенство к стандартному виду, например, $ax^2 + bx + c > 0$.
2. Ввести в рассмотрение соответствующую квадратичную функцию $y = ax^2 + bx + c$.
3. Определить два ключевых параметра для схематического построения графика:
   • Направление ветвей параболы: если коэффициент $a > 0$, ветви параболы направлены вверх; если $a < 0$, ветви направлены вниз.
   • Точки пересечения с осью $Ox$ (нули функции): для этого нужно решить квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$. Количество корней ($x_1$, $x_2$) зависит от знака дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.
     • Если $D > 0$, парабола пересекает ось $Ox$ в двух точках.
     • Если $D = 0$, парабола касается оси $Ox$ в одной точке (в своей вершине).
     • Если $D < 0$, парабола не имеет точек пересечения с осью $Ox$ и целиком расположена либо выше, либо ниже нее.
4. Сделать схематический набросок параболы, учитывая направление ветвей и точки пересечения с осью $Ox$. Точное положение вершины не требуется, важна лишь общая схема.
5. По наброску определить промежутки, на которых функция удовлетворяет знаку неравенства:
   • Для неравенства $ax^2 + bx + c > 0$ ищут интервалы, где график находится выше оси $Ox$.
   • Для неравенства $ax^2 + bx + c < 0$ ищут интервалы, где график находится ниже оси $Ox$.
   Если неравенство нестрогое ( $\ge$ или $\le$ ), то точки пересечения с осью $Ox$ (нули функции) включаются в ответ.

Решить неравенство $-x^2 - x + 6 > 0$.

1. Рассмотрим функцию $y = -x^2 - x + 6$.
2. Коэффициент $a = -1 < 0$, значит, ветви параболы направлены вниз.
3. Найдем нули функции:

   $-x^2 - x + 6 = 0$

   $x^2 + x - 6 = 0$

   Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 > 0$.

   $x_1 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{-1-5}{2} = -3$

   $x_2 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-1+5}{2} = 2$

4. Схематически изображаем параболу с ветвями вниз, пересекающую ось $Ox$ в точках -3 и 2.
5. Нам нужно решить неравенство $-x^2 - x + 6 > 0$, то есть найти, где $y > 0$. По графику видно, что парабола находится выше оси $Ox$ на интервале между корнями.

Таким образом, решение неравенства — это интервал $(-3; 2)$.

Ответ: Схематический набросок графика квадратичной функции дает наглядное представление о поведении функции. Он позволяет визуально определить интервалы знакопостоянства (где функция положительна, а где отрицательна), что напрямую соответствует решению квадратного неравенства. Этот метод упрощает нахождение решения, особенно в случаях, когда дискриминант равен нулю или отрицателен, и снижает вероятность ошибки по сравнению с чисто алгебраическим методом интервалов.

3. Опишите алгоритм решения неравенства $ax^2 + bx + c > 0$, где $a \neq 0$. Примените его для решения неравенства $x^2 - 5x + 6 > 0$.

Опишите алгоритм решения неравенства $ax^2 + bx + c > 0$, где $a \neq 0$

Решение квадратного неравенства вида $ax^2 + bx + c > 0$ основано на анализе свойств соответствующей квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$, графиком которой является парабола. Алгоритм решения (также известный как метод интервалов для квадратичной функции) состоит из следующих шагов:

1. Определить направление ветвей параболы. Это зависит от знака старшего коэффициента $a$:

   • Если $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
   • Если $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Найти корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Для этого вычисляется дискриминант $D = b^2 - 4ac$. Корни уравнения (если они существуют) — это точки, в которых парабола пересекает или касается оси абсцисс (Ox).

3. Схематически изобразить параболу на координатной оси, учитывая направление ее ветвей и найденные корни. На основе этого эскиза определить интервалы, на которых график функции расположен выше оси Ox (то есть, где $y > 0$). Возможны три случая в зависимости от значения дискриминанта:

   • Случай 1: $D > 0$ (уравнение имеет два различных действительных корня $x_1$ и $x_2$, пусть $x_1 < x_2$).

     • Если $a > 0$ (ветви вверх), функция положительна вне интервала между корнями. Решение: $x \in (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)$.
     • Если $a < 0$ (ветви вниз), функция положительна внутри интервала между корнями. Решение: $x \in (x_1, x_2)$.

   • Случай 2: $D = 0$ (уравнение имеет один действительный корень $x_0 = -b/(2a)$).

     • Если $a > 0$ (ветви вверх), парабола касается оси Ox и расположена выше нее при всех значениях $x$, кроме точки $x_0$. Решение: $x \in (-\infty, x_0) \cup (x_0, +\infty)$.
     • Если $a < 0$ (ветви вниз), парабола касается оси Ox и расположена ниже нее. Положительных значений функция не принимает. Неравенство $ax^2 + bx + c > 0$ решений не имеет.

   • Случай 3: $D < 0$ (уравнение не имеет действительных корней).

     • Если $a > 0$ (ветви вверх), вся парабола лежит выше оси Ox. Функция всегда положительна. Решение: $x \in (-\infty, +\infty)$.
     • Если $a < 0$ (ветви вниз), вся парабола лежит ниже оси Ox. Функция всегда отрицательна. Неравенство $ax^2 + bx + c > 0$ решений не имеет.

Примените его для решения неравенства $x^2 - 5x + 6 > 0$

Применим описанный выше алгоритм к неравенству $x^2 - 5x + 6 > 0$.

1. Рассмотрим соответствующую функцию $y = x^2 - 5x + 6$. Старший коэффициент $a = 1$. Поскольку $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$.
   Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$.
   Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня.
   Найдем корни по формуле: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 1}{2}$.
   $x_1 = \frac{5 - 1}{2} = 2$
   $x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3$

3. Мы имеем случай, когда $a > 0$ и $D > 0$. Ветви параболы направлены вверх, и она пересекает ось Ox в точках $x=2$ и $x=3$. Это означает, что функция $y=x^2-5x+6$ принимает положительные значения на интервалах, которые находятся вне отрезка между корнями, то есть при $x < 2$ и при $x > 3$.

Ответ: $x \in (-\infty, 2) \cup (3, +\infty)$.

4. Опишите алгоритм решения неравенства $ax^2 + bx + c \le 0$, где $a \ne 0$. Примените его для решения неравенства $x^2 + x - 12 \le 0$.

Алгоритм решения неравенства $ax^2 + bx + c \le 0$

Для решения квадратного неравенства вида $ax^2 + bx + c \le 0$, где $a \ne 0$, используется следующий алгоритм, основанный на анализе свойств квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$:

1. Нахождение корней уравнения. Первым шагом является нахождение корней соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Для этого вычисляется дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

   • При $D > 0$ уравнение имеет два различных действительных корня $x_1$ и $x_2$, которые вычисляются по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
   • При $D = 0$ уравнение имеет один действительный корень (или два совпадающих) $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
   • При $D < 0$ уравнение не имеет действительных корней.

2. Определение направления ветвей параболы. Графиком квадратичной функции является парабола. Направление ее ветвей определяется знаком коэффициента $a$.

   • Если $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
   • Если $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

3. Анализ знаков функции и запись решения. На основе информации о корнях и направлении ветвей параболы определяется, на каких промежутках функция $y = ax^2 + bx + c$ принимает неположительные значения ($y \le 0$). Для этого можно схематически нарисовать параболу.

