Номер 37.26, страница 207, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 37. Решение квадратных неравенств. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 37.26, страница 207.

Условие.

37.26 а) $\sqrt{(x-3)(x+2)};$

б) $(\sqrt{(x-1)(2-x)})^{-1};$

в) $\sqrt{(x+5)(4-x)};$

г) $(\sqrt{(x-6)(2x+3)})^{-1}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Для того чтобы функция $y = \sqrt{(x - 3)(x + 2)}$ была определена, выражение, находящееся под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным. Это приводит к следующему неравенству:

$(x - 3)(x + 2) \ge 0$

Для решения этого квадратичного неравенства используем метод интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $(x - 3)(x + 2) = 0$. Корнями являются $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.

Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty, -2]$, $[-2, 3]$ и $[3, \infty)$. Графиком функции $f(x) = (x - 3)(x + 2)$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен. Следовательно, функция принимает неотрицательные значения на интервалах, расположенных вне корней.

Таким образом, область определения функции: $x \in (-\infty, -2] \cup [3, \infty)$.

Ответ: $(-\infty, -2] \cup [3, \infty)$.

б)

Данная функция $y = (\sqrt{(x - 1)(2 - x)})^{-1}$ может быть переписана в виде дроби:

$y = \frac{1}{\sqrt{(x - 1)(2 - x)}}$

Для определения области определения этой функции необходимо выполнение двух условий:
1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $(x - 1)(2 - x) \ge 0$.
2. Знаменатель дроби не должен равняться нулю, что означает, что выражение под корнем должно быть строго больше нуля.

Объединяя эти условия, получаем строгое неравенство:

$(x - 1)(2 - x) > 0$

Найдем корни уравнения $(x - 1)(2 - x) = 0$. Корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$. Графиком функции $f(x) = (x - 1)(2 - x) = -x^2 + 3x - 2$ является парабола, ветви которой направлены вниз. Следовательно, функция принимает положительные значения на интервале между корнями.

Таким образом, область определения функции: $x \in (1, 2)$.

Ответ: $(1, 2)$.

в)

Для функции $y = \sqrt{(x + 5)(4 - x)}$ выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$(x + 5)(4 - x) \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни уравнения $(x + 5)(4 - x) = 0$. Корнями являются $x_1 = -5$ и $x_2 = 4$.

Графиком функции $f(x) = (x + 5)(4 - x) = -x^2 - x + 20$ является парабола, ветви которой направлены вниз. Это означает, что функция принимает неотрицательные значения на интервале между корнями, включая сами корни.

Таким образом, область определения функции: $x \in [-5, 4]$.

Ответ: $[-5, 4]$.

г)

Функцию $y = (\sqrt{(x - 6)(2x + 3)})^{-1}$ можно записать в виде:

$y = \frac{1}{\sqrt{(x - 6)(2x + 3)}}$

Поскольку квадратный корень находится в знаменателе, выражение под корнем должно быть строго положительным:

$(x - 6)(2x + 3) > 0$

Найдем корни уравнения $(x - 6)(2x + 3) = 0$. Корнями являются $x_1 = 6$ и $x_2 = -3/2 = -1.5$.

Графиком функции $f(x) = (x - 6)(2x + 3) = 2x^2 - 9x - 18$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, функция принимает положительные значения на интервалах вне корней.

Таким образом, область определения функции: $x \in (-\infty, -1.5) \cup (6, \infty)$.

Ответ: $(-\infty, -1.5) \cup (6, \infty)$.