Номер 37.34, страница 208, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 37. Решение квадратных неравенств. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 37.34, страница 208.

Условие.

37.34 а) Сколько целочисленных решений имеет неравенство $x^2 + 5x - 8 < 0$?

б) Сколько целочисленных решений имеет неравенство $15 - x^2 + 10x \geq 0$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы найти количество целочисленных решений неравенства $x^2 + 5x - 8 < 0$, сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 5x - 8 = 0$.
Воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$.
В нашем случае $a=1, b=5, c=-8$.
Найдем дискриминант: $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 25 + 32 = 57$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-5 - \sqrt{57}}{2}$ и $x_2 = \frac{-5 + \sqrt{57}}{2}$.
Так как ветви параболы $y = x^2 + 5x - 8$ направлены вверх ($a=1 > 0$), неравенство $x^2 + 5x - 8 < 0$ выполняется между корнями. То есть, $x \in (x_1, x_2)$.
Оценим значения корней. Мы знаем, что $7^2=49$ и $8^2=64$, значит $7 < \sqrt{57} < 8$.
Для $x_1$: $\frac{-5 - 8}{2} < x_1 < \frac{-5 - 7}{2}$, что дает $\frac{-13}{2} < x_1 < \frac{-12}{2}$, или $-6.5 < x_1 < -6$.
Для $x_2$: $\frac{-5 + 7}{2} < x_2 < \frac{-5 + 8}{2}$, что дает $\frac{2}{2} < x_2 < \frac{3}{2}$, или $1 < x_2 < 1.5$.
Таким образом, решение неравенства — это интервал $(\frac{-5 - \sqrt{57}}{2}, \frac{-5 + \sqrt{57}}{2})$, который приблизительно равен $(-6.27, 1.27)$.
Найдем все целые числа, которые принадлежат этому интервалу: -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1.
Подсчитаем их количество: 8.
Ответ: 8

б) Рассмотрим неравенство $15 - x^2 + 10x \geq 0$. Для удобства перепишем его в стандартном виде: $-x^2 + 10x + 15 \geq 0$.
Умножим обе части неравенства на -1 и изменим знак неравенства на противоположный: $x^2 - 10x - 15 \leq 0$.
Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 10x - 15 = 0$.
Здесь $a=1, b=-10, c=-15$.
Найдем дискриминант: $D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 100 + 60 = 160$.
Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{10 \pm \sqrt{160}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{16 \cdot 10}}{2} = \frac{10 \pm 4\sqrt{10}}{2} = 5 \pm 2\sqrt{10}$.
Итак, $x_1 = 5 - 2\sqrt{10}$ и $x_2 = 5 + 2\sqrt{10}$.
Ветви параболы $y = x^2 - 10x - 15$ направлены вверх ($a=1 > 0$), поэтому неравенство $x^2 - 10x - 15 \leq 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни: $x \in [x_1, x_2]$.
Оценим значения корней. Мы знаем, что $3^2=9$ и $4^2=16$, значит $3 < \sqrt{10} < 4$. Точнее, $3.1^2 = 9.61$ и $3.2^2 = 10.24$, так что $3.1 < \sqrt{10} < 3.2$.
Тогда $2 \cdot 3.1 < 2\sqrt{10} < 2 \cdot 3.2$, то есть $6.2 < 2\sqrt{10} < 6.4$.
Для $x_1$: $5 - 6.4 < x_1 < 5 - 6.2$, что дает $-1.4 < x_1 < -1.2$.
Для $x_2$: $5 + 6.2 < x_2 < 5 + 6.4$, что дает $11.2 < x_2 < 11.4$.
Следовательно, решением неравенства является отрезок $[5 - 2\sqrt{10}, 5 + 2\sqrt{10}]$, который приблизительно равен $[-1.32, 11.32]$.
Найдем все целые числа, которые принадлежат этому отрезку: -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11.
Подсчитаем их количество. Это можно сделать по формуле: $11 - (-1) + 1 = 13$.
Ответ: 13