   • Случай 1: $a > 0$ (ветви вверх)
     • Если $D > 0$ (два корня $x_1 < x_2$), функция неположительна между корнями. Решение: $x \in [x_1, x_2]$.
     • Если $D = 0$ (один корень $x_0$), функция неположительна только в одной точке. Решение: $x = x_0$.
     • Если $D < 0$ (нет корней), функция всегда положительна. У неравенства $ax^2 + bx + c \le 0$ решений нет.
   • Случай 2: $a < 0$ (ветви вниз)
     • Если $D > 0$ (два корня $x_1 < x_2$), функция неположительна за пределами корней. Решение: $x \in (-\infty, x_1] \cup [x_2, \infty)$.
     • Если $D = 0$ (один корень $x_0$), функция всегда неположительна. Решение: $x \in (-\infty, \infty)$.
     • Если $D < 0$ (нет корней), функция всегда отрицательна. Решение: $x \in (-\infty, \infty)$.

Ответ: Вышеописанные шаги представляют собой полный алгоритм решения квадратного неравенства.

Применение алгоритма для решения неравенства $x^2 + x - 12 \le 0$

Применим данный алгоритм к неравенству $x^2 + x - 12 \le 0$.

1. Нахождение корней уравнения.

   Решим уравнение $x^2 + x - 12 = 0$. Здесь $a=1, b=1, c=-12$.
   Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$.
   Так как $D = 49 > 0$, уравнение имеет два корня:
   $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 7}{2} = -4$.
   $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 7}{2} = 3$.

2. Определение направления ветвей параболы.

   Коэффициент $a = 1$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

3. Анализ знаков функции и запись решения.

   Парабола с ветвями вверх пересекает ось Ox в точках $x = -4$ и $x = 3$. Неравенство $x^2 + x - 12 \le 0$ означает, что мы ищем значения $x$, при которых график функции находится на оси Ox или ниже нее. Это происходит на отрезке между корнями.

Ответ: $x \in [-4, 3]$.

5. Известно, что дискриминант $D$ квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$ отрицателен и $a > 0$. Что вы скажете о решении неравенства:

a) $ax^2 + bx + c > 0$;

б) $ax^2 + bx + c < 0$;

в) $ax^2 + bx + c \ge 0$;

г) $ax^2 + bx + c \le 0?

Поясните свой ответ с помощью геометрической иллюстрации.

Для анализа решений данных неравенств рассмотрим график квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$.

Из условий задачи нам известно:

1. Коэффициент $a > 0$. Это означает, что ветви параболы, которая является графиком этой функции, направлены вверх.
2. Дискриминант $D = b^2 - 4ac < 0$. Это означает, что уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ не имеет действительных корней. Геометрически это значит, что парабола не пересекает ось абсцисс (ось Ox) и не касается её.

Совместив эти два условия, мы можем сделать вывод о расположении параболы. Раз её ветви направлены вверх и она не имеет точек пересечения с осью Ox, значит, вся парабола целиком расположена в верхней полуплоскости, то есть выше оси Ox. Это означает, что для любого значения $x$ значение функции $y = ax^2 + bx + c$ будет строго положительным.

Геометрическая иллюстрация:

Исходя из этого, решим каждое неравенство:

а) $ax^2 + bx + c > 0$

Так как парабола $y = ax^2 + bx + c$ полностью находится выше оси Ox, значение трёхчлена всегда положительно. Следовательно, неравенство выполняется для любого действительного значения $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

б) $ax^2 + bx + c < 0$

Поскольку значение трёхчлена всегда положительно, оно никогда не может быть отрицательным. Следовательно, у этого неравенства нет решений.

Ответ: $x \in \emptyset$ (решений нет).

в) $ax^2 + bx + c \ge 0$

Так как трёхчлен всегда строго больше нуля, он тем более всегда больше или равен нулю. Неравенство выполняется для любого действительного значения $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

г) $ax^2 + bx + c \le 0$

Трёхчлен никогда не бывает отрицательным и никогда не равен нулю (так как парабола не пересекает ось Ox). Следовательно, у этого неравенства нет решений.

Ответ: $x \in \emptyset$ (решений нет).

6. Известно, что дискриминант $D$ квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$ отрицателен и $a < 0$. Что вы скажете о решении неравенства:

а) $ax^2 + bx + c > 0$;

б) $ax^2 + bx + c < 0$;

в) $ax^2 + bx + c \geq 0$;

г) $ax^2 + bx + c \leq 0$?

Поясните свой ответ с помощью геометрической иллюстрации.

Рассмотрим свойства квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ при заданных условиях.

1. Коэффициент $a < 0$: Это означает, что ветви параболы, которая является графиком данной функции, направлены вниз.

2. Дискриминант $D < 0$: Дискриминант $D = b^2 - 4ac$. Условие $D < 0$ означает, что квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ не имеет действительных корней. Геометрически это значит, что парабола не пересекает ось абсцисс (ось Ox).

Совместив оба условия, мы получаем параболу, ветви которой направлены вниз и которая не имеет точек пересечения с осью Ox. Следовательно, вся парабола целиком расположена под осью Ox.

Это означает, что для любого действительного значения $x$ значение функции $y = ax^2 + bx + c$ всегда будет отрицательным, то есть $ax^2 + bx + c < 0$ при $x \in (-\infty; +\infty)$.

Геометрическая иллюстрация:

На основе этого анализа решим предложенные неравенства.

а) $ax^2 + bx + c > 0$
Неравенство спрашивает, при каких значениях $x$ график функции находится выше оси Ox. Поскольку вся парабола лежит ниже оси Ox, то значение выражения $ax^2 + bx + c$ никогда не бывает положительным. Таким образом, у этого неравенства нет решений.
Ответ: $x \in \emptyset$ (нет решений).

б) $ax^2 + bx + c < 0$
Неравенство спрашивает, при каких значениях $x$ график функции находится ниже оси Ox. Как мы установили, вся парабола целиком расположена ниже оси Ox. Это означает, что данное неравенство выполняется для любого действительного значения $x$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

в) $ax^2 + bx + c \geq 0$
Неравенство спрашивает, при каких значениях $x$ график функции находится на оси Ox или выше нее. Так как парабола не пересекает ось Ox ($D < 0$) и расположена под ней ($a < 0$), значение выражения $ax^2 + bx + c$ никогда не равно нулю и никогда не бывает положительным. Следовательно, у неравенства нет решений.
Ответ: $x \in \emptyset$ (нет решений).

г) $ax^2 + bx + c \leq 0$
Неравенство спрашивает, при каких значениях $x$ график функции находится на оси Ox или ниже нее. Поскольку вся парабола находится строго ниже оси Ox, условие $ax^2 + bx + c < 0$ выполняется для всех $x$. Условие $ax^2 + bx + c = 0$ не выполняется ни при каком $x$. Объединение этих условий ($< $ или $= $) дает множество всех действительных чисел.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

37.9 а) $3x^2 + x + 2 > 0;$

б) $5x^2 - 2x + 1 \ge 0;$

в) $7x^2 - x + 3 \le 0;$

г) $2x^2 + 5x + 10 < 0.$

а) $3x^2 + x + 2 > 0$

Для решения данного квадратного неравенства рассмотрим соответствующую квадратичную функцию $y = 3x^2 + x + 2$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как старший коэффициент $a = 3$ положителен ($a > 0$).

Найдем точки пересечения параболы с осью абсцисс (осью Ox), для чего решим квадратное уравнение $3x^2 + x + 2 = 0$.

Вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 1 - 24 = -23$.

Так как дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось Ox. Поскольку ветви параболы направлены вверх, она полностью расположена выше оси Ox.

