Номер 37.45, страница 209, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 37. Решение квадратных неравенств. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 37.45, страница 209.

Условие.

37.45 Непараллельные стороны квадрата увеличили на 6 см и 4 см.

Чему равна сторона квадрата, если известно, что площадь полученного прямоугольника меньше удвоенной площади квадрата?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Пусть сторона исходного квадрата равна $x$ см. Поскольку длина стороны должна быть положительной величиной, то $x > 0$.

Площадь исходного квадрата $S_{квадрата}$ вычисляется по формуле:

$S_{квадрата} = x^2$

После того как непараллельные стороны квадрата увеличили на 6 см и 4 см, получился прямоугольник со сторонами $(x + 6)$ см и $(x + 4)$ см.

Площадь этого прямоугольника $S_{прямоугольника}$ равна произведению его сторон:

$S_{прямоугольника} = (x + 6)(x + 4)$

По условию задачи, площадь полученного прямоугольника меньше удвоенной площади квадрата. Запишем это в виде неравенства:

$S_{прямоугольника} < 2 \cdot S_{квадрата}$

Подставим выражения для площадей в это неравенство:

$(x + 6)(x + 4) < 2x^2$

Раскроем скобки в левой части и приведем подобные слагаемые:

$x^2 + 4x + 6x + 24 < 2x^2$

$x^2 + 10x + 24 < 2x^2$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратичное неравенство:

$0 < 2x^2 - x^2 - 10x - 24$

$x^2 - 10x - 24 > 0$

Для решения этого неравенства найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 10x - 24 = 0$.

Вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 100 + 96 = 196$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - \sqrt{196}}{2} = \frac{10 - 14}{2} = -2$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + \sqrt{196}}{2} = \frac{10 + 14}{2} = 12$

Графиком функции $y = x^2 - 10x - 24$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Неравенство $x^2 - 10x - 24 > 0$ выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями, то есть при $x < -2$ или $x > 12$.

Так как сторона квадрата $x$ должна быть положительной ($x > 0$), то из полученного решения ($x < -2$ или $x > 12$) нам подходит только та часть, которая удовлетворяет этому условию.

Следовательно, сторона квадрата должна быть больше 12 см.

Ответ: сторона квадрата должна быть больше 12 см.