Номер 38.5, страница 210, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 38. Приближённые значения действительных чисел. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 38.5, страница 210.

Условие.

38.5 a) $ \sqrt{11} $;

б) $ |2 - \sqrt{10}| $;

в) $ |5 - \sqrt{2}| $;

г) $ \frac{12}{17} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы определить, является ли число $\sqrt{11}$ рациональным или иррациональным, нужно проверить, является ли 11 полным квадратом целого числа. Рациональное число можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ и $q$ – целые числа, а $q \neq 0$. Иррациональное число так представить нельзя. Корень из целого числа является рациональным только в том случае, если это целое число – полный квадрат. Число 11 не является полным квадратом, так как $3^2=9$ и $4^2=16$. Следовательно, $\sqrt{11}$ не является целым числом и не может быть представлено в виде конечной или периодической десятичной дроби. Таким образом, это иррациональное число.
Ответ: иррациональное число.

б) Рассмотрим выражение $|2 - \sqrt{10}|$. Число 2 является рациональным. Число 10 не является полным квадратом ($3^2 = 9$, $4^2 = 16$), поэтому $\sqrt{10}$ – иррациональное число. Разность рационального и иррационального чисел всегда является иррациональным числом. Следовательно, $2 - \sqrt{10}$ – иррациональное число. Модуль (абсолютная величина) числа – это само число, если оно неотрицательное, и противоположное ему число, если оно отрицательное. Сравним 2 и $\sqrt{10}$. Для этого сравним их квадраты: $2^2 = 4$ и $(\sqrt{10})^2 = 10$. Так как $4 < 10$, то $2 < \sqrt{10}$, а значит, выражение $2 - \sqrt{10}$ отрицательно. Поэтому $|2 - \sqrt{10}| = -(2 - \sqrt{10}) = \sqrt{10} - 2$. Это число также является иррациональным, так как является разностью иррационального числа $\sqrt{10}$ и рационального числа 2.
Ответ: иррациональное число.

в) Рассмотрим выражение $|5 - \sqrt{2}|$. Число 5 является рациональным. Число 2 не является полным квадратом, поэтому $\sqrt{2}$ – иррациональное число. Разность $5 - \sqrt{2}$ является иррациональным числом. Теперь раскроем модуль. Сравним 5 и $\sqrt{2}$. Сравним их квадраты: $5^2 = 25$ и $(\sqrt{2})^2 = 2$. Так как $25 > 2$, то $5 > \sqrt{2}$, а значит, выражение $5 - \sqrt{2}$ положительно. Поэтому $|5 - \sqrt{2}| = 5 - \sqrt{2}$. Это число является иррациональным.
Ответ: иррациональное число.

г) Рассмотрим число $\frac{12}{17}$. По определению, рациональное число – это число, которое можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ – целое число, а $q$ – натуральное число (или целое, не равное нулю). В данном случае $p=12$ (целое число) и $q=17$ (целое число, не равное нулю). Следовательно, число $\frac{12}{17}$ полностью соответствует определению рационального числа.
Ответ: рациональное число.