Номер 37.20, страница 206, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 37. Решение квадратных неравенств. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 37.20, страница 206.

Условие.

37.20 При каких значениях x:

a) трёхчлен $2x^2 + 5x + 3$ принимает положительные значения;

b) трёхчлен $-x^2 - \frac{1}{3}x - \frac{1}{36}$ принимает неотрицательные значения?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы трёхчлен $2x^2 + 5x + 3$ принимал положительные значения, необходимо решить неравенство:

$2x^2 + 5x + 3 > 0$

Для решения этого квадратного неравенства сначала найдём корни соответствующего уравнения $2x^2 + 5x + 3 = 0$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдём их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 - 1}{4} = \frac{-6}{4} = -1.5$

$x_2 = \frac{-5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 1}{4} = \frac{-4}{4} = -1$

Функция $y = 2x^2 + 5x + 3$ представляет собой параболу. Так как старший коэффициент $a = 2$ положителен, ветви параболы направлены вверх. Парабола пересекает ось Ох в точках $x = -1.5$ и $x = -1$.

Положительные значения функция принимает тогда, когда её график лежит выше оси Ох. Для параболы с ветвями вверх это происходит на интервалах левее меньшего корня и правее большего корня.

Таким образом, решение неравенства: $x < -1.5$ или $x > -1$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1.5) \cup (-1; +\infty)$.

б) Чтобы трёхчлен $-x^2 - \frac{1}{3}x - \frac{1}{36}$ принимал неотрицательные значения, необходимо решить неравенство:

$-x^2 - \frac{1}{3}x - \frac{1}{36} \ge 0$

Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив при этом знак неравенства на противоположный:

$x^2 + \frac{1}{3}x + \frac{1}{36} \le 0$

Рассмотрим левую часть неравенства. Она представляет собой полный квадрат суммы, так как соответствует формуле $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$, где $a=x$ и $b=\frac{1}{6}$:

$(x + \frac{1}{6})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{6} + (\frac{1}{6})^2 = x^2 + \frac{1}{3}x + \frac{1}{36}$

Тогда неравенство можно переписать в виде:

$(x + \frac{1}{6})^2 \le 0$

Выражение в левой части, будучи квадратом действительного числа, всегда неотрицательно, то есть $(x + \frac{1}{6})^2 \ge 0$ для любого значения x.

Следовательно, неравенство $(x + \frac{1}{6})^2 \le 0$ может выполняться только в одном случае: когда левая часть равна нулю.

$(x + \frac{1}{6})^2 = 0$

Отсюда получаем:

$x + \frac{1}{6} = 0$

$x = -\frac{1}{6}$

Ответ: $x = -\frac{1}{6}$.