Таким образом, значение выражения $3x^2 + x + 2$ положительно при любых действительных значениях $x$. Следовательно, неравенство $3x^2 + x + 2 > 0$ выполняется для всех $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

б) $5x^2 - 2x + 1 \ge 0$

Рассмотрим квадратичную функцию $y = 5x^2 - 2x + 1$. Ветви этой параболы направлены вверх, так как старший коэффициент $a = 5$ положителен ($a > 0$).

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $5x^2 - 2x + 1 = 0$, чтобы определить точки пересечения с осью Ox.

Вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 4 - 20 = -16$.

Поскольку дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней, и парабола не пересекает ось Ox. Так как ее ветви направлены вверх, вся парабола находится выше оси Ox.

Это означает, что выражение $5x^2 - 2x + 1$ всегда принимает положительные значения. Неравенство $5x^2 - 2x + 1 \ge 0$ требует, чтобы выражение было больше или равно нулю. Так как оно всегда больше нуля, неравенство справедливо для любого действительного числа $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

в) $7x^2 - x + 3 \le 0$

Рассмотрим квадратичную функцию $y = 7x^2 - x + 3$. Старший коэффициент $a = 7 > 0$, значит, ветви параболы направлены вверх.

Найдем корни уравнения $7x^2 - x + 3 = 0$.

Вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 3 = 1 - 84 = -83$.

Дискриминант $D < 0$, следовательно, у уравнения нет действительных корней. Парабола не пересекает ось Ox и, так как ее ветви направлены вверх, полностью расположена в верхней полуплоскости (выше оси Ox).

Это значит, что выражение $7x^2 - x + 3$ всегда положительно. Неравенство $7x^2 - x + 3 \le 0$ требует, чтобы выражение было меньше или равно нулю. Поскольку выражение всегда строго больше нуля, не существует таких значений $x$, при которых неравенство выполнялось бы.

Ответ: нет решений (или $x \in \emptyset$).

г) $2x^2 + 5x + 10 < 0$

Рассмотрим квадратичную функцию $y = 2x^2 + 5x + 10$. Старший коэффициент $a = 2 > 0$, поэтому ветви параболы направлены вверх.

Найдем корни уравнения $2x^2 + 5x + 10 = 0$.

Вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 10 = 25 - 80 = -55$.

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Парабола не пересекает ось Ox и целиком лежит над ней, поскольку ее ветви направлены вверх.

Таким образом, выражение $2x^2 + 5x + 10$ всегда положительно при любом $x$. Неравенство $2x^2 + 5x + 10 < 0$ требует, чтобы выражение было отрицательным. Это невозможно, так как оно всегда положительно. Следовательно, неравенство не имеет решений.

Ответ: нет решений (или $x \in \emptyset$).

37.10 а) $-7x^2 + 5x - 2 < 0;$

б) $-3x^2 - 3x - 1 \le 0;$

в) $-2x^2 + 3x - 2 \ge 0;$

г) $-5x^2 - x - 1 > 0.$

а) Решим неравенство $-7x^2 + 5x - 2 < 0$.

Для решения этого квадратного неравенства рассмотрим соответствующую квадратичную функцию $y = -7x^2 + 5x - 2$. Графиком этой функции является парабола. Так как старший коэффициент $a = -7$ отрицательный, ветви параболы направлены вниз.

Найдем точки пересечения параболы с осью абсцисс (Ox), для чего решим квадратное уравнение $-7x^2 + 5x - 2 = 0$.

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 5^2 - 4(-7)(-2) = 25 - 56 = -31$.

Поскольку дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось Ox.

Так как ветви параболы направлены вниз и она не пересекает ось Ox, вся парабола расположена ниже оси абсцисс. Следовательно, значение функции $y = -7x^2 + 5x - 2$ является отрицательным при любом действительном значении $x$.

Таким образом, неравенство $-7x^2 + 5x - 2 < 0$ выполняется для всех $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

б) Решим неравенство $-3x^2 - 3x - 1 \le 0$.

Рассмотрим квадратичную функцию $y = -3x^2 - 3x - 1$. Это парабола с ветвями, направленными вниз, так как старший коэффициент $a = -3 < 0$.

Найдем нули функции, решив уравнение $-3x^2 - 3x - 1 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-3)^2 - 4(-3)(-1) = 9 - 12 = -3$.

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней, и парабола не пересекает ось Ox.

Поскольку ветви параболы направлены вниз и она не имеет точек пересечения с осью Ox, вся парабола находится ниже оси Ox. Это значит, что выражение $-3x^2 - 3x - 1$ всегда принимает строго отрицательные значения.

Неравенство $-3x^2 - 3x - 1 \le 0$ требует, чтобы выражение было меньше или равно нулю. Так как оно всегда меньше нуля, неравенство выполняется для всех действительных чисел.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

в) Решим неравенство $-2x^2 + 3x - 2 \ge 0$.

Рассмотрим квадратичную функцию $y = -2x^2 + 3x - 2$. Ветви соответствующей параболы направлены вниз ($a = -2 < 0$).

Найдем нули функции, решив уравнение $-2x^2 + 3x - 2 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = 3^2 - 4(-2)(-2) = 9 - 16 = -7$.

Дискриминант $D < 0$, поэтому действительных корней нет, и парабола не пересекает ось Ox.

Так как ветви направлены вниз и пересечений с осью Ox нет, вся парабола лежит ниже оси Ox. Это означает, что выражение $-2x^2 + 3x - 2$ всегда отрицательно для любого $x$.

Неравенство требует, чтобы выражение было больше или равно нулю. Поскольку оно всегда отрицательно, не существует таких значений $x$, при которых неравенство было бы верным.

Ответ: нет решений.

г) Решим неравенство $-5x^2 - x - 1 > 0$.

Рассмотрим функцию $y = -5x^2 - x - 1$. Это парабола с ветвями, направленными вниз ($a = -5 < 0$).

Найдем нули функции из уравнения $-5x^2 - x - 1 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-1)^2 - 4(-5)(-1) = 1 - 20 = -19$.

Так как $D < 0$, действительных корней нет. Парабола не пересекает ось Ox.

Поскольку ветви параболы направлены вниз и она не пересекает ось Ox, вся парабола находится ниже оси Ox. Значит, выражение $-5x^2 - x - 1$ всегда принимает отрицательные значения.

Неравенство требует, чтобы выражение было строго больше нуля. Так как оно всегда отрицательно, у неравенства нет решений.

Ответ: нет решений.

37.11 а) $x^2 - 2x - 1 > 0;$

б) $-4x^2 + 2x - \frac{1}{4} \le 0;$

в) $-x^2 - 2x + 2 < 0;$

г) $2x^2 + 2x - 1 \ge 0.$

а) $x^2 - 2x - 1 > 0$

Для решения квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 2x - 1 = 0$.

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$

Корни уравнения: $x_1 = 1 - \sqrt{2}$ и $x_2 = 1 + \sqrt{2}$.

Графиком функции $y = x^2 - 2x - 1$ является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля). Парабола пересекает ось Ox в точках $1 - \sqrt{2}$ и $1 + \sqrt{2}$.

Неравенство $x^2 - 2x - 1 > 0$ выполняется там, где график параболы находится выше оси Ox, то есть левее меньшего корня и правее большего корня.

Следовательно, решение неравенства: $x < 1 - \sqrt{2}$ или $x > 1 + \sqrt{2}$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1 - \sqrt{2}) \cup (1 + \sqrt{2}; +\infty)$.

