Номер 37.40, страница 209, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 37. Решение квадратных неравенств. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 37.40, страница 209.

Условие.

37.40 Найдите все значения параметра p, при которых имеет действительные корни уравнение:

a) $x^2 - 6x + p^2 = 0$;

б) $x^2 - 12px - 3p = 0$;

в) $x^2 - 4x - 2p = 0$;

г) $x^2 + 2px + p + 2 = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Квадратное уравнение имеет действительные корни тогда и только тогда, когда его дискриминант $D$ больше или равен нулю ($D \ge 0$). Для уравнения вида $ax^2+bx+c=0$ дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.

а) $x^2 - 6x + p^2 = 0$

В данном уравнении коэффициенты: $a=1$, $b=-6$, $c=p^2$.Найдем дискриминант:$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot p^2 = 36 - 4p^2$.

Условие наличия действительных корней $D \ge 0$:$36 - 4p^2 \ge 0$$36 \ge 4p^2$$9 \ge p^2$$p^2 \le 9$Это неравенство эквивалентно $-3 \le p \le 3$.

Ответ: $p \in [-3; 3]$

б) $x^2 - 12px - 3p = 0$

Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=-12p$, $c=-3p$.Найдем дискриминант:$D = (-12p)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3p) = 144p^2 + 12p$.

Условие $D \ge 0$:$144p^2 + 12p \ge 0$Вынесем общий множитель $12p$ за скобки:$12p(12p + 1) \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Корни выражения $12p(12p + 1)$ равны $p=0$ и $p=-1/12$.Так как это парабола с ветвями вверх, неотрицательные значения достигаются при $p$ вне интервала между корнями.Следовательно, $p \le -1/12$ или $p \ge 0$.

Ответ: $p \in (-\infty; -1/12] \cup [0; +\infty)$

в) $x^2 - 4x - 2p = 0$

Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=-4$, $c=-2p$.Поскольку коэффициент $b$ четный, удобнее использовать "упрощенный" дискриминант $D/4 = (b/2)^2 - ac$.$D/4 = (-2)^2 - 1 \cdot (-2p) = 4 + 2p$.

Условие наличия действительных корней $D/4 \ge 0$:$4 + 2p \ge 0$$2p \ge -4$$p \ge -2$

Ответ: $p \in [-2; +\infty)$

г) $x^2 + 2px + p + 2 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=2p$, $c=p+2$.Коэффициент $b$ четный, используем $D/4$.$D/4 = (p)^2 - 1 \cdot (p+2) = p^2 - p - 2$.

Условие $D/4 \ge 0$:$p^2 - p - 2 \ge 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $p^2 - p - 2=0$. По теореме Виета (или через дискриминант для $p$) корни равны $p_1=2$ и $p_2=-1$.Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется при $p \le -1$ или $p \ge 2$.

Ответ: $p \in (-\infty; -1] \cup [2; +\infty)$