Номер 37.33, страница 208, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 37. Решение квадратных неравенств. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 37.33, страница 208.

Условие.

37.33 Равносильны ли неравенства:

а) $ \frac{1}{x^2 - 5x - 14} > 0 $ и $ \frac{1}{x^2 - 5x - 14} \ge 0; $

б) $ x^2 + 6x - 16 < 0 $ и $ x^2 + 6x - 16 \le 0; $

в) $ x^2 - 6x + 8 \ge 0 $ и $ (x^2 - 6x + 8)^{-1} \ge 0; $

г) $ \frac{3}{x^2 - 7x - 10} < 0 $ и $ \frac{x^2 - 7x - 10}{3} < 0? $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают. Чтобы определить, равносильны ли данные пары неравенств, найдем множества решений для каждого из них и сравним их.

а) Сравним неравенства $\frac{1}{x^2 - 5x - 14} > 0$ и $\frac{1}{x^2 - 5x - 14} \ge 0$.

Решим первое неравенство: $\frac{1}{x^2 - 5x - 14} > 0$.
Так как числитель дроби (1) — положительное число, для выполнения неравенства необходимо, чтобы знаменатель также был положительным: $x^2 - 5x - 14 > 0$.
Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 5x - 14 = 0$. Используя теорему Виета или формулу корней, получаем $x_1 = -2$ и $x_2 = 7$.
График функции $y = x^2 - 5x - 14$ — это парабола с ветвями вверх, поэтому она принимает положительные значения вне интервала между корнями. Следовательно, множество решений первого неравенства: $x \in (-\infty, -2) \cup (7, +\infty)$.

Решим второе неравенство: $\frac{1}{x^2 - 5x - 14} \ge 0$.
Дробь не может равняться нулю, так как ее числитель равен 1. Поэтому данное неравенство равносильно строгому неравенству $\frac{1}{x^2 - 5x - 14} > 0$.
Решение этого неравенства, как мы уже выяснили, $x \in (-\infty, -2) \cup (7, +\infty)$.

Поскольку множества решений обоих неравенств совпадают, они являются равносильными.
Ответ: Да, равносильны.

б) Сравним неравенства $x^2 + 6x - 16 < 0$ и $x^2 + 6x - 16 \le 0$.

Решим первое неравенство: $x^2 + 6x - 16 < 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 + 6x - 16 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -8$ и $x_2 = 2$.
График функции $y = x^2 + 6x - 16$ — парабола с ветвями вверх, поэтому она принимает отрицательные значения в интервале между корнями. Множество решений первого неравенства: $x \in (-8, 2)$.

Решим второе неравенство: $x^2 + 6x - 16 \le 0$.
Данное неравенство выполняется для значений $x$ между корнями, включая сами корни. Множество решений второго неравенства: $x \in [-8, 2]$.

Множество решений первого неравенства $(-8, 2)$ не совпадает с множеством решений второго неравенства $[-8, 2]$, так как второе множество включает концы отрезка, а первое — нет. Следовательно, неравенства не равносильны.
Ответ: Нет, не равносильны.

в) Сравним неравенства $x^2 - 6x + 8 \ge 0$ и $(x^2 - 6x + 8)^{-1} \ge 0$.

Решим первое неравенство: $x^2 - 6x + 8 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 6x + 8 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$.
График функции $y = x^2 - 6x + 8$ — парабола с ветвями вверх, поэтому она принимает неотрицательные значения вне интервала между корнями, включая сами корни. Множество решений первого неравенства: $x \in (-\infty, 2] \cup [4, +\infty)$.

Решим второе неравенство: $(x^2 - 6x + 8)^{-1} \ge 0$.
Перепишем его в виде дроби: $\frac{1}{x^2 - 6x + 8} \ge 0$.
Эта дробь не может равняться нулю. Значит, неравенство равносильно строгому неравенству $\frac{1}{x^2 - 6x + 8} > 0$, что, в свою очередь, равносильно $x^2 - 6x + 8 > 0$. Множество решений этого неравенства: $x \in (-\infty, 2) \cup (4, +\infty)$.

Множества решений $(-\infty, 2] \cup [4, +\infty)$ и $(-\infty, 2) \cup (4, +\infty)$ не совпадают, так как первое включает точки $x=2$ и $x=4$, а второе — нет. Следовательно, неравенства не равносильны.
Ответ: Нет, не равносильны.

г) Сравним неравенства $\frac{3}{x^2 - 7x - 10} < 0$ и $\frac{x^2 - 7x - 10}{3} < 0$.

Решим первое неравенство: $\frac{3}{x^2 - 7x - 10} < 0$.
Так как числитель (3) — положительное число, дробь будет отрицательной, если ее знаменатель отрицателен: $x^2 - 7x - 10 < 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 7x - 10 = 0$. Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 49 + 40 = 89$. Корни: $x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{89}}{2}$.
Парабола $y=x^2 - 7x - 10$ с ветвями вверх, значит, она принимает отрицательные значения между корнями. Множество решений: $x \in (\frac{7 - \sqrt{89}}{2}, \frac{7 + \sqrt{89}}{2})$.

Решим второе неравенство: $\frac{x^2 - 7x - 10}{3} < 0$.
Умножим обе части неравенства на положительное число 3. Знак неравенства при этом не изменится: $x^2 - 7x - 10 < 0$.
Это неравенство идентично тому, к которому мы свели первое. Следовательно, и множество его решений будет таким же: $x \in (\frac{7 - \sqrt{89}}{2}, \frac{7 + \sqrt{89}}{2})$.

Поскольку множества решений обоих неравенств совпадают, они являются равносильными.
Ответ: Да, равносильны.