б) $-4x^2 + 2x - \frac{1}{4} \leq 0$

Для удобства умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$4x^2 - 2x + \frac{1}{4} \geq 0$

Найдем корни уравнения $4x^2 - 2x + \frac{1}{4} = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 4 \cdot \frac{1}{4} = 4 - 4 = 0$

Так как $D = 0$, уравнение имеет один корень (или два совпадающих корня):

$x = \frac{-b}{2a} = \frac{2}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

Можно также заметить, что левая часть является полным квадратом: $4x^2 - 2x + \frac{1}{4} = (2x - \frac{1}{2})^2$.

Тогда неравенство принимает вид $(2x - \frac{1}{2})^2 \geq 0$.

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (больше или равен нулю). Следовательно, это неравенство выполняется для любых значений $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

в) $-x^2 - 2x + 2 < 0$

Умножим обе части неравенства на -1 и изменим знак неравенства:

$x^2 + 2x - 2 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 2x - 2 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12$

Корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}$

Корни: $x_1 = -1 - \sqrt{3}$ и $x_2 = -1 + \sqrt{3}$.

Графиком функции $y = x^2 + 2x - 2$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Она пересекает ось Ox в точках $-1 - \sqrt{3}$ и $-1 + \sqrt{3}$.

Неравенство $x^2 + 2x - 2 > 0$ выполняется, когда график параболы находится выше оси Ox. Это происходит при значениях $x$ левее меньшего корня и правее большего корня.

Ответ: $x \in (-\infty; -1 - \sqrt{3}) \cup (-1 + \sqrt{3}; +\infty)$.

г) $2x^2 + 2x - 1 \geq 0$

Рассмотрим соответствующее уравнение $2x^2 + 2x - 1 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 4 + 8 = 12$

Найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{3}}{2}$

Корни: $x_1 = \frac{-1 - \sqrt{3}}{2}$ и $x_2 = \frac{-1 + \sqrt{3}}{2}$.

Графиком функции $y = 2x^2 + 2x - 1$ является парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент 2 > 0). Парабола пересекает ось Ox в найденных точках.

Неравенство $2x^2 + 2x - 1 \geq 0$ выполняется там, где график параболы находится на оси Ox или выше нее. Это происходит в точках, равных корням, а также левее меньшего корня и правее большего корня.

Таким образом, решение: $x \leq \frac{-1 - \sqrt{3}}{2}$ или $x \geq \frac{-1 + \sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{-1 - \sqrt{3}}{2}] \cup [\frac{-1 + \sqrt{3}}{2}; +\infty)$.

Решите неравенство:

37.12 a) $(x - 2)(x + 3) > 0$;

б) $(x + 5)(x + 1) \le 0$;

в) $(x + 7)(x - 5) < 0$;

г) $(x - 4)(x - 6) > 0$.

а) Для решения неравенства $(x - 2)(x + 3) > 0$ воспользуемся методом интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $(x - 2)(x + 3) = 0$. Корнями являются значения, при которых каждая из скобок обращается в ноль: $x - 2 = 0 \Rightarrow x_1 = 2$ и $x + 3 = 0 \Rightarrow x_2 = -3$.
Отметим эти точки на числовой оси. Поскольку неравенство строгое ($>$), точки будут выколотыми. Они разделяют ось на три интервала: $(-\infty; -3)$, $(-3; 2)$ и $(2; +\infty)$.
Определим знак выражения $(x - 2)(x + 3)$ на каждом интервале, подставив любое значение из него:
- Для интервала $(2; +\infty)$, возьмем $x = 3$: $(3 - 2)(3 + 3) = 1 \cdot 6 = 6$. Значение положительное (+).
- Для интервала $(-3; 2)$, возьмем $x = 0$: $(0 - 2)(0 + 3) = -2 \cdot 3 = -6$. Значение отрицательное (-).
- Для интервала $(-\infty; -3)$, возьмем $x = -4$: $(-4 - 2)(-4 + 3) = (-6) \cdot (-1) = 6$. Значение положительное (+).
Нам нужно найти, где выражение больше нуля. Это происходит на интервалах, где мы получили знак "+".
Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (2; +\infty)$.

б) Решим неравенство $(x + 5)(x + 1) \le 0$ методом интервалов. Найдем корни уравнения $(x + 5)(x + 1) = 0$: $x + 5 = 0 \Rightarrow x_1 = -5$ и $x + 1 = 0 \Rightarrow x_2 = -1$.
Отметим эти точки на числовой оси. Неравенство нестрогое ($\le$), поэтому точки будут закрашенными, то есть они включаются в решение. Точки делят ось на интервалы: $(-\infty; -5]$, $[-5; -1]$ и $[-1; +\infty)$.
Определим знаки выражения $(x + 5)(x + 1)$ на интервалах:
- Для интервала $[-1; +\infty)$, возьмем $x = 0$: $(0 + 5)(0 + 1) = 5 \cdot 1 = 5$. Значение положительное (+).
- Для интервала $[-5; -1]$, возьмем $x = -2$: $(-2 + 5)(-2 + 1) = 3 \cdot (-1) = -3$. Значение отрицательное (-).
- Для интервала $(-\infty; -5]$, возьмем $x = -6$: $(-6 + 5)(-6 + 1) = (-1) \cdot (-5) = 5$. Значение положительное (+).
Нам нужно найти, где выражение меньше или равно нулю. Это интервал со знаком "-", включая его концы.
Ответ: $x \in [-5; -1]$.

в) Решим неравенство $(x + 7)(x - 5) < 0$ методом интервалов. Корни уравнения $(x + 7)(x - 5) = 0$: $x_1 = -7$ и $x_2 = 5$.
Отмечаем выколотые точки на числовой оси, так как неравенство строгое (<). Интервалы: $(-\infty; -7)$, $(-7; 5)$ и $(5; +\infty)$.
Определим знаки выражения $(x + 7)(x - 5)$ на интервалах:
- Для интервала $(5; +\infty)$, возьмем $x = 6$: $(6 + 7)(6 - 5) = 13 \cdot 1 = 13$. Значение положительное (+).
- Для интервала $(-7; 5)$, возьмем $x = 0$: $(0 + 7)(0 - 5) = 7 \cdot (-5) = -35$. Значение отрицательное (-).
- Для интервала $(-\infty; -7)$, возьмем $x = -8$: $(-8 + 7)(-8 - 5) = (-1) \cdot (-13) = 13$. Значение положительное (+).
Нам нужно найти, где выражение меньше нуля. Это интервал со знаком "-".
Ответ: $x \in (-7; 5)$.

г) Решим неравенство $(x - 4)(x - 6) > 0$ методом интервалов. Корни уравнения $(x - 4)(x - 6) = 0$: $x_1 = 4$ и $x_2 = 6$.
Отмечаем выколотые точки на числовой оси (неравенство строгое). Интервалы: $(-\infty; 4)$, $(4; 6)$ и $(6; +\infty)$.
Определим знаки выражения $(x - 4)(x - 6)$ на интервалах:
- Для интервала $(6; +\infty)$, возьмем $x = 7$: $(7 - 4)(7 - 6) = 3 \cdot 1 = 3$. Значение положительное (+).
- Для интервала $(4; 6)$, возьмем $x = 5$: $(5 - 4)(5 - 6) = 1 \cdot (-1) = -1$. Значение отрицательное (-).
- Для интервала $(-\infty; 4)$, возьмем $x = 0$: $(0 - 4)(0 - 6) = (-4) \cdot (-6) = 24$. Значение положительное (+).
Нам нужно найти, где выражение больше нуля. Это интервалы со знаком "+".
Ответ: $x \in (-\infty; 4) \cup (6; +\infty)$.

