Номер 37.19, страница 206, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 37. Решение квадратных неравенств. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 37.19, страница 206.

Условие.

37.19 a) $x^2 \ge 25x$;

б) $0,3x^2 < 0,6x$;

в) $x^2 \le 36x$;

г) $0,2x^2 > 1,8x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Для решения неравенства $x^2 \ge 25x$ перенесем все его члены в одну сторону, чтобы получить квадратичное неравенство, сравненное с нулем.
$x^2 - 25x \ge 0$
Теперь разложим левую часть на множители, вынеся общий множитель $x$ за скобки:
$x(x - 25) \ge 0$
Для решения этого неравенства используем метод интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $x(x - 25) = 0$.
Корнями являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 25$.
Эти корни разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty, 0)$, $(0, 25)$ и $(25, +\infty)$.
Определим знак выражения $x(x - 25)$ в каждом интервале.
- При $x < 0$ (например, $x = -1$): $(-1)(-1 - 25) = (-1)(-26) = 26 > 0$. Знак "+".
- При $0 < x < 25$ (например, $x = 1$): $1(1 - 25) = 1(-24) = -24 < 0$. Знак "-".
- При $x > 25$ (например, $x = 30$): $30(30 - 25) = 30(5) = 150 > 0$. Знак "+".
Нам нужно найти, где выражение больше или равно нулю ($ \ge 0 $). Это происходит на интервалах $(-\infty, 0]$ и $[25, +\infty)$. Скобки квадратные, так как неравенство нестрогое и включает концы интервалов.
Ответ: $(-\infty, 0] \cup [25, +\infty)$.

б) Решим неравенство $0,3x^2 < 0,6x$.
Перенесем все члены в левую часть:
$0,3x^2 - 0,6x < 0$
Для удобства разделим обе части неравенства на $0,3$. Так как $0,3 > 0$, знак неравенства не изменится.
$x^2 - 2x < 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(x - 2) < 0$
Найдем корни уравнения $x(x - 2) = 0$. Это $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.
Эти точки делят числовую ось на интервалы $(-\infty, 0)$, $(0, 2)$ и $(2, +\infty)$.
Определим знак выражения $x(x - 2)$ на этих интервалах.
- При $x < 0$: знак "+".
- При $0 < x < 2$: знак "-".
- При $x > 2$: знак "+".
Нам нужно найти, где выражение меньше нуля ($ < 0 $). Это интервал $(0, 2)$. Скобки круглые, так как неравенство строгое.
Ответ: $(0, 2)$.

в) Решим неравенство $x^2 \le 36x$.
Перенесем все члены в левую часть:
$x^2 - 36x \le 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(x - 36) \le 0$
Найдем корни соответствующего уравнения $x(x - 36) = 0$. Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 36$.
Рассмотрим функцию $y = x^2 - 36x$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции меньше или равны нулю ($y \le 0$) на отрезке между корнями.
Следовательно, решение неравенства — это все $x$, удовлетворяющие условию $0 \le x \le 36$.
Ответ: $[0, 36]$.

г) Решим неравенство $0,2x^2 > 1,8x$.
Перенесем все члены в левую часть:
$0,2x^2 - 1,8x > 0$
Разделим обе части неравенства на $0,2$, знак неравенства при этом не меняется.
$x^2 - 9x > 0$
Разложим на множители:
$x(x - 9) > 0$
Найдем корни уравнения $x(x - 9) = 0$: $x_1 = 0$ и $x_2 = 9$.
Рассмотрим параболу $y = x^2 - 9x$ с ветвями вверх. Значения функции больше нуля ($y > 0$) на интервалах, находящихся за пределами корней.
Таким образом, решение неравенства — это объединение двух интервалов: $x < 0$ или $x > 9$.
Ответ: $(-\infty, 0) \cup (9, +\infty)$.