37.13 a) $ (2 - x)(x + 1) > 0; $

б) $ (x - 3)(4 - x) \le 0; $

в) $ (1 - x)(x - 2) < 0; $

г) $ (3 - x)(5 + x) \ge 0. $

а) Для решения неравенства $(2 - x)(x + 1) > 0$ применим метод интервалов.
Сначала найдем нули функции $f(x) = (2 - x)(x + 1)$, решив уравнение $(2 - x)(x + 1) = 0$.
Корни уравнения: $2 - x = 0 \Rightarrow x_1 = 2$ и $x + 1 = 0 \Rightarrow x_2 = -1$.
Отметим эти точки на числовой прямой. Они разделят ее на три интервала: $(-\infty; -1)$, $(-1; 2)$ и $(2; +\infty)$.
Теперь определим знак выражения $(2 - x)(x + 1)$ в каждом из интервалов:
- В интервале $(2; +\infty)$ возьмем $x=3$: $(2 - 3)(3 + 1) = (-1) \cdot 4 = -4$. Знак "минус".
- В интервале $(-1; 2)$ возьмем $x=0$: $(2 - 0)(0 + 1) = 2 \cdot 1 = 2$. Знак "плюс".
- В интервале $(-\infty; -1)$ возьмем $x=-2$: $(2 - (-2))(-2 + 1) = 4 \cdot (-1) = -4$. Знак "минус".
Так как знак неравенства "больше" ($>0$), нас интересует интервал, где выражение положительно.
Ответ: $x \in (-1; 2)$.

б) Для решения неравенства $(x - 3)(4 - x) \le 0$ применим метод интервалов.
Найдем нули функции $f(x) = (x - 3)(4 - x)$, решив уравнение $(x - 3)(4 - x) = 0$.
Корни уравнения: $x - 3 = 0 \Rightarrow x_1 = 3$ и $4 - x = 0 \Rightarrow x_2 = 4$.
Поскольку неравенство нестрогое ($\le$), точки $3$ и $4$ будут включены в решение. Отметим их на числовой прямой. Они разделят ее на три интервала: $(-\infty; 3]$, $[3; 4]$ и $[4; +\infty)$.
Определим знак выражения $(x - 3)(4 - x)$ в каждом из интервалов:
- В интервале $(4; +\infty)$ возьмем $x=5$: $(5 - 3)(4 - 5) = 2 \cdot (-1) = -2$. Знак "минус".
- В интервале $(3; 4)$ возьмем $x=3.5$: $(3.5 - 3)(4 - 3.5) = 0.5 \cdot 0.5 = 0.25$. Знак "плюс".
- В интервале $(-\infty; 3)$ возьмем $x=0$: $(0 - 3)(4 - 0) = -3 \cdot 4 = -12$. Знак "минус".
Так как знак неравенства "меньше или равно" ($\le 0$), нас интересуют интервалы, где выражение отрицательно, а также сами точки-нули.
Ответ: $x \in (-\infty; 3] \cup [4; +\infty)$.

в) Для решения неравенства $(1 - x)(x - 2) < 0$ применим метод интервалов.
Найдем нули функции $f(x) = (1 - x)(x - 2)$, решив уравнение $(1 - x)(x - 2) = 0$.
Корни уравнения: $1 - x = 0 \Rightarrow x_1 = 1$ и $x - 2 = 0 \Rightarrow x_2 = 2$.
Неравенство строгое (<), поэтому точки $1$ и $2$ не включаются в решение. Они разделят числовую прямую на три интервала: $(-\infty; 1)$, $(1; 2)$ и $(2; +\infty)$.
Определим знак выражения $(1 - x)(x - 2)$ в каждом из интервалов:
- В интервале $(2; +\infty)$ возьмем $x=3$: $(1 - 3)(3 - 2) = (-2) \cdot 1 = -2$. Знак "минус".
- В интервале $(1; 2)$ возьмем $x=1.5$: $(1 - 1.5)(1.5 - 2) = (-0.5) \cdot (-0.5) = 0.25$. Знак "плюс".
- В интервале $(-\infty; 1)$ возьмем $x=0$: $(1 - 0)(0 - 2) = 1 \cdot (-2) = -2$. Знак "минус".
Так как знак неравенства "меньше" ($<0$), нас интересуют интервалы, где выражение отрицательно.
Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (2; +\infty)$.

г) Для решения неравенства $(3 - x)(5 + x) \ge 0$ применим метод интервалов.
Найдем нули функции $f(x) = (3 - x)(5 + x)$, решив уравнение $(3 - x)(5 + x) = 0$.
Корни уравнения: $3 - x = 0 \Rightarrow x_1 = 3$ и $5 + x = 0 \Rightarrow x_2 = -5$.
Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), точки $3$ и $-5$ будут включены в решение. Отметим их на числовой прямой. Они разделят ее на три интервала: $(-\infty; -5]$, $[-5; 3]$ и $[3; +\infty)$.
Определим знак выражения $(3 - x)(5 + x)$ в каждом из интервалов:
- В интервале $(3; +\infty)$ возьмем $x=4$: $(3 - 4)(5 + 4) = (-1) \cdot 9 = -9$. Знак "минус".
- В интервале $(-5; 3)$ возьмем $x=0$: $(3 - 0)(5 + 0) = 3 \cdot 5 = 15$. Знак "плюс".
- В интервале $(-\infty; -5)$ возьмем $x=-6$: $(3 - (-6))(5 + (-6)) = 9 \cdot (-1) = -9$. Знак "минус".
Так как знак неравенства "больше или равно" ($\ge 0$), нас интересует интервал, где выражение положительно, а также сами точки-нули.
Ответ: $x \in [-5; 3]$.

37.14 a) $(2x + 1)(3x + 2) < 0;$

б) $(3 - 4x)(2x - 5) \le 0;$

в) $(7x + 3)(4x - 1) > 0;$

г) $(1 - 2x)(3 + x) \le 0.$

а) $(2x + 1)(3x + 2) < 0$

Для решения этого квадратного неравенства воспользуемся методом интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения, приравняв левую часть к нулю:

$(2x + 1)(3x + 2) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$2x + 1 = 0 \implies 2x = -1 \implies x_1 = -1/2$

$3x + 2 = 0 \implies 3x = -2 \implies x_2 = -2/3$

Отметим эти точки на числовой прямой. Так как $-2/3 \approx -0.67$, а $-1/2 = -0.5$, то точка $-2/3$ лежит левее точки $-1/2$. Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -2/3)$, $(-2/3; -1/2)$ и $(-1/2; +\infty)$.

Определим знак выражения в каждом интервале. Функция $y = (2x+1)(3x+2) = 6x^2 + 7x + 2$ является параболой, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен: $6 > 0$). Следовательно, знаки в интервалах чередуются: +, -, +.

Согласно условию, нам нужно найти интервал, где выражение меньше нуля ($<0$). Это интервал, где стоит знак "минус".

Таким образом, решением является интервал $(-2/3; -1/2)$. Поскольку неравенство строгое, концы интервала не включаются.

Ответ: $x \in (-2/3; -1/2)$.

б) $(3 - 4x)(2x - 5) \le 0$

Решаем неравенство методом интервалов. Находим корни уравнения:

$(3 - 4x)(2x - 5) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

$3 - 4x = 0 \implies 4x = 3 \implies x_1 = 3/4$

$2x - 5 = 0 \implies 2x = 5 \implies x_2 = 5/2 = 2.5$

Наносим точки $3/4$ и $5/2$ на числовую прямую. Они делят ее на интервалы $(-\infty; 3/4]$, $[3/4; 5/2]$ и $[5/2; +\infty)$.

Определим знаки выражения в интервалах. Функция $y = (3-4x)(2x-5) = -8x^2 + 26x - 15$ является параболой, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ отрицателен: $-8 < 0$). Значит, знаки в интервалах будут чередоваться: -, +, -.

Нам нужно найти, где выражение меньше либо равно нулю ($\le 0$). Это соответствует интервалам со знаком "минус", а также точкам, где выражение равно нулю.

Решением являются два промежутка: $(-\infty; 3/4]$ и $[5/2; +\infty)$. Неравенство нестрогое, поэтому концы интервалов (корни уравнения) включаются в решение.

Ответ: $x \in (-\infty; 3/4] \cup [5/2; +\infty)$.

в) $(7x + 3)(4x - 1) > 0$

Используем метод интервалов. Найдем корни:

$(7x + 3)(4x - 1) = 0$

Корни уравнения:

$7x + 3 = 0 \implies 7x = -3 \implies x_1 = -3/7$

$4x - 1 = 0 \implies 4x = 1 \implies x_2 = 1/4$

Отметим точки $-3/7$ и $1/4$ на числовой прямой. Они разбивают ее на интервалы $(-\infty; -3/7)$, $(-3/7; 1/4)$ и $(1/4; +\infty)$.

Функция $y = (7x+3)(4x-1) = 28x^2 + 5x - 3$ — парабола с ветвями вверх ($28 > 0$). Знаки в интервалах чередуются: +, -, +.

Нам нужно найти, где выражение больше нуля ($>0$). Выбираем интервалы со знаком "плюс".

Решением являются интервалы $(-\infty; -3/7)$ и $(1/4; +\infty)$. Неравенство строгое, поэтому концы интервалов не включаются.

Ответ: $x \in (-\infty; -3/7) \cup (1/4; +\infty)$.

г) $(1 - 2x)(3 + x) \le 0$

Снова применяем метод интервалов. Находим корни уравнения:

$(1 - 2x)(3 + x) = 0$

Корни уравнения:

$1 - 2x = 0 \implies 2x = 1 \implies x_1 = 1/2$

$3 + x = 0 \implies x_2 = -3$

Отмечаем на числовой прямой точки $-3$ и $1/2$. Они делят ее на интервалы $(-\infty; -3]$, $[-3; 1/2]$ и $[1/2; +\infty)$.

Определим знаки. Функция $y = (1-2x)(3+x) = -2x^2 - 5x + 3$ является параболой с ветвями, направленными вниз (коэффициент при $x^2$ равен $-2$, что меньше нуля). Следовательно, знаки в интервалах чередуются в порядке: -, +, -.

Нам нужно найти, где выражение меньше либо равно нулю ($\le 0$). Это соответствует интервалам со знаком "минус" и самим корням.

Решением являются промежутки $(-\infty; -3]$ и $[1/2; +\infty)$. Неравенство нестрогое, поэтому концы интервалов включаются в ответ.

Ответ: $x \in (-\infty; -3] \cup [1/2; +\infty)$.

37.15 a) $x^2 - 36 > 0;$

б) $x^2 + 7 < 0;$

в) $x^2 - 25 < 0;$

г) $x^2 + 15 > 0.$

а) $x^2 - 36 > 0$

Для решения этого квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 36 = 0$.

Это уравнение можно решить, перенеся 36 в правую часть:

$x^2 = 36$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = \sqrt{36} = 6$ и $x_2 = -\sqrt{36} = -6$.

Эти корни разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty, -6)$, $(-6, 6)$ и $(6, +\infty)$.

Функция $y = x^2 - 36$ представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен. Это означает, что функция принимает положительные значения вне интервала между корнями и отрицательные значения внутри этого интервала.

Нас интересует, где $x^2 - 36 > 0$, то есть где функция положительна. Это происходит на интервалах $(-\infty, -6)$ и $(6, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -6) \cup (6; +\infty)$

б) $x^2 + 7 < 0$

Рассмотрим выражение в левой части неравенства: $x^2 + 7$.

Квадрат любого действительного числа $x$ всегда неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$.

Если к неотрицательному числу $x^2$ прибавить положительное число 7, то результат всегда будет больше или равен 7:

$x^2 + 7 \ge 0 + 7 = 7$

Таким образом, выражение $x^2 + 7$ всегда положительно и его наименьшее значение равно 7. Следовательно, оно никогда не может быть меньше нуля.

Ответ: решений нет.

в) $x^2 - 25 < 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни уравнения $x^2 - 25 = 0$.

Перенесем 25 в правую часть:

$x^2 = 25$

Корни уравнения: $x_1 = 5$ и $x_2 = -5$.

Эти корни разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty, -5)$, $(-5, 5)$ и $(5, +\infty)$.

Функция $y = x^2 - 25$ — это парабола с ветвями, направленными вверх. Значит, функция принимает отрицательные значения на интервале между корнями.

Нас интересует, где $x^2 - 25 < 0$, то есть где функция отрицательна. Это происходит на интервале $(-5, 5)$.

Ответ: $x \in (-5; 5)$

г) $x^2 + 15 > 0$

Рассмотрим выражение в левой части неравенства: $x^2 + 15$.

Выражение $x^2$ всегда неотрицательно для любого действительного числа $x$: $x^2 \ge 0$.

Сумма неотрицательного числа $x^2$ и положительного числа 15 всегда будет положительна:

$x^2 + 15 \ge 0 + 15 = 15$

Так как $x^2 + 15$ всегда больше или равно 15, то это выражение всегда больше 0 для любого значения $x$.

Ответ: $x$ — любое действительное число, или $x \in (-\infty; +\infty)$.

37.16 a) $4x^2 - 9 < 0;$

б) $16 - 25x^2 \leq 0;$

в) $25x^2 - 36 > 0;$

г) $64 - 49x^2 \geq 0.$

а)

Для решения неравенства $4x^2 - 9 < 0$ сначала найдем корни соответствующего уравнения $4x^2 - 9 = 0$.

Левая часть уравнения представляет собой разность квадратов: $(2x)^2 - 3^2 = 0$.

Разложим на множители: $(2x - 3)(2x + 3) = 0$.

Отсюда находим корни: $x_1 = -3/2 = -1,5$ и $x_2 = 3/2 = 1,5$.

Функция $y = 4x^2 - 9$ является квадратичной, ее график — парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^2$ положителен: $4 > 0$).

Следовательно, значения функции отрицательны на интервале между корнями.

Поскольку неравенство строгое (<), сами корни не включаются в решение.

Ответ: $x \in (-1,5; 1,5)$.

б)

Для решения неравенства $16 - 25x^2 \le 0$ найдем корни уравнения $16 - 25x^2 = 0$.

Используя формулу разности квадратов, получаем: $4^2 - (5x)^2 = 0$, или $(4 - 5x)(4 + 5x) = 0$.

Корни уравнения: $x_1 = -4/5 = -0,8$ и $x_2 = 4/5 = 0,8$.

Функция $y = 16 - 25x^2$ — это парабола, ветви которой направлены вниз (так как коэффициент при $x^2$ отрицателен: $-25 < 0$).

Значит, значения функции отрицательны или равны нулю вне интервала между корнями.

Поскольку неравенство нестрогое ($\le$), корни включаются в решение.

Ответ: $x \in (-\infty; -0,8] \cup [0,8; \infty)$.

в)

Для решения неравенства $25x^2 - 36 > 0$ найдем корни уравнения $25x^2 - 36 = 0$.

Разложим левую часть по формуле разности квадратов: $(5x)^2 - 6^2 = 0$, или $(5x - 6)(5x + 6) = 0$.

Корни уравнения: $x_1 = -6/5 = -1,2$ и $x_2 = 6/5 = 1,2$.

Функция $y = 25x^2 - 36$ — это парабола с ветвями, направленными вверх ($25 > 0$). Следовательно, значения функции положительны вне интервала между корнями.

Так как неравенство строгое ($>$), сами корни в решение не входят.

Ответ: $x \in (-\infty; -1,2) \cup (1,2; \infty)$.

г)

Для решения неравенства $64 - 49x^2 \ge 0$ найдем корни уравнения $64 - 49x^2 = 0$.

Разложим левую часть на множители: $8^2 - (7x)^2 = 0$, или $(8 - 7x)(8 + 7x) = 0$.

Корни уравнения: $x_1 = -8/7$ и $x_2 = 8/7$.

Функция $y = 64 - 49x^2$ — это парабола с ветвями, направленными вниз ($-49 < 0$). Следовательно, значения функции положительны или равны нулю на интервале между корнями.

Так как неравенство нестрогое ($\ge$), решением является отрезок, включающий концы.

Ответ: $x \in [-8/7; 8/7]$.

37.17 a) $x^2 \le 100$;

б) $4x^2 > 25$;

в) $x^2 \ge 625$;

г) $16x^2 < 47$.

а) $x^2 \le 100$

Это квадратичное неравенство. Для его решения можно применить один из следующих методов.

Метод 1: Метод интервалов.

Перенесем 100 в левую часть неравенства, чтобы получить ноль в правой части:

$x^2 - 100 \le 0$

Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x - 10)(x + 10) \le 0$

Найдем корни соответствующего уравнения $(x - 10)(x + 10) = 0$. Корнями являются $x_1 = 10$ и $x_2 = -10$.

Отметим эти точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на три интервала. График функции $y = x^2 - 100$ — это парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, значения функции меньше или равны нулю на промежутке между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решение неравенства — это все $x$, удовлетворяющие условию $-10 \le x \le 10$.

Метод 2: С использованием модуля.

Неравенство вида $x^2 \le a$ (где $a > 0$) равносильно неравенству $|x| \le \sqrt{a}$.

В нашем случае $x^2 \le 100$, значит $|x| \le \sqrt{100}$, то есть $|x| \le 10$.

По определению модуля, это неравенство равносильно двойному неравенству $-10 \le x \le 10$.

Ответ: $x \in [-10; 10]$.

б) $4x^2 > 25$

Сначала разделим обе части неравенства на 4:

$x^2 > \frac{25}{4}$

Метод 1: Метод интервалов.

Перенесем все в левую часть:

$x^2 - \frac{25}{4} > 0$

Разложим на множители, используя формулу разности квадратов и тот факт, что $\frac{25}{4} = (\frac{5}{2})^2$:

$(x - \frac{5}{2})(x + \frac{5}{2}) > 0$

Корни соответствующего уравнения $(x - \frac{5}{2})(x + \frac{5}{2}) = 0$ равны $x_1 = \frac{5}{2}$ (или 2.5) и $x_2 = -\frac{5}{2}$ (или -2.5).

График функции $y = x^2 - \frac{25}{4}$ — парабола с ветвями вверх. Значения функции строго больше нуля вне промежутка между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $x < -\frac{5}{2}$ или $x > \frac{5}{2}$.

Метод 2: С использованием модуля.

Неравенство вида $x^2 > a$ (где $a > 0$) равносильно $|x| > \sqrt{a}$, что, в свою очередь, означает $x > \sqrt{a}$ или $x < -\sqrt{a}$.

В нашем случае $x^2 > \frac{25}{4}$, значит $|x| > \sqrt{\frac{25}{4}}$, то есть $|x| > \frac{5}{2}$.

Это равносильно совокупности $x > \frac{5}{2}$ или $x < -\frac{5}{2}$.

Ответ: $(-\infty; -2.5) \cup (2.5; \infty)$.

в) $x^2 \ge 625$

Это квадратичное неравенство вида $x^2 \ge a$.

Метод 1: Метод интервалов.

Перенесем 625 в левую часть:

$x^2 - 625 \ge 0$

Заметим, что $625 = 25^2$. Разложим левую часть на множители:

$(x - 25)(x + 25) \ge 0$

Корни соответствующего уравнения $(x - 25)(x + 25) = 0$ равны $x_1 = 25$ и $x_2 = -25$.

График функции $y = x^2 - 625$ — парабола с ветвями вверх. Значения функции больше или равны нулю при значениях $x$ на лучах вне промежутка между корнями, включая сами корни.

Следовательно, решение неравенства: $x \le -25$ или $x \ge 25$.

Метод 2: С использованием модуля.

Неравенство вида $x^2 \ge a$ (где $a > 0$) равносильно $|x| \ge \sqrt{a}$, что означает $x \ge \sqrt{a}$ или $x \le -\sqrt{a}$.

В данном случае $x^2 \ge 625$, значит $|x| \ge \sqrt{625}$, то есть $|x| \ge 25$.

Это равносильно совокупности $x \ge 25$ или $x \le -25$.

Ответ: $(-\infty; -25] \cup [25; \infty)$.

г) $16x^2 < 47$

Разделим обе части неравенства на 16:

$x^2 < \frac{47}{16}$

Метод 1: Метод интервалов.

Перенесем все в левую часть:

$x^2 - \frac{47}{16} < 0$

Разложим левую часть на множители. Корни уравнения $x^2 - \frac{47}{16} = 0$ равны $x = \pm\sqrt{\frac{47}{16}} = \pm\frac{\sqrt{47}}{4}$.

Таким образом, неравенство принимает вид: $(x - \frac{\sqrt{47}}{4})(x + \frac{\sqrt{47}}{4}) < 0$.

График функции $y = x^2 - \frac{47}{16}$ — парабола с ветвями вверх. Значения функции строго меньше нуля на интервале между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $-\frac{\sqrt{47}}{4} < x < \frac{\sqrt{47}}{4}$.

Метод 2: С использованием модуля.

Неравенство вида $x^2 < a$ (где $a > 0$) равносильно $|x| < \sqrt{a}$.

В нашем случае $x^2 < \frac{47}{16}$, значит $|x| < \sqrt{\frac{47}{16}}$, то есть $|x| < \frac{\sqrt{47}}{4}$.

Это неравенство равносильно двойному неравенству $-\frac{\sqrt{47}}{4} < x < \frac{\sqrt{47}}{4}$.

Ответ: $(-\frac{\sqrt{47}}{4}; \frac{\sqrt{47}}{4})$.

37.18 а) $x^2 - 5x > 0$;

б) $x^2 + 0.5x \le 0$;

в) $x^2 + 8x < 0$;

г) $x^2 - 2.3x \ge 0$.

а)

Для решения неравенства $x^2 - 5x > 0$ найдем сначала корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 5x = 0$.

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 5) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 5$.

Эти корни разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; 0)$, $(0; 5)$ и $(5; +\infty)$.

Рассмотрим функцию $y = x^2 - 5x$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительный). Следовательно, выражение $x^2 - 5x$ принимает положительные значения на интервалах вне корней, то есть при $x < 0$ и при $x > 5$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (5; +\infty)$.

б)

Решим неравенство $x^2 + 0.5x \le 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 0.5x = 0$.

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x + 0.5) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = -0.5$.

Ветви параболы $y = x^2 + 0.5x$ направлены вверх. Значит, выражение $x^2 + 0.5x$ принимает неположительные значения (меньше или равно нулю) на отрезке между корнями, включая сами корни.

Неравенство выполняется при $-0.5 \le x \le 0$.

Ответ: $x \in [-0.5; 0]$.

в)

Решим неравенство $x^2 + 8x < 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 8x = 0$.

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x + 8) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = -8$.

Ветви параболы $y = x^2 + 8x$ направлены вверх. Выражение $x^2 + 8x$ принимает отрицательные значения на интервале между корнями.

Неравенство выполняется при $-8 < x < 0$.

Ответ: $x \in (-8; 0)$.

г)

Решим неравенство $x^2 - 2.3x \ge 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 2.3x = 0$.

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x - 2.3) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2.3$.

Ветви параболы $y = x^2 - 2.3x$ направлены вверх. Выражение $x^2 - 2.3x$ принимает неотрицательные значения (больше или равно нулю) вне отрезка между корнями, включая сами корни.

Неравенство выполняется при $x \le 0$ или $x \ge 2.3$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0] \cup [2.3; +\infty)$.

37.19 a) $x^2 \ge 25x$;

б) $0,3x^2 < 0,6x$;

в) $x^2 \le 36x$;

г) $0,2x^2 > 1,8x$.

а) Для решения неравенства $x^2 \ge 25x$ перенесем все его члены в одну сторону, чтобы получить квадратичное неравенство, сравненное с нулем.
$x^2 - 25x \ge 0$
Теперь разложим левую часть на множители, вынеся общий множитель $x$ за скобки:
$x(x - 25) \ge 0$
Для решения этого неравенства используем метод интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $x(x - 25) = 0$.
Корнями являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 25$.
Эти корни разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty, 0)$, $(0, 25)$ и $(25, +\infty)$.
Определим знак выражения $x(x - 25)$ в каждом интервале.
- При $x < 0$ (например, $x = -1$): $(-1)(-1 - 25) = (-1)(-26) = 26 > 0$. Знак "+".
- При $0 < x < 25$ (например, $x = 1$): $1(1 - 25) = 1(-24) = -24 < 0$. Знак "-".
- При $x > 25$ (например, $x = 30$): $30(30 - 25) = 30(5) = 150 > 0$. Знак "+".
Нам нужно найти, где выражение больше или равно нулю ($ \ge 0 $). Это происходит на интервалах $(-\infty, 0]$ и $[25, +\infty)$. Скобки квадратные, так как неравенство нестрогое и включает концы интервалов.
Ответ: $(-\infty, 0] \cup [25, +\infty)$.

б) Решим неравенство $0,3x^2 < 0,6x$.
Перенесем все члены в левую часть:
$0,3x^2 - 0,6x < 0$
Для удобства разделим обе части неравенства на $0,3$. Так как $0,3 > 0$, знак неравенства не изменится.
$x^2 - 2x < 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(x - 2) < 0$
Найдем корни уравнения $x(x - 2) = 0$. Это $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.
Эти точки делят числовую ось на интервалы $(-\infty, 0)$, $(0, 2)$ и $(2, +\infty)$.
Определим знак выражения $x(x - 2)$ на этих интервалах.
- При $x < 0$: знак "+".
- При $0 < x < 2$: знак "-".
- При $x > 2$: знак "+".
Нам нужно найти, где выражение меньше нуля ($ < 0 $). Это интервал $(0, 2)$. Скобки круглые, так как неравенство строгое.
Ответ: $(0, 2)$.

в) Решим неравенство $x^2 \le 36x$.
Перенесем все члены в левую часть:
$x^2 - 36x \le 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(x - 36) \le 0$
Найдем корни соответствующего уравнения $x(x - 36) = 0$. Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 36$.
Рассмотрим функцию $y = x^2 - 36x$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции меньше или равны нулю ($y \le 0$) на отрезке между корнями.
Следовательно, решение неравенства — это все $x$, удовлетворяющие условию $0 \le x \le 36$.
Ответ: $[0, 36]$.

г) Решим неравенство $0,2x^2 > 1,8x$.
Перенесем все члены в левую часть:
$0,2x^2 - 1,8x > 0$
Разделим обе части неравенства на $0,2$, знак неравенства при этом не меняется.
$x^2 - 9x > 0$
Разложим на множители:
$x(x - 9) > 0$
Найдем корни уравнения $x(x - 9) = 0$: $x_1 = 0$ и $x_2 = 9$.
Рассмотрим параболу $y = x^2 - 9x$ с ветвями вверх. Значения функции больше нуля ($y > 0$) на интервалах, находящихся за пределами корней.
Таким образом, решение неравенства — это объединение двух интервалов: $x < 0$ или $x > 9$.
Ответ: $(-\infty, 0) \cup (9, +\infty)$.

37.20 При каких значениях x:

a) трёхчлен $2x^2 + 5x + 3$ принимает положительные значения;

b) трёхчлен $-x^2 - \frac{1}{3}x - \frac{1}{36}$ принимает неотрицательные значения?

а) Чтобы трёхчлен $2x^2 + 5x + 3$ принимал положительные значения, необходимо решить неравенство:

$2x^2 + 5x + 3 > 0$

Для решения этого квадратного неравенства сначала найдём корни соответствующего уравнения $2x^2 + 5x + 3 = 0$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдём их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 - 1}{4} = \frac{-6}{4} = -1.5$

$x_2 = \frac{-5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 1}{4} = \frac{-4}{4} = -1$

Функция $y = 2x^2 + 5x + 3$ представляет собой параболу. Так как старший коэффициент $a = 2$ положителен, ветви параболы направлены вверх. Парабола пересекает ось Ох в точках $x = -1.5$ и $x = -1$.

Положительные значения функция принимает тогда, когда её график лежит выше оси Ох. Для параболы с ветвями вверх это происходит на интервалах левее меньшего корня и правее большего корня.

Таким образом, решение неравенства: $x < -1.5$ или $x > -1$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1.5) \cup (-1; +\infty)$.

б) Чтобы трёхчлен $-x^2 - \frac{1}{3}x - \frac{1}{36}$ принимал неотрицательные значения, необходимо решить неравенство:

$-x^2 - \frac{1}{3}x - \frac{1}{36} \ge 0$

Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив при этом знак неравенства на противоположный:

$x^2 + \frac{1}{3}x + \frac{1}{36} \le 0$

Рассмотрим левую часть неравенства. Она представляет собой полный квадрат суммы, так как соответствует формуле $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$, где $a=x$ и $b=\frac{1}{6}$:

$(x + \frac{1}{6})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{6} + (\frac{1}{6})^2 = x^2 + \frac{1}{3}x + \frac{1}{36}$

Тогда неравенство можно переписать в виде:

$(x + \frac{1}{6})^2 \le 0$

Выражение в левой части, будучи квадратом действительного числа, всегда неотрицательно, то есть $(x + \frac{1}{6})^2 \ge 0$ для любого значения x.

Следовательно, неравенство $(x + \frac{1}{6})^2 \le 0$ может выполняться только в одном случае: когда левая часть равна нулю.

$(x + \frac{1}{6})^2 = 0$

Отсюда получаем:

$x + \frac{1}{6} = 0$

$x = -\frac{1}{6}$

Ответ: $x = -\frac{1}{6}$.